1. Действительные числа. Модуль действительного числа, свойства

1. Действительные числа. Модуль действительного числа, свойства.

Множество всех десятичных дробей (конечных/бесконечных) задаёт множество действительных чисел (R).

Геометрическим образом множества действительных чисел является действительная прямая, т.е. прямая, на которой сопоставлено число 0 и масштаб, т.е. число 1. Числа отождествляют с представляющими их точками действительной прямой.

Модулем действительного числа Х называется само это число, если Х≥0 или –Х, если Х<0.

Геометрический смысл модуля: он равен расстоянию от Х до 0.

|x-x₀|≤a -a≤x-x₀≤a Неравенство |x-x₀|≤a – это отрезок от x₀ до а и ещё до а.

Свойства модуля:

1. 
   |х|≥0 всегда.
   
2. 
   х≤|х|
   
3. 
   |x+y|≤|x|+|y|
   
4. 
   |xy|=|x|*|y|
   
5. 
   |x/y|=|x|/|y|
   
6. 
   |x-y|≥|x|-|y|
   

2. Предел последовательности. Ограниченные, возрастающие, убывающие последовательности.

Последовательностью называется занумерованное бесконечное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров (х₁, х₂, х₃…)

Формула, задающая член последовательности с номером n, называется общим членом.

Определение 1: число а называется пределом последовательности {х_n}, если члены этой последовательности становятся сколь угодно близки к числу а для всех достаточно больших номеров n.

Определение 2: число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любого сколь угодно малого числа ε>0 найдётся N, такое, что |x_n-a|≥ε, если n≥N.

ε-окрестностью числа а называется множество точек, удовлетворяющих неравенству |х-а|≤ ε и отстоящих от а не больше, чем на ε.

Определение 3: число а называется пределом последовательности{х_n}, если для любой сколь угодно малой окрестности все члены последовательности с достаточно большими номерами попадают в эту окрестность.

если для всех достаточно больших n члены последовательности становятся положительными и сколь угодно большими.

сли для всех достаточно больших n члены последовательности становятся отрицательными и сколь угодно малыми.

Признаки существования предела последовательности:

1)Теорема о 2х милиционерах. {х_n}, {y_n}, {z_n} – три последовательности. х_n n n Тогда если , то

Доказательство: x_n-a≤y_n-a≤z_n-a. x_n-a и z_n-a стремятся к 0, значит, и y_n-a→0

2) Если последовательность {х_n} является возрастающей и ограниченной сверху, то она имеет конечный предел.

Последовательность {х_n} называется возрастающей, если х₁≤х₂≤х₃≤ х_n

Аналогично – убывающая.

Последовательность {х_n} называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что x_n≤M для всех номеров n.

Аналогично – ограниченная снизу.
3. Свойства пределов последовательности. Признаки сходимости.

1) Если {х_n} имеет конечный предел а, то она ограничена.

Док-во: пусть ε>0. т.к. точка а является пределом, то все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в ε-окрестность этой точки. Вне этой окрестности может быть только конечное число членов последовательности. А значит, существует отрезок [-M;M], содержащий все члены нашей последовательности, следовательно, последовательность ограничена.

2) Пусть

Тогда

Док-во: т.к. члены последовательности сколь угодно близки к а для достаточно больших n, а члены последовательности y_n сколь угодно близки к b для достаточно больших n, то очевидно, что члены последовательности x_n+y_n сколь угодно близки к а+b для всех достаточно больших n.

3) Если , то

4) Если и b≠0, то


4. Понятие функции. Способы задания функции. График функции.

Пусть U – некоторое подмножество множества действительных чисел R. Будем говорить, что на U задана функция, если любому xU ставится в соответствие с помощью некоторого закона или правила единственное число y. U – область определения функции. Множество всех соответствующих y - множество значений функции.

Способы задания функций:

1) С помощью аналитического выражения (y=x²)

2) Графически

3) Таблично (значение x – значение y)

4) С помощью машинной программы.

5 Предел функции.

Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке, содержащем точку a, всюду, кроме, может быть, самой этой точки a.

Определение 1: число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если значения функции f(x) сколь угодно близки к числу A для всех значений x, достаточно близких к точке a.

Определение 2: число A является пределом функции y=f(x) в точке a, если для любого ε>0 найдётся Δ>0 такое, что для 0<|x-a|<Δ выполняется |f(x)-a|< ε.

Определение 3: число A является пределом функции y=f(x) в точке a, если |f(x)-A|< ε для x, лежащих в достаточно малой Δ-окрестности точки a.
6. Свойства пределов функции.

Будем говорить, что функция y=f(x) ограничена в некоторой окрестности точки x=a, если существует такое M>0, что в этой окрестности |f(x)| не превосходит M.

Свойства:

1) Если функция y=f(x) имеет в точке a предел, равный A, тогда функция y=f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

Если f(x)→A при x→a, то |f(x)-A|≤ ε в некоторой окрестности точка a, но тогда по свойству модуля |f(x)|-|A|<|f(x)-A| => |f(x)|≤|f(x)-A|, т.е., f(x) ограничена.

2) Если f(x)→A при x→a, а g(x)→B при x→a, то предел (f(x)+g(x)) при x→a равен A+B.

3) Если , то предел произведения равен произведению пределов.

4) Если и B≠0, то частное пределов равно пределу частного.

5) Если в окрестности точки a f(x)≥0 и существует , то A≥0.

Док-во – методом от противного: если A<0, то, поскольку значения f(x) должны быть сколь угодно близки к A, они тоже будут <0, что противоречит условию.

6) Если в некоторой окрестности точки a f(x)≤g(x) и , то A≤B.

Док-во: пусть h(x)=g(x)-f(x). B-A,

следовательно, B-A≥0, следовательно, B≥A.

7) Теорема о двух милиционерах.

Если в некоторой окрестности точки a f(x)≤h(x)≤g(x) и если то

7. Замечательные пределы.

1)

Пусть x(0;π/2). OC=1, AB=sinx, CD=tgx.

ΔOAC<сектораOAC<ΔODC.

S_ΔAOC=1/2AB*OC=1/2sinx

S_сект=1/2R*COA=1/2x

S_ΔODC=1/2DC*OC=1/2tgx

ΔOAC<сектораOAC<ΔODC, =>,

1/2sinx <1/2x <1/2tgx, =>, sinx
x≠0 1, cosx
Поскольку , то
.

2)

U_n=. U₁=2. U₂=9/4. U₃=64/27

Последовательность возрастает, и она ограничена 3. Предел = e.

3)

8. Бесконечно малые функции, свойства. Сравнение бесконечно малых.

y=f(x) называется бесконечно малой при x→a, или бесконечно малой в точке a, если

Основная теорема о бесконечно малых:

Функция y=f(x) имеет число A своим пределом в точке x=a тогда и только тогда, когда f(x)=А+α(x), где α(x) – бесконечно малое в точке x=a.

Доказательство:

1) Пусть . Докажем, что f(x)=A+α(x)

α(x)=f(x)-A

Пусть f(x)=A+α(x), тогда

Свойства бесконечно малых:

1) Если α(x) и β(x) – б.м. при x→a, то α(x)+β(x) – б.м. при x→a.

Доказательство:

2) Если |f(x)|≤M, α(x) - бесконечно малое, то f(x)*α(x)=бесконечно малое (при x→0).

3) Если g(x)>M>0, а α(x) – б.м., то α(x)/g(x) – б.м..

Сравнение бесконечно малых.

Определение 1: α(x) и β(x) – б.м. при x→a. Они называются б.м. одного и того же порядка малости, если существует

Определение 2: пусть α(x) и β(x) – б.м. при x→a. Эти б.м. называются эквивалентными, если

Определение 3: пусть α(x) и β(x) – б.м. при x→a. Говорят, что α(x) – б.м. более высокого порядка малости, чем β(x), если

Теорема об эквивалентных б.м.

Если α(x) и β(x) – эквивалентные б.м. при x→a, то α(x)= β(x)+γ(х), где γ(х) – б.м. более высокого порядка малости.

Док-во: γ(х)= α(x)-β(x).

Этот результат можно использовать для раскрытия неопределённостей типа 0/0: причём, f(x)→0, g(x)→0 при x→a

Допустим, что f(x)≈f₁(x)f(x)=f₁(x)+h₁(x). Пусть g(x)≈g₁(x)g(x)=g₁(x)+h₂(x), где h₁ и h₂ – б.м. большего порядка малости.

Таким образом, при вычислении пределов можно б.м. заменять на эквивалентные б.м.
9. Обобщение понятия предела функции, левые и правые пределы.

Пусть y=f(x) определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, может быть, самой точки а. Число А называется правым пределом y=f(x) в точке а, если y=f(x) принимает значения, сколь угодно близкие к А, для всех x, достаточно близких к а и таких, что x>a. Число A называется левым пределом в том же случае, но при x10. Непрерывные функции. Непрерывность основных элементарных функций.

Пусть y-f(x) определена в точке x₀ и её окрестности. Пусть x – некоторая точка из данной окрестности.

Δx=x-x₀. Δx называется приращением.

Рассмотрим f(x₀) и f(x). Δy=f(x)-f(x₀), где Δy – приращение функции, отвечающее приращению аргумента Δx.

Т.к. x=x₀+Δx, Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)

Определение. Пусть y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀, включая саму эту точку. y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1)

2)

3) f(x₀)

4) f(x₀)

Аналогично можно показать, что все основные элементарные функции являются непрерывными всюду, где они определены.

1) y=x²

Δy=(x₀+Δx)² - x₀² =x₀² + 2x₀Δx+Δx² – x₀²= =2x₀Δx+Δx²

2) y=sin(x)

Δy=sin(x₀+Δx)-sin(x₀)=2sin(Δx/2)*cos(x₀+Δx/2)

0

11.Свойства непрерывных функций.

1) Если y=f(x) и y=g(x) непрерывны в точке x₀, то y=f(x)+g(x) тоже непрерывна в этой точке.

Док-во: ==f(x₀)+g(x₀)

2) Если y=f(x) и y=g(x) непрерывны в точке x₀, то y=f(x)*g(x) тоже непрерывна в этой точке.

3) Если y=f(x) и y=g(x) непрерывны в точке x₀, то y=f(x)/g(x) тоже непрерывна в этой точке. g(x₀)≠0

y=f(U); U=g(x). С изменением x меняется U; с изменением U меняется y, т.е., y зависит от x. Это определяет новую функцию, которая называется сложной и записывается как y=f(g(x))

4) Если U=g(x) непрерывна в точке x₀, а y=f(U) непрерывна в точке U₀=g(x₀), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке x_0.

Док-во: g(x₀)=U₀. U→U₀, если x→x₀. Поэтому

= f(g(x₀))

Следствие: все элементарные функции непрерывны всюду, где они определены.

5) Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

y=f(g(x)); =A.

= f(A) = f(
12. Основные теоремы о непрерывных функциях.

1) Теорема о наибольшем и наименьшем значении.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда эта функция достигает на этом отрезке своего наибольшего и своего наименьшего значений, т.е., найдётся точка x₁[a,b], в которой функция примет своё наименьшее значение, и найдётся x₂[a,b], в которой функция примет своё наибольшее значение.

2) Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Если функция принимает на концах отрезков значения разных знаков, то найдётся такая x₁[a,b], что f(x₁)=0, т.е., x₁ – корень уравнения f(x)=0

3) Теорема о промежуточном значении.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и пусть f(a)=A и f(b)=B, тогда для любого числа C, лежащего между A и B, найдётся x₁[a,b] такая, что f(x₁)=C.

13. Классификация точек разрыва.

Определение: точка x₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если в этой точке функция y=f(x) не является непрерывной.

Очевидно, что функция y-f(x) не является непрерывной в точке x₀, если:

1) функция y=f(x) не определена в точке x₀

2) в точке x₀ не существует

3)функция y=f(x) определена в точке x₀, существует , но ≠f(x₀)

Классификация точек разрыва.

1) Точка разрыва x₀ называется устранимой точкой разрыва, если существует =A, а функция f(x) в точке x₀ либо не определена, либо определена, но f(x₀)≠A. В этом случае, переопределив функцию f(x) в точке x₀ (или доопределив её в этой точке), а именно потребовав, чтобы f(x₀)=A, полученная новая функция будет непрерывна в точке x₀ ← устранимая точка разрыва.

2) Точки разрыва первого рода.

Пусть функция y=f(x) имеет в точке x₀ предел справа, и этот предел =A: =А

Пусть функция y=f(x) имеет в точке x₀ предел слева, и этот предел =B: =B

Если точка x₀ – просто 0, то используют обозначения ; =В

Определения:

Точа x₀ называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левый и правый пределы, но они не совпадают:

Точка разрыва 1 рода – точка, в которой функция имеет конечный скачок.

3) Точки разрыва 2 рода.

Все точки разрыва, которые не являются устранимыми точками разрыва или точками разрыва 1 рода, называются точками разрыва 2 рода.

Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке. Она называется непрерывной на этом промежутке, если она непрерывна во всех точках промежутка. Она называется кусочно непрерывной на этом промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек разрыва 1 рода.

14. Определение производной. Примеры.

Если мы имеем точку х на оси, то, чтобы перейти в новую точку, мы даём аргументу приращение Δх (х→Δх). Δу=f(x+Δx)-f(x). Когда х получает приращение Δх, функция y=f(x) получает приращение Δу.

Определение.

Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения Δу к Δх, когда Δх стремится к 0, если этот предел существует и конечен.

y’(x) = f’(x) = y’ =

= =

Примеры.

1) y=x²

Δy = (x+Δx)²-x² = x²+2xΔx+Δx²-x² = 2xΔx+Δx²

y’ =

= = = 2x+Δx) = 2x

2) y=sinx

Δy=sin(x+Δx)-sin(x)=2sin(Δx/2)*cos(x+Δx/2)

y’= = =

= = = cos(x)

15. Физический и геометрический смыслы производной.

Физический.

S(t) – пройдённый за время t путь.

ΔS=S(t+Δt)-S(t)

средняя скорость v =

Для того, чтобы получить значения v в момент времени t, следует устремить Δt к 0, при этом значения v_ср. будут стремиться к значению скорости в момент времени t.

Мгн. скорость v_мгн(t) = = S’(t)

Отвлекаясь от данной конкретной задачи, можно сказать, что производная характеризует скорость, с которой растёт и убывает функция. Чем больше производная, тем быстрее растёт функция, и наоборот.

Геометрический.

Дана точка x. Рассмотрим приращение (x+Δx)

Δy=f(x+Δx)-f(x)

Производная = = =

= y’ = f’(x)

Если функция имеет в точке производную, она называется дифференцируемой в этой точке.

Пусть Δх → 0, или B→A. Каждый раз будет новая B, новый и новая хорда AB. Очевидно, что, когда B совпадёт с A, хорда совпадёт с касательной, т.е., предельное положение хорды - касательная к графику функции в точке A.

= tg₀, где фи₀ – угол наклона касательной к оси X. Производная – тангенс угла, образованного касательной с осью X.

Из сказанного выше вытекает, что существование производной в точке x (или, иначе, дифференцируемость функции в точке x) означает, что в этой точке существует касательная к графику функции.

16. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

Теорема: Если функция y-f(x) дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: = f(x) ←это существует, если функция дифференцируема.

Воспользуемся теоремой о бесконечно малых.

Δy/Δx=f’(x)+α(Δx); (α(Δx) – б.м. при Δх→0)

Δy = f’(x)*Δx+Δx* α(Δx)

lim_Δx→0Δy = lim_Δx→0(f’(x)*Δx+Δx* α(Δx)) = 0

Это и означает, что наша функция непрерывна в точке x.

Мы доказали, что дифференцируемость влечёт непрерывность. НО – не наоборот. Функция может быть непрерывна в точке х, но не дифференцируема.
17. Таблица производных.


18. Основные правила дифференцирования.

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;
19. Производная сложной функции.

если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то

y’_x=y’_u*u’_x

20. Обратная функция. Производная обратной функции.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.(т е по Х возвращает У)Если:
f(g(y)) = y для всех

g(f(x)) = x для всех x, принадлежащих Х

то g(x)-обратная к F(x)
если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем

dg/dy=x’_y ≠ 0, то y’_x=1/x’_y (т е X’(y)=1/(Y’(x))).
21. Дифференциал, его геометрический смысл и свойства.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х.

Геом. смысл

проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке | АМ| =∆х, |AM1|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

1) d(u ± v) = (u ± v)’dx = u’dx ± v’dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)’dx = (u’v + v’u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4) d(u/v)=(vdu-udv)/v²
22. Производные функций, заданных параметрически и неявно.

1) Параметрически.

Пусть x=фи(t), y=пси(t). Переменная t – параметр. t принадлежит [α;β]

Каждому t на (x,y) соответствует точка. Если t меняется, точка пробегает некоторую кривую, тем самым задаётся зависимость меду x и y.

Выражая с помощью этой зависимости y через x (или x через у), можно получить две явные функции.

Допустим, что первое из этих уравнений можно разрешить относительно t.

t=ФИ(x), тогда y=ПСИ(ФИ(х))

Выведем формулу для производной функции, заданной параметрически.

Допустим, что для функции х=фи(t) определена обратная связь t=ФИ(х), тогда у=пси(ФИ(х))

Дифференцируем.

y’=пси’(ФИ(х))*ФИ’(х) = пси’(t)*1/фи’(t) =

= пси’(t)/фи’(t)

2) Неявно.

Функция у от аргумента х задана неявно, если она определяется из уравнения вида F(x,y)=0
23. Теорема Ролля.

Одна из «рабочих лошадок анализа» :)

Теорема о нулях производной:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезка [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка. Пусть на концах отрезка она равна 0 (f(a)=0; f(b)=0). Тогда найдётся точка a
Док-во: т.к. функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Пусть M=max(f(x)); m=min(f(x)) на данном отрезке.

Случай 1: max совпадает с min и равен 0

M=m=0; y=f(x)=0; f’(c)=0 ← с – любая точка, лежащая между a и b.

Случай 2: M>0

При М>0 возьмём точку с, в которой f(c)=M.

Даём с приращение с+Δх. f(c+Δx)≤f(c)=M

f’(c)=lim_Δx→0 ^{(всегда≤0)} =

= а)f’(c)≤0 при Δх≥0; б)f’(c)>0 при Δх<0 =>

=> f’(c)=0

Случай 3: M=0; m<0

В качестве с берём m и повторяем рассуждения из случая 2.


24. Теорема Лагранжа и Коши.

Лагранжа (Формула конечных приращений)

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезка [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка. Тогда найдётся точка a
Док-во:

Введём вспомогательное число Q=

F(x)=f(x)-f(a)+Q*(x-a)

F(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках.

F(a)=0; F(B)=0 => F(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля и => существует a
F’(x)=f’(x)-Q => F’(c)=f’(c)-Q=0 => f’(c)=Q

f’(c) = ; f(b)-f(a) = f’(c)*(b-a)

Коши

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны на [a,b] и дифференцируемы во всех внутренних точках. Пусть g’(x) нигде ≠0. Тогда существует точка с, лежащая между а и b, такая, что

=

Замечание: очевидно, что если в качестве g(x) взять x, то т. Коши превращается в т. Лагранжа.
25. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть y=f(x). Её производная f’(x) меняется от точки к точке и сама является функцией аргумента х. =f’(x), поэтому можно говорить о производной от производной.

Второй производной от функции является производная от производной.

() = = f’’(x) = = y’’

Аналогично определяются производные более высокого порядка.

=

И число e, от которого сколько производных не бери, оно всегда будет равняться самому себе. Это замечательное число. Откуда оно взялось – непонятно… Часто так бывает, что формулы умнее того, кто их придумал.

dy=f’(x)*dx

Очевидно, что f’(x)*Δx меняется от точки к точке, => dy можно считать функцией от х

d(dy)=d(f’(x)dx)=(f’(x)dx)’*dx=f’’(x)dxdx=

=f’’(x)dx²=d²y

d³y=f’’’(x)dx³ => fⁿ(x) =
26. Правило Лопиталя

Случай 1. Неопределённость 0/0

Теорема.

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а. Пусть f(a)=0 и g(a)=0. Тогда =

Док-во:

Применим т.Коши к отрезку [a,x].

Тогда = , где a
(т.к. f(a)=0; g(a)=0)

Пусть х→а. Тогда с→а

= =

Случай 2. Неопределённость ∞/∞

Теорема.

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а кроме самой точки а. Пусть

Тогда

=

27. Формулы Тейлора и Маклорена

Тейлора

Пусть функция y=f(x) в некоторой окрестности точки x₀ имеет все производные вплоть до порядка n+1.

Сформулируем вспомогательную задачу.

Найти многочлен степени n, который мы обозначим p_n(x), такой, что в точке x₀

p_n(x₀)=f(x₀); p_n’(x₀)=f’(x₀); p_n’’(x₀)=f’’(x₀) и т.д. до n: p_nⁿ(x₀)=fⁿ(x₀)

p_n(x)=c₀+c₁(x-x₀)+c₂(x-x₀)²+c₃(x-x₀)³+…+c_n(x-x₀)ⁿ

p_n’(x)=

= c₁+2c₂(x-x₀)+3c₃(x-x₀)²+4c₄(x-x₀)³+…+nc_n(x-x₀)^n-1

p_n’’(x)=

= 2c₂+2*3c₃(x-x₀)+3c₄(x-x₀)²+…+(n-1)nc_n(x-x₀)^n-2

p_n’’’(x)=

= 2*3c₃+2*3*4c₄(x-x₀)+…+(n-2)(n-1)nc_n(x-x₀)^n-3

p_nⁿ(x)=

= 2*3*4*…*(n-1)nc_n

p_n(x₀)=c₀=f(x₀)

p_n’(x₀)=c₁=f’(x₀)

p_n’’(x₀)=2c₂=f’’(x₀)

p_n’’’(x₀)=2*3c₃=f’’’(x₀)

p_nⁿ(x₀)=n!c_n=fⁿ(x₀)

c₀=f(x₀)

c₁= f’(x₀)

c₂=

c₃=

c_n=

p_n(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+ (x-x₀)²+

+ (x-x₀)³+…+ (x-x₀)ⁿ

R_n(x)=f(x)-p_n(x) => f(x)=p_n(x)+R_n(x)

R_n(x) – остаточный член.

Можно (но не нужно) доказать, что

R_n(x)= ( лежит между x и x₀)

Сводя выражения для p_n(x) и R_n(x) вместе, получаем:

f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+ (x-x₀)²+

+ (x-x₀)³ + …+ (x-x₀)ⁿ+ (x-x₀)ⁿ⁺¹

Вот эта громоздкая формула и есть формула Тейлора. Распишем её для частного случая: x₀=0.

f(x)=f(0)+f’(0)*x+ *x²+ *x³ + …+

+ *xⁿ+ *xⁿ⁺¹ - некоторая точка между x и 0.

28. Примеры разложений по формуле Тейлора.

1) y=e^x

y’=e^x; y’’=e^x; yⁿ=e^x

y(0)=1; y’(0)=1; yⁿ(0)=1

e^x=1+x+

2) y=sinx

y'=cosx; y’’=-sinx; y’’’=-cosx; y^IV=sinx

y(0)=0; y’(0)=1; y’’(0)=0; y’’’(o)=-1; y^IV(0)=0

sinx=x

+ (-1)^m(-1)^m+1x^2m+2

3)y=cosx

y'=-sinx; y’’=-cosx; y’’’=sinx; y^IV=cosx

y(0)=1; y’(0)=0; y’’(0)=1; y’’’(0)=0; y^IV(0)=1

cosx=1


29. Биномиальное разложение.

y=(1+x)^α;

y’=α(1+x)^α-1;

y’’=(α-1)α(1+x)^α-2

y’’’=(α-2)(α-1)α(1+x)^α-3

yⁿ=(α-n+1)(α-n+2)…(α-2)(α-1)α(1+x)^α-n

+

30. Возрастание и убывание функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если для двух точке x₁ и x₂ этого промежутка из условия x₁2 следует

f(x₁)2)

Теорема о возрастании:

Часть первая. Мы учим летать самолёты.

Если функция y=f(x) на некотором промежутке является возрастающей, то на этом промежутке f’(x)≥0

Часть вторая. Москва слезам не верит.

Если на некотором промежутке f’(x)>0, то функция y=f(x) является на этом промежутке возрастающей.

Доказательство первой части!

Пусть x – некоторая точка. Дадим приращение х+Δх.

Тогда приращение функции Δу=f(х+Δх)-f(x).

Δу=f(х+Δх)-f(x)>0, если Δх>0

Δу=f(х+Δх)-f(x)<0, если Δх<0

Поэтому всегда >0
Значит, y’=f’(x)=≥0

Доказательство второй части! Внимание, товарищи!

Возьмём произвольные точки x₁ и x₂ из нашего промежутка, такие, что x₁2. Запишем для таких точек формулу конечных приращений.

f(x₂)-f(x₁)=f’()(x₂-x₁) => f(x₂)>f(x₁), т.е., функция является возрастающей.

Теорема об убывающей функции.

1) Если y=f(x) является убывающей на некотором промежутке, то на этом промежутке f’(x)≤0.

2) Если f’(x) на некотором промежутке ≤0, то f(x) на этом промежутке является убывающей. Док-во аналогично предыдущему.

31.Точки экстремума функции. Необходимые условия экстремума.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности E(x₀-б,x₀+б) некоторой точки x₀ своей области определения. Точка x₀ называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности E выполняется неравенство f(x)<=f(x₀) ( x из E), и точкой локального минимума, если f(x)>=f(x₀) ( x из E).

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка x0 была точкой локального экстремума функции f(x).

Если точка x₀ - это точка локального экстремума функции f(x), и существует производная в этой точке f’(x), то f’(x)=0

Теорема : Если функция f во внутренней точке x₀∈Е имеет производную и производная ≠0, то f(x₀) не есть локальный экстремум.

Док-во: Пусть для определенности f′(x₀)>0, тогда учитывая, что f′(x₀)=lim_x→x0((f(x)-f(x₀))/(x-x₀)), то в достаточно малой окрестности точки x₀ имеем f(x)-f(x₀))/(x-x₀)>0 Отсюда для любого x0 будет верно f(x)0), а для всех x>x₀ верно f(x)>f(x₀), т.е., функция в точке x₀ возрастает, значит, в точки x₀ экстремума нет. Аналогично устанавливается отсутствие локального экстремума в точке x₀ при f’(x₀)<0.

32. Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x₀, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x₀). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x₀ функция имеет максимум. Если же при переходе через x₀ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

1) f '(x)>0 при x0 и f '(x)<0 при x> x₀, то x₀ – точка максимума;

2) f '(x)<0 при x0 и f '(x)>0 при x> x₀, то x₀ – точка минимума.

Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x₀ производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x₀ f '(x)>0 для x< x₀, f '(x)<0 для x> x₀. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x₀) =

= f '(c)(x- x₀), где c лежит между x и x₀.

1) Пусть x < x₀. Тогда c< x₀ и f '(c)>0. Поэтому

f '(c)(x- x₀)<0и, следовательно,f(x) - f(x₀)<0,т.е. f(x)< f(x₀).

2) Пусть x > x₀. Тогда c> x₀ и f '(c)<0. Значит

f '(c)(x- x₀)<0. Поэтому f(x) - f(x₀)<0,т.е.f(x) < f(x₀).

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x₀ f(x) < f(x₀). А это значит, что в точке x₀ функция имеет максимум. Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.
33. Достаточные условия для экстремума второго порядка.

Пусть f(x) в точке х₀ имеет первую и вторую производную,причем первая 0,а вторая не 0.

Тогда если вторая больше 0 то в х₀ -минимум,иначе максимум.

Док-во (вторая больше 0)

Те первая строго растет,однако в х₀ она равна 0,те меняет знак  с минуса на плюс,чтд

34. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Говорят, что функция y=f(x) определённая на промежутке достигает на нём своего наибольшего (наим.) значения, если существует такая точка а, принадлежащая этому промежутку, что для всех х из промежутка выполняется неравенство

f(x)≤f(a) (f(x)≥f(a))

Алгоритм отыскание наибольшего и наим. значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке [a,b]:

1) найти f’(x)

2) найти точки, в которых f’(x)=0 или не существует, и отобрать те, что лежат внутри [a,b]

3) вычислить значения y=f(x) в точках из п.2 и на концах отрезка, и выбрать из них наиб. и наим. они и будут соответственно наиб. и наим. значениями функции y=f(x)на отрезке [a,b].

35.Выпуклость и вогнутость.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M₀ с абсциссой x₀ (принадлеж (a; b)) и проведем через точку M₀ касательную. Её уравнение

y=f’(x₀)(x-x₀)+f(x₀)

Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ординаты касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим (y с чёрточкой) за ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда (y с чёрточкой) = f’(x₀)(x-x₀)+f(x₀). Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет y-(y с ч)=f(x)- f’(x₀)(x-x₀)-f(x₀)

Разность f(x)-f(x₀) преобразуем по т.Лагранжа

f(x)-f(x₀)=f’(c)(x-x₀), с между x и x₀

Таким образом

y-y_{с чёрт}= f’(c)(x-x₀)- f’(x₀)(x-x₀) = (f’(c)-f’(x₀))(x=x₀)

к f’(c)-f’(x₀) – снова т.Лагранжа

y-y_{с чёрт}=f’’(c₁)(c-x₀)(x-x₀), c₁ между с и x₀

По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

1. 
   Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x, следовательно,   (x – x₀) > 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому 
   

y-y_{с чёрт}.<0

2. Пусть x<x₀, следовательно, x < c < c₁ < x₀ и (x – x₀) < 0, (c – x₀) < 0. Поэтому вновь y-y_{с чёрт}.<0

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀ на (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

36. Точки перегиба графика функции.

Точка х₀ называется точкой перегиба графика у=f(x₀), если слева от этой точки функция явл-ся выпуклой, а справа вогнутой, или наоборот.

т.x₀ явл-ся точкой перегиба, если в ней f’’(x₀)=0 или не существует, либо при переходе через х₀ вторая производная меняет знак.
37.Асимптоты.

Прямая называется асимптотой графика y=f(x) если при удалении точки вдоль графика функции на бесконечность расстояние от этой точки до прямой →0

х=х₀ – уравнение вертикальной ас. Прямая явл. вертикальной ас. если х₀ – точка разрыва 2 рода. При этом либо lim_x→x0+0f(x)=+/-∞, либо

lim_x→x0-0f(x)=+/-∞

Наклонная

Прямая y=kx+b – наклонная асимптота (к≠0), если lim_x→∞(f(x)-(kx+b))=0 Аналогично – при х→-∞

k= lim_x→∞(f(x)/x) b= lim_x→∞(f(x)-kx) – это необхожимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.
38. Общая схема построения графика функции.

Если дана функция y=f(x), то построение графика этой функции сводится к следующим пунктам:

1) Область существования, точки разрыва, вертикальные асимптоты.

2) Участки возрастания и убывания функции, точки экстремума.

3) Участки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

4) Наклонные асимптоты.

Замечания:

Если функция чётная, то её график симметричен относительно y (f(x)=f(-x))

Если функция нечётная, то её график симметричен относительно точки 0 (f(x)=-f(x))

Если функция является периодической, то её график достаточно строить для одного периода.
39.Первообразная и её свойства.

Функция F(x) называется первообразной для f(x) на интервале (a,b) если F (x) дифференцируема на (a,b) и F‘(x)=f(x).

§ Первообразная суммы равна сумме первообразных

§ Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

§ У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

40. Неопределённый интеграл и его свойства.

Множество всех первообразных функции называется неопределённым интегралом.

Свойства:

1. Интеграл суммы равен сумме интегралов.

2. ∫аf(x)dx=a∫f(x)dx

3. Если ∫f(x)dx=F(x)+C то ∫f(αx)dx=1/αF(αx)+C

4. Если ∫f(x)dx=F(x)+C то ∫F(x+B)dx=F(x+B)+C

5. объединённые 3 и 4
41. Таблица основных интегралов.

1) ∫ xdx = +C

2) ∫ dx = ln|x|+C

3) ∫ a^xdx = +C

4) ∫ e^xdx = e^x+C

5) ∫ sinxdx = -cosx+C

6) ∫ cosxdx = sinx+C

7) ∫ dx = tgx+C

8) ∫ dx = -ctgx+C

9) ∫ dx = arctgx+C

10) ∫ dx = arctg+C

Док-во: ∫ = ∫

(a-arctg)+C = arctg+C

11) ∫ dx = arcsinx+C

12) ∫ dx = arcsin+C

13) ∫ =?

Применяем приём разложения дроби на простейшие:

= = () =>

=> ∫ = (∫dx + ∫dx) =

= (-ln|a-x|+ln|a+x|+C) = ln+C

Это интеграл «короткий логарифм»

14) ∫ = ln(x)+C

«длинный логарифм»

42. Интегрирование по частям. Примеры.

∫UdV=UV-∫VdU

Док-во:

d(UV)=UdV+VdU проинтегрируем!

∫d(UV)= ∫UdV+∫VdU

∫UdV=UV-∫VdU

Примеры:

1) ∫lnx dx=xln-∫x(1/x)dx=xlnx–∫dx=lnx*x-x+C=

=x(lnx-1)+C

U=ln x dU=(1/x)dx ; V=x  dV=dx

2) ∫xcosxdx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C

U=x dU=dx ; V=sinx dV=cosxdx

3) ∫xe^xdx  =xe^x -∫e^x dx=xe^x –e^x +C

U=x           dU=dx dV= e^xdx       V=e^x
43. Формула замены переменной в неопределённом интеграле. Примеры.

∫ f(x)dx ; x=фи(t)

∫ f(x)dx = ∫ f(фи(t))фи’(t)dt

Док-во:

(∫ f(x)dx)’_x = f(x) t – промежуточная переменная

(∫ f(фи(t))фи’(t)dt)’_x= (∫f(фи(t))фи’(t)dt)’_t*t’_x =

f(фи(t))фи’(t)* = f(фи(t)) = f(x) ч.т.д.

Примеры.

1. ∫ = ∫= ∫ =

= arctgt+C = arctg+C

(x=at ; фи’(t)dt=dфи(t))

2. ∫cosxdx= ∫dsinx = ∫dt = ∫dt =

= +C= +C

3. ∫ = ∫ = ∫ = 2+C

44. Гиперболические функции. Длинный логарифм.

Гиперболическим синусом называется функция

shx =

Гиперболическим косинусом называется функция

chx =

ch²x-sh²x=1

- = =

= = 1. ч.т.д.

sh’x =( )’ = = chx

ch’x =( )’ = = shx

Обратные гиперболические функции.

y = archx óx = chx ó x =

2x = e^y+e^-y ó 2xe^y = e^2y+1

e^y = z ó 2xz = z²+1 ó z²-2xz+1=0

z₁=x+ ; z₂=x-

здесь следует взять z₁, т.к. z=e^y, и вместе с ростом x должно расти и e^y. Это выполняется для корня z₁, но не выполняется для корня z₂.

e^y= x+

y=ln|x+| = archx

Аналогично для y=arshx= ln|x+|

Длинный логарифм:

∫ x = acht ; t = arcch ; dx = ashtdt

∫ = ∫ = ∫ = ∫ = ∫dt =

= t+C = arcch+C = ln|+|+C =

= ln||+C = ln|x+|-lna+C

Замечание: для ∫ x = asht

45. Вычислениe неопределённых интегралов, содержащих в знаменателе квадратный трёхчлен.

∫dx, где Pn(x) – некоторый многочлен степени x.

= Q_n-2(x)+αx+β

∫dx = ∫Q_n-2(x)dx+∫dx =

первый вычисляется как сумма.

считаем второй:

I₂

I₁

∫dx = ∫ = ∫dx =

= ∫dx = ∫dx+ ∫

I₁=∫dx = ∫dx = ∫ = ln|t|+C = ln||+C


q-p²/4=d²
I₂= ∫= ∫= ∫= ∫=

= а) +C , если знак + ; б) ln||+C, если знак “-“

Замечание: используя те же приёмы, можно считать интегралы такого вида:

∫ = ∫ = длинный ln (=q-)
46. Универсальная тригонометрическая подстановка.

∫P(cosx,sinx)dx

t=tg , x= 2arctgt

sinx= 2sincos = = =

cosx= cos² – sin² = = =

dx= dt

∫P(cosx,sinx)dx = ∫P( , )dt


47. Комплексные числа.

z= x+yi – алгебраическая форма записи комплексного числа, где x – действительная часть к.ч., y – мнимая часть к.ч.

i – мнимая единица

i²= -1 ; i=

|z|= – расстояние от 0 до z

z с чёрточкой = x-iy (сопряжённое данному к.ч.)

Если z=0 => x и y тоже =0

Операции с к.ч.

+,-,*,/

Как в алгебре (не забывать, что i*i= -1)

Аргумент к.ч. определён не однозначно, а с точностью 2πk, k пр. Z

Argz=argфи+2πk, k пр.Z

x=2cosфи

y=2sinфи

z=x+iy

z=r(cosфи+isinфи)

r|z|=

Деление/умножение к.ч.

z₁=r₁(cosфи₁+isinфи₁)

z₂=r₂(cosфи₂+isinфи₂)

z₁*z₂= r₁r₂(cosфи₁+isinфи₁)(cosфи₂+isinфи₂)=

= r₁r₂(cos(фи₁+фи₂)+isin(фи₁+фи₂))

= (cos(фи₁-фи₂)+isin(фи₁-фи₂))

zⁿ= rⁿ(cosnфи+isinnфи)

Формула для корня к.ч.

w= ó wⁿ=z

z= r(cos(фи+2πk)+isin(фи+2πk))

w= ρ(cosпси+isinпси)

ρⁿ(cosnпси+isinnпси)=

=r(cos(фи+2πk)+isin(фи+2πk))

ρⁿ = r ó ρ =

nпси=фи+2πk ó пси= (фи+2πk)/n

пси_n=(фи+2π(n-1)/n

w_n= (cos +isin)

Показательная форма. Формула Эйлера.

e^iфи= cosфи+isinфи

cosфи= (e^iфи+ e^-iфи)/2

sinфи= (e^iфи- e^-iфи)/2

z= x+yi

e^z=e^x+yi=e^x * e^iy = e^x(cosфи+isinфи)

* = * =

= (cosy₁+isiny₁)*(cosy₂+isiny₂)=

= * =

=

= e^z * e^2πi=e^z(cos2π+isin2π)=e^z

т.о., e^z является периодичной функцией с периодом 2πi
48. Разложение многочлена на множители.

Многочлены – функции вида

F(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ

Функция P(x)= a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n , где a – постоянные коэффициенты, называется многочленом степени n.
49. Разложение рациональной дроби на простейшие.

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби может быть представлен в виде(множителей видаможет быть несколько), где - заданные числатрёхчленне имеет действительных корней. Тогдапредставляется в виде суммы простейших дробей 1-3 типов:

где

-неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к Примеры:

1)

Правильную рациональную дробь под интегралом представим в виде суммы простейших.

(16.1)

Первый метод — метод неопределенных коэффициентов — заключается в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х в (16.1)


Второй метод (частных значений) заключается в подстановке значений х в (16.1), в первую очередь, корней знаменателя.
50. Интегралы от рациональных дробей.


многочлен

правильная

дробь

Для того, чтобы посчитать интеграл от правильной дроби, разложим на сумму простых дробей и придём к подсчёту сумм интегралов от простых дробей.

1) +C

2) = +C (k≠1)

Замечание: вычислить интеграл значит найти F(x) от подынтегральной функции, однако существуют такие элементарные функции, F(x) которых через элементарные функции не выражаются, а значит, и интеграл не может быть вычислен. Например, ∫(sinx/x)dx или ∫dx.