NetNado
  Найти на сайте:

Учащимся

Учителям



1. Текстовые алгебраические задачи. Общие сведения


1. Текстовые алгебраические задачи.

1.1. Общие сведения.

Задачи на составление уравнений или текстовые алгебраические задачи представляют собой традиционный раздел элементарной математики. Запишем общепринятый порядок (алгоритм) решения текстовых задач с помощью составления уравнений:

  1. Вводят переменные, т.е. буквами x, y, z обозначают неизвестные величины, которые требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

  2. С помощью введенных переменных и данных задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

  3. Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

  4. Если буквами x, y, z обозначены не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Действия 1) и 2) вышеприведенного алгоритма состоят в переводе условия задачи с родного языка на язык математики. Это сравнение использовано Исааком Ньютоном в “Arithmetica Universales” и развито нашими современниками: математиком Д.Пойа и популизатором науки Я.И.Перельманом. В своей книге «Занимательная алгебра» Перельман пишет: «Составить уравнение – значит, выразить математическими символами условие, сформулированное словами. Это перевод с обычного языка на язык математических формул. Трудности, которые могут встретиться при составлении уравнений, являются трудностями перевода».

По – моему, сформулировано очень четко. Также в книге приведено несколько «переводов» несложных задач, но очевидно эта тема не слишком интересовала Я.И.Перельмана, иначе бы он, безусловно, нашел средства раскрыть ее во всем блеске. Недаром основная причина того, что большинство текстовых задач являются достаточно простыми физическими, химическими, экономическими и т.д. задачами состоит в том, что выработать переводческие навыки для этих наук иным способом гораздо тяжелее. Вот и получается «сто наук в одном флаконе», т.е., осваивая текстовые алгебраические задачи, заодно получаешь базовые навыки перевода в физике, химии и т.д.

Задача 1.1. Некто задумал число, прибавил к нему 7, затем сумму разделил на 3, к полученному частному прибавил 5, и получил задуманное число. Какое число было задумано?


Родной язык

Язык алгебры


Некто задумал число
прибавил к нему 7
затем сумму разделил на 3
к полученному частному прибавил 5
и получил задуманное число


x
x +7
(x + 7) : 3
(x + 7) : 3 + 5
(x + 7) : 3 + 5 = x




Решение: Обозначим задуманное число буквой x и выполним указанную последовательность операций: (x + 7): 3 + 5. Получили уравнение: (x + 7): 3 + 5 = x .

(x + 7): 3 + 5 = x

(x + 7): 3 = x – 5

x + 7 = 3 x – 15

2 x = 22

x = 11

Ответ: x = 11.

Такого рода задачи очень часто решают в начальной школе. Смысл их очень простой: сопоставить между собой слова родного и математического языка. Иначе говоря, составить словарик.


русский язык


язык алгебры

сумма

сложить

прибавить

+

+

+

разность

вычесть

отнять







произведение

умножить

×

×

частное

разделить

:

:
Эта работа начинается с обозначения чисел. Слову семь соответствует цифра 7, словосочетанию тысяча триста пятьдесят восемь число 1358. Затем осваиваются операции сравнения – больше (>), меньше (<), равно (=) и т.д. Как правило, сложности начинаются с бинарных операций: сумма (+), разность (–), произведение (×), частное (:). Каждая из этих операций имеет синонимы в родном языке. Так «найти сумму 25 и 15» означает то же самое, что «сложить 25 и 15» (25 +15). Кроме того, в задачах имеются специальные выражения, например «на 5 больше», которые также требуют перевода. Общее количество операций невелико, поэтому можно составить для них общую таблицу перевода.


В условии задачи

синоним

язык алгебры

на … больше

на … меньше

в … (раз) больше

в … (раз) меньше

всего

всех (все)

сумма

разность

произведение

частное

сумма*

произведение*


+



×

:

+

×

В вопросе задачи







на сколько больше (меньше)

во сколько больше (меньше)

разность

частное



:

* - как правило









Задача 1.2. На платформе были погружены дубовые и сосновые бревна, всего 300 бревен. Известно, что все дубовые бревна весили на 1 тонну меньше, чем все сосновые. Определить сколько было дубовых и сосновых бревен отдельно, если, каждое бревно из дуба весит 46 кг, а каждое сосновое бревно – 28 кг.

Анализ: В этой задаче встречаются специальные выражения: всего, все, на… меньше.

Решение: Пусть дубовых бревен было x , а сосновых – y штук, тогда всего бревен было

x + y = 300. Вес всех дубовых бревен составляет 46∙x , а вес всех сосновых – 28∙y . По условию разность между ними 28y – 46x составляет 1т = 1000 кг, т.е. 28y – 46x = 1000. Получаем систему уравнений:

x + y = 300

28y – 46x = 1000.

Решая эту систему, получаем: x = 100; y = 200.

Ответ: дубовых – 100 шт., сосновых – 200 шт.

Разумеется, имея таблицу перевода, гораздо легче выполнить правильный перевод. Нередко бывает и обратная ситуация, когда синонимы имеют слова математического языка.

Задача 1.3. Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное те ми же цифрами, но в обратном порядке.

Анализ: Введя в качестве неизвестного букву x, мы ничего не добьемся (9x =?), поэтому используем синонимы математического языка: x = a1 a2 a3 a4 a5;

a1 a2 a3 a4 a5 = 10000 a1 + 1000 a2 + 100 a3 + 10 a4 + a5.

Решение: Обозначив цифры искомого числа a1, a2, a3, a4, a5, соответственно, получим

уравнение: 9 a1 a2 a3 a4 a5 = a5 a4 a3 a2 a1 Т.е. 90000 a1 + 9000 a2 + 900 a3 + 90 a4 + 9 a5 =

= 10000 a5 + 1000 a4 + 100 a3 + 10 a2 + a1. Т.к. a5 a4 a3 a2 a1 < 99999, то a1 a2 a3 a4 a5 < 11111, т.е. a1 = 1, a5 = 9. Следовательно, 90000 + 9000 a2 + 900 a3 + 90 a4 + 81 = 90000 + 1000 a4 +

+ 100 a3 + 10 a2 + 1. 900a2 + 90a3 +9a4 + 8 = 100a4 + 10a3 + a2 < 1000. Следовательно, a2 принимает значения либо 0, либо 1.

Пусть a2 = 1, тогда a4 = 9. Подставляя эти значения в последнее уравнение, получим:

900 + 90a3 + 81 + 8 = 900 + 10a3 + 1; 80a3 = - 88, что невозможно, т.к. a3 – цифра.

Пусть a2 = 0, тогда 90a3 + 9a4 + 8 = 100a4 + 10a3; 9a4 + 8 = 10 (10a4 – 8a3). Из последнего уравнения следует, что 9a4 + 8 делится на 10. 9a4 = 72; a4 = 8. Подставив это значение в уравнение, получаем: 90a3 + 72 + 8 = 800 + 10a3; 80a3 = 720; a3 = 9.

Ответ: 10989 (10989 ∙ 9 = 98901)

Перевод задачи на математический язык очень часто затруднен и малопонятен. Поэтому для перевода будем пользоваться приемом, обычным при изучении иностранных языков – иллюстрацией, т.е. рисунком. Этот прием получил широкое распространение в геометрии (чертеж), механике (рисунок), химии и т.д. Роль иллюстрации в текстовых алгебраических задачах выполняет схема задачи. Существуют две основных схемы текстовых алгебраических задач с физическим, химическим, экономическим и т.д. «наполнителем» - «ящики» и «путь». В схеме «ящики» данные изменяются дискретно (скачками). В схеме «путь» - изменение непрерывное и часто постоянное. Это задачи «на движение». У каждой схемы есть свои преимущества и недостатки. Схема «ящики» удобна для составления таблиц, а схема «путь» более наглядна и универсальна. Для сложных задач часто применяются смешанные схемы: «путь + ящики».

1.2. « Ящики».

Задача 1.4. В трех ящиках лежат 122 яблока. Во втором ящике на 7 яблок меньше, чем в третьем и на 5 яблок больше, чем в первом. Сколько яблок в каждом ящике?

Схема задачи в этом случае очень простая.





1

2

3

всего
















122






























1

2

3

всего

x


x + 5

(x + 5) + 7

122



Общий подход достаточно ясен. Сначала делается рисунок, используя все известные данные условия, т.е. где ничего не сказано, там мы оставляем пустые клетки. Первоначально таких клеток – три (неизвестно количество яблок в каждом ящике). Затем вводятся неизвестные (опять с использованием всех данных условия). В данном случае достаточно ввести одно неизвестное.

Решение: Пусть в первом ящике находится x яблок, тогда во втором ящике будет (x + 5) яблок, а в третьем (x + 5) + 7 яблок. Всего в трех ящиках 122 яблока. Получаем уравнение:

x + x + 5 + x + 5 + 7 = 122; 3x = 105; x = 35. x + 5 = 40; x + 5 + 7 = 47.

Ответ: 35, 40, 47.

Отметим, что в этой задаче абсолютно безразлично, в котором из ящиков мы обозначим количество яблок буквой.


1

2

3

всего

y – 5

y

y + 7

122


1

2

3

всего

z -7 - 5

z – 7

z

122



Изменяются уравнения, но общий ответ задачи, конечно, не изменяется. Порядок заполнения пустых клеток в схеме определяется в первую очередь удобством.
Задача 1.5. Сестра старше брата на 6 лет, а через год будет старше его в два раза. Сколько лет каждому из них?

Схема задачи:




время

Б

С

С/Б




сейчас














через год







2















































время

Б

С

С/Б

сейчас


x


x + 6




через год

x + 1

x + 7

2


(x + 7):(x + 1) = 2; x + 7 = 2x + 2; x = 5.

Решение: Пусть возраст брата – x лет, тогда возраст сестры – (x + 6) лет. Через год брату будет (x + 1) лет, а сестре – (x + 7) лет. По условию (x + 7):(x + 1) = 2. x + 7 = 2x + 2; x = 5.

Ответ: брату – 5 лет, сестре – 11 лет.

Отметим одно очень важное обстоятельство. Для того чтобы решить задачу, нам нужен очень хороший (канонический) перевод на язык математики, который собственно и является стандартным решением. Для перевода на язык схем такое качество не требуется, т.е. вполне можно обойтись фрагментами и общим смыслом, лишь бы было понятно. И это «понятно» должно быть именно (только) во время решения задачи. Через день можно полностью забыть смысл построенной схемы, что за беда, если в любой момент можно составить ее заново. Более того, готовая, старая схема очень часто бесполезна, особенно для сложных задач. Поэтому схема не должна превращаться в чертеж и быть «красивой», вполне достаточно, если «красивым» будет запись решения задачи. Поэтому в том случае, когда затруднительно составить полную схему задачи, надлежит пользоваться простыми фрагментами полной схемы задачи (без составления полной схемы). Какие-то фрагменты схем в сложных задачах составлялись и ранее, т.к. без этого просто невозможно обойтись. В задачах 1.6. и 1.7. сделан следующий шаг – схема стала органической частью перевода. Сначала производится перевод с русского языка на язык схем, а затем с языка схем – на язык алгебры.

Задача 1.6. Имеются три сплава. Первый содержит 30% никеля и 70% марганца, второй – 10% марганца и 90% меди, третий 15% никеля, 25% марганца и 60% меди. Из них приготовили сплав, масса которого 15кг, содержащий 40% меди и 42% марганца. Какое количество первого, второго и третьего сплава взяли для этого?

Полная схема для этой задачи получается довольно сложной:




Ni

Mn

Cu

всего

1

30%

0,3x

70%

0,7 x

0

0

100%

x

2

0

0

10%

0,1y

90%

0,9y

100%

y

3

15%

0,15z

25%

0,25z

60%

0,6z

100%

z

4

18%

2,7кг

42%

6,3кг

40%

6кг

100%

15кг



Поэтому полная схема не составляется, а пользуются ее более простыми фрагментами, например такими:





Ni

Mn

Cu

всего

1

30%

70%

0

100%

2

0

10%

90%

100%

3

15%

25%

60%

100%

4

18%

2,7кг

42%

6,3кг

40%

6кг

100%

15кг






Ni

Mn

Cu

всего

1

30%

70%




100%

2




10%

90%

100%

3

15%

25%

60%

100%










































































































































































Ni

Mn

Cu

всего

1










x

2










y

3










z

4

2,7кг

6,3кг

6кг

15кг




Ni

Mn

Cu

всего

1

0,3x

0,7x

0

x

2

0

0,1y

0,9y

y

3

0,15z

0,25z

0,6z

z

4

2,7кг

6,3кг

6кг

15кг



4






42%


40%


100%

15кг



Решение: Новый сплав содержит никель в количестве 18%, т.к. 100% - 42% - 40% = 18%. Таким образом масса никеля в новом сплаве равна 15кг×18%:100% = 2,7кг; марганца – 6,3кг; меди – 6кг. Пусть взято x кг первого сплава, y кг второго сплава и z кг третьего сплава. Тогда общая масса слитка будет x + y + z = 15 (кг). Масса никеля в слитке будет 0,3x + 0,15 z = 2,7 (кг); масса марганца – 0,7x + 0,1y + 0,25z = 6,3 (кг); масса меди – 0,9y + 0,6 z = 6 (кг). Получили систему уравнений:

x + y + z = 15

0,3x + 0,15 z = 2,7

0,7x + 0,1y + 0,25z = 6,3

0,9y + 0,6 z = 6

Решая эту систему, получаем x = 7, y = 4, z = 4.

Ответ: 7кг первого сплава, 4кг второго сплава и 4кг третьего сплава.

Задача 1.7. Вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк, а оставшуюся часть во второй банк. К концу года сумма вкладов стала равной 670 денежным единицам, к концу следующего года – 749 денежным единицам. Если бы первоначально 5/6 исходного количества денег положили во второй банк, а оставшуюся часть в первый банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 денежным единицам. В предположении , что исходное количество денег целиком положено в первый банк, определите величину вклада по истечении двух лет.

Схема задачи:

время

1

2

деньги

0





5/6

1/6


670

710
Заполнение этого фрагмента полной схемы требует дополнительных данных, которые выявляются из второго фрагмента.

время

1

2

деньги

0





x% A

A(1 + 0.01x)

A(1 + 0.01x)2



y% B

B(1 + 0.01y)

B(1 + 0.01y)2


A + B

A(1 + 0.01x) + B(1 + 0.01y)

A(1 + 0.01x)2 + B(1 + 0.01y)2



время

1

2

деньги

0





100 x% A

A(1 + x)

A(1 + x)2



100 y% B

B(1 + y)

B(1 + y)2


A + B

A(1 + x) + B(1 + y)

A(1 + x)2 + B(1 + y)2

Избавиться от дробей во втором фрагменте можно, если задать процентные ставки банков не x% и y%, а 100x% и 100y%. Пользуясь этим фрагментом схемы, можно заполнить первый фрагмент схемы и еще два фрагмента, необходимых для решения задачи.

время

1

2

деньги

0





5/6 A

5/6 A(1 + x)

5/6 A(1 + x)2


1/6 A

1/6 A(1 + y)

1/6 A(1 + y)2



A

670

710




время

1

деньги

0





A

A(1 + x)

A(1 + x)2

A

A(1 + x)

A(1 + x)2





время

1

2

0



1/6 A

1/6 A(1 + x)


5/6 A

5/6 A(1 + y)





Решение: Пусть общее количество денег – А, и первый банк выплачивает 100 x% годовых, а второй банк – 100 y% годовых. Если 5/6 А положены в первый банк, то через год там будет 5/6 А(1 + x), через два года – 5/6А(1 + x)2. Если 1/6 А положены во второй банк, то через год там будет 1/6 А(1 + y), через два года – 1/6 А(1 + y)2. Если 1/6 А положены в первый банк, то через год там будет 1/6 А(1 + x). Если 5/6 А положены во второй банк, то через год там будет 5/6 А(1 + y). Если в первый банк положена сумма А, то через два года там будет сумма А(1 + x)2. По условию 5/6 А(1 + x) + 1/6А(1 + y) = 670;

5/6А(1 + x)2 + 1/6 А(1 + y)2 = 749; 1/6 А(1 + x) + 5/6А(1 + y) = 710. Требуется найти А(1 + x)2. Получили систему уравнений:

5/6 А(1 + x) + 1/6А(1 + y) = 670

5/6А(1 + x)2 + 1/6 А(1 + y)2 = 749

1/6 А(1 + x) + 5/6А(1 + y) = 710

Решая эту систему, получаем: x = 0.1; y = 0.2; A = 600. Значит А(1 + x)2 = 726.

Ответ: 726 денежных единиц.

1.3. « Путь».

Задача 1.8. Два автомобиля выезжают навстречу друг другу из А в В и из В в А. После встречи автомобилей одному придется быть в пути еще 2 часа, а другому 9/8 часа. Определите скорость автомобилей, если АВ = 210 км.

В этой задаче можно воспользоваться полной схемой:






  1. xt = 9/8y

  2. yt = 2x

  3. xt + yt = 210

  4. 9/8y + 2x = 210

  5. xt + 2x = 210

  6. yt + 9/8y = 210
В схемах этого типа одинаковым отрезкам соответствуют одинаковые числа. Очень полезно записать все выявляемые соотношения. Это делается, в первую очередь, для более легкого решения получающейся системы уравнений. В данном случае, разделив уравнение (1) на уравнение (2) получаем x/y = (9/8y)/(2x).

После несложных преобразований получаем x/y = 3/4; t = 3/2.

Подставив эти значения в (3) получаем 210 = xt + yt = (3/4y)(3/2) + 3/2y = 21/8y. Итого y = 80; x =60. Очевидно, что удобно взять уравнения (1), (2) и (3).

Решение: Пусть x – скорость первого автомобиля, y – скорость второго автомобиля, а t – время, которое прошло с момента их выезда до встречи. Пусть также первому автомобилю придется быть в пути еще 2 часа с момента встречи. Тогда первый автомобиль проехал до встречи xt (км), а всего xt + 2x = 210 (км). Второй автомобиль проехал до встречи yt (км), а всего yt + 9/8y = 210 (км). До встречи оба автомобиля вместе проехали расстояние АВ, т.е. xt + yt = 210 (км). Получили систему уравнений:


xt + 2x = 210

yt + 9/8y = 210

xt + yt = 210



И т.д.

Ответ: 60 км/ч; 80 км/ч.

В этой задаче вместо нужной нам системы (1), (2), (3) получилась более сложная в решении система (3), (5), (6). Такой выбор между более сложной текстовой частью и более сложной системой уравнений приходится делать довольно часто. В данном случае выбор очевиден: удобнее проделать операции преобразования с самими уравнениями, чем с их текстовым описанием. Записать решение задачи можно по-разному. В каждом случае следует выбирать из тех возможностей, которые открываются в процессе решения задачи.

Задача 1.9. Первая труба заполняет бассейн за половину того времени, за которое вторая труба заполняет 2/3 этого бассейна. Вторая труба отдельно наполняет бассейн на 6 часов дольше, чем одна первая труба. Сколько времени наполняет бассейн каждая труба отдельно?

Фрагменты полной схемы в этой задаче следующие:






А – объем бассейна.

xt = A

2yt = 2/3A

y(t +6) = A

xt = A

3yt = A

y(t +6) = A



3yt = y(t + 6); 3t = t +6; t = 3; t + 6 = 9.

Решение: Пусть первая труба заполняет бассейн за t часов, тогда вторая труба заполняет бассейн за (t + 6) часов. По условию, за время 2t вторая труба заполняет 2/3 бассейна, т.е. за время t вторая труба заполнит 1/3 бассейна, а за время 3t – весь бассейн. Получили уравнение: 3t = t + 6. t = 3; t + 6 = 9.

Ответ: первая труба – 3 часа, вторая – 9 часов.

В задаче 1.9. удалось использовать простоту получившегося в процессе решения уравнения (3t = t +6) и полностью отказаться от записи решения по схеме. Т.е. в данном случае оказалось удобнее проделать операции преобразования с текстовым описанием уравнений, а не с самими уравнениями. Эта задача интересна еще и тем, что для ее решения следует вроде бы применять схему «объемы», а мы применили схему «путь». Собственно говоря, можно ввести десятки и сотни схем на все случаи жизни, но гораздо удобнее стандартизировать этот процесс. Поэтому в задаче 1.9. составляется схема не для исходной задачи, а для аналогичной, например такой:

Задача 1.9а. Мотоциклист и велосипедист одновременно выезжают из А в В. Мотоциклист проезжает расстояние АВ за половину того времени, за которое велосипедист проедет 2/3 этого расстояния. Сколько времени находился в пути каждый из них, если велосипедист приехал в В на 6 часов позже мотоциклиста?

Отметим, что новое условие записывать не нужно, хотя на первых порах полезно.

Задача 1.10. Две бригады, работая вместе, могут выполнить работу за 8 часов. Первая бригада, работая одна, может выполнить работу на 12 часов быстрее, чем вторая бригада. Сколько часов потребовалось бы первой бригаде для выполнения этой работы?

Запишем аналогичную задачу:

Задача 1.10а. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выходят два поезда и встречаются через 8 часов. Первый поезд прибывает в конечный пункт на 12 часов раньше второго поезда. Сколько часов был в пути первый поезд?

Схема задачи:







  1. 8x = (t + 12)y

  2. 8y = xt

  3. 8(x + y) = xt + (t + 12)y

  4. 8x + xt = 8y + (t + 12)y
Перемножив уравнения (1) и (2) получаем: 64xy = t(t +12)xy

Отсюда t(t + 12) = 64. Решая это уравнение, получаем:

t = 4; t + 8 = 12. (12 часов).

Решение: Пусть x – производительность первой бригады, а y – производительность второй бригады и пусть ту часть работы, которую вторая бригада выполнит за 8 часов, первая бригада выполнит за t часов. Получаем уравнение: xt = 8y. Т.к. всю работу обе бригады выполняют за 8 часов, то всю работу первая бригада выполнит за (t + 8) часов. По условию, вторая бригада всю работу выполняет на 12 часов дольше, чем первая, т.е. за (t + 20) часов. Получили второе уравнение: (t + 8)x = (t + 20)y. Разделив первое уравнение на второе, получаем уравнение для определения переменной «t»: t/(t + 8) = 8/(t +20).

Следовательно, t(t + 20) = 8(t + 8); t2 + 12t – 64 = 0; D = 144 + 256 = 400; t1 = 4; t2 = -16. Значит t = 4, t + 8 = 12.

Ответ: 12 часов.

Отметим два момента:

1) Записав в анализе задачи уравнение (2) в виде xt = 8y, можно сразу получить уравнение для «t», разделив уравнение (1) на (2).

2) В решении использовано преобразованное уравнение (4): (t + 8)x = (t + 20)y.

Таким образом, полезно исследовать различные формы записи уравнений, получившихся в результате анализа задачи. Относительно второго пункта отметим следующее: если схема задачи будет введена в обычную школьную практику, текстовое «правдоподобное» решение не понадобиться. Очень редко встречаются дети (и взрослые), обладающие настолько развитым логическим мышлением, что могут работать только с текстом. И уж если действительно развивать «логику», то необходимо четко ориентироваться в символизме. Возьмем хотя бы букву «x». В этой небольшой статье мы считаем, что xчисло, дубовые бревна, яблоки, возраст, вес (кг), проценты (деньги), скорость (автомобиля), производительность (бригады). Тут необходимо иметь отнюдь не цельность мышления, а совсем наоборот – анализ. Введение в анализ «квадратиков», «стрелок», «отрезков», как элементов исследования, дает реальную возможность обогатить математическую символику, т.е. увеличить эффективность школьной математики. Действительно, при таком богатстве декларируемой фантазии, когда столь разнородные объекты объявляются одним и тем же «x», отказать в самовыражении простым людям, которым требуются «костыли» в виде «квадратиков» и «отрезков» – не соответствует правилам хорошо воспитанных людей (не комильфо). Схема отнюдь не является универсальным средством решения текстовых задач. Тем не менее, большинство задач на составление уравнений и на исследование логических операций прекрасно решаются с применением схем. Такого рода задачи составляют подавляющее большинство школьных задач.

В заключение пример смешанной схемы «путь» + «ящики».

Задача 1.11. Дорога из пункта А в пункт В длиной 11,5 км идет сначала в гору, затем по равнине, и наконец под гору. Пешеход на путь от А до В затратил 2ч 54мин, а на обратную дорогу – 3ч 6мин. Скорость его ходьбы в гору равна 3 км/ч, на равнине – 4 км/ч, а под гору – 5 км/ч. Сколько километров составляет та часть дороги, которая идет по равнине?

Применим схему «путь»:





Зададим числовые значения АМ = 1,5 км; MN = 4 км; NB = 6 км. (11,5 – 1,5 – 4 = 6). Тогда на путь из А в В пешеход затратит

1,5/3 + 4/4 + 6/5 = 0,5 + 1 + 1,2 = 2,7 (часа), а на обратную дорогу 6/3 + 4/4 + 1,5/5 = 2 + 1 + 0,3 = 3,3 (часа).

Поэтому введем для отдельных участков пути обозначения x, y, z, а также используем смешанную схему «путь» + «ящики».







в гору

по равнине

под гору

всего

из А в В

x/3

y/4

z/5

2,9ч

из B в A

z/3

y/4

x/5

3,1ч



x + y + z = 11,5


x/3 + y/4 + z/5 = 2,9

x/5 + y/4 + z/3 = 3,1


Решив эту систему уравнений, получаем: x = 3; y = 4; z = 4,5.

Решение: Пусть x – длина дороги из А в В в гору, y – длина дороги из А в В по равнине, z – длина дороги из А в В под гору. По условию x + y + z = 11,5. Время в пути из А в В составляет x/3 – в гору, y/4 – по равнине, z/5 – под гору, а всего x/3 + y/4 + z/5 = 2,9. Время в пути из В в А составляет z/3 – в гору, y/4 – по равнине, x/5 – под гору, а всего z/3 + y/4 + x/5 = 3,1. Получили систему линейных уравнений с тремя неизвестными. И т.д.

Ответ: 4км.

страница 1


скачать

Другие похожие работы: