Контрольная работа по теме «Корни, степени и логарифмы»

2. Треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный с прямым углом C и гипотенузой 8 см. Отрезок CM перпендикулярен плоскости треугольника и равен 3 см. Отрезок MN  прямой AB. Вычислите длину отрезка MN.

3. На рисунке 3.1 прямые SA, SC, SB не лежат в одной плоскости. Среди отрезков EN, EF, KL, KM, FL, MN найдите пересекающиеся, не выходящие из одной точки, и лежащие на скрещивающихся прямых. Ответ обоснуйте.

II вариант

1. ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед. Докажите:

а) AD  AB₁;

б) AD || плоскости BB₁C₁C;

в) AD  C₁C.

2. Треугольник ABC равносторонний со стороной см. Отрезок AE перпендикулярен плоскости треугольника ABC, отрезок EK  прямой BC, длина отрезка AE = см. Вычислите длину отрезка EK.

3. Через прямую a проходят две различные плоскости  и . В плоскости  взята прямая a, в плоскости  – прямая b. Могут ли прямые a и b быть:

Для каждого случая сделайте рисунок и обоснуйте ответ.

Контрольная работа № 2 по теме «Прямые и плоскости» (28 ч)

I вариант

1. Плоскости равностороннего треугольника ABC и квадрата BCDE перпендикулярны. Найдите расстояние от точки A до стороны DE, если AB = 4 см.

2. ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед. AB = AD = 8 дм, AA₁ = 2 дм. M – середина B₁C₁, K – середина C₁D₁. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью BMK, определите его вид и найдите его площадь.

3. Плоскости  и  параллельны. Через точку O, вне этих плоскостей, проведены две пересекающиеся прямые a и b. Прямая a пересекает плоскость  в точке A, плоскость  – в точке A₁, а прямая b пересекает плоскости  и  в точках B и B₁ соответственно. OA : OA₁ = 2 : 3, AB = 10 см.

Найдите A₁B₁.

Рассмотрите все возможные случаи.
II вариант

1. Плоскости равнобедренного треугольника ABC и квадрата ABDE перпендикулярны. Найдите расстояние от точки C до стороны DE, если AB = 6 см и ABC = 90.

2. ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед. AB = AD = 12 см, AA₁ = 3 см. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью AKE, где K – середина A₁B₁ и E – середина B₁C₁. Определите вид сечения и найдите его площадь.

3. Плоскости  и  параллельны. На плоскости  взяты точки C и D, так что CD = 8 см. На плоскости  взята точка A и проведена прямая AC. Через точку D и точку M  AC и лежащую вне плоскостей  и  проведена прямая DM, которая пересекает плоскость  в точке K.

Найдите длину отрезка AC, если AK = 4 см, а AM = 3 см.

Рассмотрите все возможные случаи.

Контрольная работа по теме «Комбинаторика» (12 ч)

I вариант

1. Сколько слагаемых (до приведения подобных членов) получится, если раскрыть скобки в произведении

(x + y)(x² + xy + y²)(x³ + y³ – x²y)?

2. Антон и Борис набирают на компьютере последовательность символов. Антон набирает подряд 15 символов, Борис – 3 символа. При этом Антон может использовать 4 различных символа, а Борис – 10. Кто из них может набрать больше последовательностей?

3. Из пяти букв А, Б, В, Г, Е составляют шестибуквенное слово, начинающееся с гласной буквы. Сколько можно составить таких слов, используя каждую букву любое число раз?

4. Чему равно число способов, которыми можно из класса в 15 человек выбрать группу из трех человек и назначить в ней старшего?

5. В слове ТЕОРЕМА переставили буквы всеми возможными способами. Сколько получилось различных вариантов?
II вариант

1. Сколько слагаемых (до приведения подобных членов) получится, если раскрыть скобки в произведении

(a – b)(a² + b²)(a³ – a²b + ab² – b³)?

2. Антон и Борис набирают на компьютере последовательность символов. Антон набирает подряд 4 символа, Борис – 5 символов. При этом Антон может использовать 8 различных символов, а Борис – 5. Кто из них может набрать больше последовательностей?

3. Из пяти букв А, Б, В, Г, Е составляют шестибуквенное слово, начинающееся с согласной буквы. Сколько можно составить таких слов, используя каждую букву любое число раз?

4. Чему равно число способов, которыми можно из класса в 20 человек выбрать группу из четырех человек и назначить в ней старшего?

5. В слове ВАРИАНТ переставили буквы всеми возможными способами. Сколько получилось различных вариантов?

Контрольная работа по теме «Координаты и векторы» (12 ч)

I вариант

1. Дан тетраэдр DABC, K – середина ребра AC, M – середина отрезка KD, , , . Разложите вектор по векторам , , .

2. Даны векторы {1; –2; 0}, {3; –6; 0} и {0; –3; 4}.

Найдите координаты и длину вектора .

3. Найдите скалярное произведение , если  = 2,  = 3,  = 120.

4. Даны точки C(3; –2; 1), D(–1; 2; 1), M(2; –3; 3), N(–1; 1; –2). Найдите

5. ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб. Точка M – середина стороны DD₁. Найдите угол между прямыми AM и DC₁.
II вариант

1. В тетраэдре DABC O – середина CB, F  AD, причем AF : FD = 2 : 1. Разложите вектор по векторам , и .

2. Даны векторы {1; –3; –1}, {–3; 1; 0} и {3; 0; –1}.

Найдите координаты и длину вектора .

3. Найдите скалярное произведение , если  = 4,  = 1,  = 60.

4. Даны точки A(1; –1; –4), B(–3; –1; 0), C(–1; 2; 5) и D(2; –3; 1). Найдите

5. ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб. M – середина стороны DD₁. Найдите угол между прямыми AC и C₁M.

Контрольная работа № 1 по теме «Основы тригонометрии» (28 ч)

I вариант

1. Изобразите на числовой окружности точки P_t, соответствующие числам

t = ; ; ; ; ; ;

и сравните значения косинусов этих чисел.

2. Вычислите , если sin  =  и угол  лежит во второй четверти.

3. Докажите тождество

 = tg²

4. Преобразуйте в произведение

cos  – cos 3 + cos 5 – cos 7

5. Упростите выражение и найдите его значение:

при .

6. Сравните числа, используя тригонометрическую окружность:

sin 12 и cos 13.

7*. Докажите тождество

sin 10° + 2 sin 5° cos 15° + cos 50° = cos 10°.
II вариант

1. Изобразите на числовой окружности точки P_t, соответствующие числам

t = ; ; ; ; ; ;

и сравните значения синусов этих чисел.

2. Вычислите , если cos  = –0,6 и угол  лежит в третьей четверти.

3. Докажите тождество

(tg  + ctg )(1 – cos 4) = 4 sin 2

4. Преобразуйте в произведение

sin  – sin 3 – sin 5 + sin 7

5. Упростите выражение и найдите его значение:

при .

6. Сравните числа, используя тригонометрическую окружность:

sin 14 и cos 9.

7*. Докажите тождество

sin 40° – 2 cos 10° sin² 15° + sin 20° = cos 10°.
Контрольная работа № 2 по теме «Основы тригонометрии» (28 ч)

I вариант

1. Решите тригонометрические уравнения:

а)  г) 2 cos²x + 9 sin x + 3 = 0

б) cos 2x = sin  д) sin 6x + sin 2x = sin 4x

в) sin x = cos x

2. Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку

а) , 0  x  2

б) cos 2x + sin²x = cos x, –  x  
II вариант

1. Решите тригонометрические уравнения:

а)  г) 5 – 2 sin²x + 7 cos x = 0

б) sin 2x – 1 = 0 д) cos 3x – cos 5x = sin 4x

в) sin x + cos x = 0

2. Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку

а) , –  x  

б) cos 2x + sin x = cos²x, 0  x  2

Контрольная работа № 1 по теме «Функции и графики» (28 ч)

I вариант

1. Проведите полное исследование функции и постройте ее график:

y = x² – 2x – 3.

По графику определите, при каких a уравнение f(x) = a имеет два положительных корня.

2. Дана функция y = f(x), где .

Постройте графики функций:

а) y = f(x) в) y = f(|x|)

б) y = |f(x)| + 1 г) y = f(x + 2)

и выделите среди них те, которые обладают свойствами четности или нечетности (выбор обоснуйте).

3. Найдите область определения функции

lg .
II вариант

1. Проведите полное исследование функции и постройте ее график:

y = –x² + 4x + 5.

По графику определите, при каких a уравнение f(x) = a имеет два положительных корня.

2. Дана функция y = f(x), где .

Постройте графики функций:

а) y = f(x) в) y = f(|x|)

б) y = |f(x)| + 1 г) y = f(x + 2)

и выделите среди них те, которые обладают свойствами четности или нечетности (выбор обоснуйте).

3. Найдите область определения функции

ln .

Контрольная работа № 2 по теме «Функции и графики» (28 ч)

I вариант

1. Постройте график функции



и опишите ее свойства.

2. Сравните числа, используя свойства монотонности функции:

а)  и б) 5^–8,1 и 5^–9 в)  и

Ответы обоснуйте.

3. Решите неравенство

.

4. Решите уравнения

а) log₂(x + 2) = 15 – 2x в) lg (x² – 6x + 9) = lg 3(x + 3)

б) 2  4^x – 3  2^x – 2 = 0
II вариант

1. Постройте график функции



и опишите ее свойства.

2. Сравните числа, используя свойства монотонности функции:

а) 28¹⁶ и 79¹⁶ б) 0,3^–12 и 0,3^–11 в)  и

Ответы обоснуйте.

3. Решите неравенство

.

4. Решите уравнения

а) 0,5^x – 1 = 3x + 14 в) log₆ (2x² – x) = log₆ 3x

б) 3  25^x – 14  5^x – 5 = 0