Построение математических моделей объектов проектирования

Лабораторная работа №1
Тема: Построение математических моделей объектов проектирования.

1. 
   Определение внутренних, выходных и внешних параметров;
   
2. 
   Задание целевых функций.
   
3. 
   Задание ограничений и построение области работоспособности D (допустимой области).
   

Задание №1.

Задача. Для перевозки газа спроектировать замкнутую тонкостенную цилиндрическую ёмкость минимальной массы G и максимального объёма V (рис. 1). Ёмкость должна вмещать не менее 60м³ газа при давлении Р=35*10⁵ Н/м². Напряжение в радиальном направлении ёмкости  не должно превышать 2*10⁸ Н/м², а окружная деформация =2*10^-3м. Средний радиус ёмкости – R и толщина стенки – t. Указанные напряжение и деформация могут быть записаны в виде =PR/t, =PR(2-)/2Et, где  – коэффициент Пуассона (=0.3), E – модуль упругости (E=2*10¹¹ Н/м²). Длина ёмкости L= 8м, материал для изготовления ёмкости выбран g=7.7*10⁴ Н/м³, где g- плотность материала, g – ускорение свободного падения.


t

D

L

L

L


Рис. 1.

1.Составить перечень всех внутренних параметров;

1.1. указать какие параметры управляемые,

1.2. указать область определения управляемых параметров.

2. Составить перечень внешних и выходных параметров;

3. Записать целевые (частные критерии) функции G и V;

4. Записать функциональные ограничения;

5. Изобразить графически допустимую область (область работоспособности);

6. Сформулировать заданную задачу как задачу нелинейного программирования, используя метод главного критерия (масса G главный критерий).

7. Сформулировать заданную задачу как задачу многокритериальной оптимизации.
Задание №2. Что является областью допустимых значений при указанных ниже ограничениях? Изобразите графически область допустимых значений для двумерных оптимизационных задач.
Рассмотрим пример построения области D.

Пусть область D задана системой неравенств:

g₁(x₁, x₂)=x₁+2x₂≤10;

g₂(x₁, x₂)=x₁+x₂≥1;

x₂≥4, x₁≥0, x₂≥0.

Введем обозначения: x=x₁, y=x₂.

Неравенства x≥0, y≥0 задают область, которая лежит в первом квадранте (первая четверть). Далее преобразуем первое неравенство 2y≤10-x в равенство y=5-0.5x и строим график данной функции. Область, определённая данным неравенством, будет лежать ниже прямой y=5-0.5x (рис. 2). Область, определённая неравенством x+y≥1, лежит выше прямой y=1-x; область, определённая неравенством y≥4, лежит ниже прямой y=4.

y=1-x

y=4

y=5-0.5*x

Область D


Рис. 2. Допустимая область
Таким образом, допустимая область D представляет собой многоугольник (рис. 2), ограниченный следующими прямыми: y=5-0.5x, y=1-x; y=4, x=0, y=0.
Для заданных примеров изобразите графически область D, используя графические средства пакета MathCad (можно использовать и другие пакеты).

1. h₁(x₁, x₂)=x₁+x₂-4=0; h₂(x₁, x₂)=2x₁-x₂+1=0, пример обязателен;

2. g₁(x₁, x₂)=x₁-x₂+30; g₂(x₁, x₂)=x₁-x₂+40, пример обязателен;

3. g₁(x₁, x₂)=2x₁+x₂-40; x₁0; x₂0, пример обязателен;

4. g₁(x₁, x₂)=x₁-x₂0; g₂(x₁, x₂)=x₂-x₁×x₁+2x₁-10; x₁0; x₂0;

5. g₁(x₁, x₂)=-x₁+x₂0; g₂(x₁, x₂)=-x₂+x₁×x₁-2x₁+10; x₁0; x₂0;

6. g₁(x₁, x₂)=x₁-2x₂+40; g₂(x₁, x₂)=5x₁-2x₂-40; g₃(x₁, x₂)=x₁+x₂-4=0, пример обязателен.

7. g₁(x₁, x₂)=x₁+2x₂0, g₂(x₁, x₂)=16x₁+6x₂0, g₃(x₁, x₂)=9x₁+7x₂69.

8. g₁(x₁, x₂)=, g₂(x₁, x₂)=-2x₁+x₂1; x₁-2x₂1.

9. h₁(x₁, x₂)=x₁+x₂-3=0; h₂(x₁, x₂)=2x₁-x₂+1=0.

10. g₁(x₁, x₂)=; g₂(x₁, x₂)=x₁-x₂2.

11. g₁(x₁, x₂)=x₁--20; g₂(x₁, x₂)=x₁-x₂+40.

12. g₁(x₁, x₂)= ; g₂(x₁, x₂)=x₁-x₂+2³0; x₁0; x₂0.

13. g₂(x₁, x₂)= ; g₂(x₁, x₂)= -(x₁+)+1³0; g₃(x₁, x₂)=-x1-x2+1³0.

14. g₁(x₁, x₂)= ; g₂(x₁, x₂)=-x₁-x₂+1³0.

15. g₁(x₁, x₂)=-x₁-x₂+2³0; g₂(x₁, x₂)=x₂--10; x₁0; x₂0.

16. g₁(x₁, x₂)= ; g₂(x₁, x₂)=x₁+2x₂-0.5³0; x₁³0; x₂³0.

Задание №3.

Задача.

Резисторный делитель (рис.3) имеет следующие выходные параметры:



Рис. 3. Резисторный делитель

постоянное время перезагрузки ёмкости С;

напряжение на выходе.
мощность рассеяния;

Условие работоспособности: <0.5 мкс; P<100 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).

1.Составить перечень всех внутренних параметров;

1.1. указать какие параметры управляемые,

1.2. указать область определения управляемых параметров.

2. Указать перечень выходных параметров.

3. Указать функциональные ограничения.

4. Изобразить графически допустимую область D (область работоспособности) в координатах (R₁ Ком, R₂ Ком).

Варианты заданий.

1. 
   Условие работоспособности: <0.4 мкс; P<100 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
   
2. 
   Условие работоспособности: <0.5 мкс; P<100 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
   
3. 
   Условие работоспособности: <0.6 мкс; P<100 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
   
4. 
   Условие работоспособности: <0.4 мкс; P<150 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
   
5. 
   Условие работоспособности: <0.5 мкс; P<150 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
   
6. 
   Условие работоспособности: <0.6 мкс; P<150 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
   
7. 
   Условие работоспособности: <0.4 мкс; P<100 мВт; 5В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
   
8. 
   Условие работоспособности: <0.5 мкс; P<100 мВт; 5В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
   
9. 
   Условие работоспособности: <0.6 мкс; P<100 мВт; 5В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
   
10. 
    Условие работоспособности: <0.4 мкс; P<150 мВт; 5В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
11. 
    Условие работоспособности: <0.5 мкс; P<150 мВт; 5В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
12. 
    Условие работоспособности: <0.6 мкс; P<150 мВт; 5В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
13. 
    Условие работоспособности: <0.5 мкс; P<120 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
14. 
    Условие работоспособности: <0.4 мкс; P<120 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
15. 
    Условие работоспособности: <0.6 мкс; P<120 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
16. 
    Условие работоспособности: <0.4 мкс; P<200 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
17. 
    Условие работоспособности: <0.5 мкс; P<200 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
18. 
    Условие работоспособности: <0.6 мкс; P<200 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
19. 
    Условие работоспособности: <0.5 мкс; P<100 мВт; 5В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
20. 
    Условие работоспособности: <0.4 мкс; P<150 мВт; 4В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
21. 
    Условие работоспособности: <0.6 мкс; P<100 мВт; 5В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
22. 
    Условие работоспособности: <0.5 мкс; P<150 мВт; 5В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
23. 
    Условие работоспособности: <0.5 мкс; P<120 мВт; 3В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
24. 
    Условие работоспособности: <0.5 мкс; P<100 мВт; 3В--9; мк=10^-6; м=10^-3).
    
25. 
    Условие работоспособности: <0.6 мкс; P<150 мВт; 3В--9; мк=10^-6; м=10^-3).