Проекта из учебника по алгебре для 7 класса из главы 1 «Введение в алгебру» Проект 2 Двоичная система счисления Постановка задачи Каждое натуральное число n можно представить в виде n = a k  10

Предлагаем еще один пример проекта из учебника по алгебре для 7 класса из главы 1 «Введение в алгебру»

Проект 2

Двоичная система счисления

1. Постановка задачи

Каждое натуральное число n можно представить в виде

n = a_k  10^k + a_k – 1  10^k – 1 + a_k – 2  10^k – 2 + … + a₂  10² + a₁  10 + a₀,

где «цифры» a_k, a_k– 1, a_k– 2, ..., a₂, a₁, a₀ – это целые числа от 0 до 9.

В десятичной системе счисления вместо суммы записывают последовательность цифр:

.

Так, 346 = 3  10² + 4  10 + 6, 20300 = 2  10⁴ + 3².

Аналогично в качестве основания системы счисления можно взять любое натуральное число a > 1, представить n в виде

n = b_s  a^s + b_s – 1  a^s – 1 + b_s – 2  a^s – 2 + … + b₂  a² + b₁  a + b₀,

где 0 ≤ b_i ≤ a – 1, и записать его в a-ичной системе счисления в виде последовательности цифр

.

Особую роль играет число a = 2.

Двоичную систему счисления широко используют в компьютерах.
Цель работы: научиться производить вычисления в двоичной системе счисления.

2. Обдумывание условия

Двоичная система счисления требует только две цифры: 0 и 1.

Запись числа в двоичной системе счисления делается так.

Цифры пишутся, начиная с последней.

Если n нечетно, то пишется 1.

Если n четно, то пишется 0.

Затем число n – 1 (в первом случае) или n (во втором) делится на 2 и с частным проделывают ту же процедуру.

В примерах мы берем числа, записанные в десятичной системе

49 1

48 : 2 = 24 01

24 : 2 = 12 001

12 : 2 = 6 0001

6 : 2 = 3 10001

2 : 2 = 1 110001

Последняя запись 110001 – это запись числа 49 в двоичной системе.

От этой записи можно перейти к сумме степеней:

110001 = 2⁵ + 2⁴ + 1 = 32 + 16 + 1 = 49,

55 = 110111.

Сейчас мы сделали запись короче, устно деля пополам очередное число и добавляя (справа налево) очередную цифру.

Заметьте, что так же как в десятичной системе очередная цифра – это коэффициент при 10^k, где k – число цифр, стоящих после этой цифры, так и в двоичной системе очередная единица – это коэффициент при 2^s, где s – число всех цифр, стоящих после этой единицы.

Например:

30050002 = 3  10⁷ + 5  10⁴ + 2,

10010001 = 2⁷ + 2⁴ + 1.

3. Численный эксперимент

1. Запишите в двоичной системе числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

2. Запишите в двоичной системе числа: 77, 98, 113.

3. Даны числа, записанные в двоичной системе. Представьте их в виде суммы степеней двойки и затем запишите их в десятичной системе:

1) 1011;

2) 1100;

3) 11111;

4) 10000;

5) 10101.

1) 10100;

2) 11000;

3) 10001.

1) 11101 + 1010;

2) 1001 + 1111 + 10111;

3) 11011  11001;

4) 10000  100000.