NetNado
  Найти на сайте:

Учащимся

Учителям



Программа дисциплины Аналитическая геометрия Лекторы


Рабочая программа дисциплины
1. Аналитическая геометрия

2. Лекторы

2.1. Д.ф.-м.н., профессор Попов Андрей Геннадьевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [email protected], телефон: +7(495) 939-10-33

2.2. К.ф.-м.н., доцент Овчинников Алексей Витальевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [email protected], телефон: +7(495) 939-38-09

2.3. К.ф.-м.н., доцент Бадьин Андрей Валентинович, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [email protected], телефон: +7(495) 939-38-09

3. Аннотация дисциплины

Курс "Аналитическая геометрия" является обязательным общефакультетским курсом и читается в первом семестре. Данный курс подготовлен в рамках Приоритетных направлений развития МГУ «Система подготовки и воспроизводства кадров нового поколения».
Общая трудоемкость курса — 108 часов. Курс включает 36 часов лекций, 18 часов семинарских занятий, требует 54 часов самостоятельной работы студентов.
В курсе рассматриваются следующие вопросы: системы координат, векторы и операции над ними, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, теория прямых и плоскостей, элементы теории кривых и поверхностей второго порядка, комплексные числа, матрицы и операции над ними, теория определителей, теория систем линейных алгебраических уравнений, элементы теории линейных пространств. На примерах геометрических объектов малой размерности курс знакомит студентов с основными идеями метода координат и даёт общие навыки работы с простейшими алгебраическими системами.

4. Цели освоения дисциплины

Знакомство с основными понятиями метода координат и матричной алгебры. Изучение основных свойств векторов, прямых и плоскостей, а также кривых и поверхностей второго порядка на плоскости и в пространстве. Овладение основными методами матричных вычислений, приобретение навыков решения систем линейных уравнений.

5. Задачи дисциплины

В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть понятиями вектора и координат, научиться решать основные задачи векторной алгебры: вычисление линейных комбинаций, скалярного, векторного и смешанного произведения векторов; научиться решать основные задачи матричной алгебры: вычисление линейных комбинаций, произведения матриц, нахождение ранга матрицы, базисных строк и столбцов, определителя; уметь решать типовые задачи на прямые и плоскости, знать основные свойства кривых и поверхностей второго порядка.

6. Компетенции

6.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.

ОНК-1, ИК-3, ПК-1

6.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.

ПК-2; ОНК-5; ОНК-6

7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать основные идеи метода координат, формулы векторной и матричной алгебры, факты теории прямых и плоскостей, определения и свойства кривых и поверхностей второго порядка;

уметь решать основные задачи векторной алгебры: вычисление линейных комбинаций, скалярного, векторного и смешанного произведения векторов, находить базис линейной оболочки заданных векторов и её линейного дополнения; решать основные задачи матричной алгебры: вычисление линейных комбинаций, произведения матриц, нахождение ранга матрицы, базисных строк и столбцов, вычисление определителя; уметь исследовать и решать системы линейных алгебраических уравнений; уметь решать типовые задачи на прямые и плоскости, знать основные свойства кривых и поверхностей второго порядка;

владеть понятийным аппаратом и основными методами векторной и матричной алгебры;

иметь опыт деятельности по решению задач, перечисленных выше.

8. Содержание и структура дисциплины

Вид работы

Семестр

Всего

1







Общая трудоёмкость, акад. часов

108







108

Аудиторная работа:

54







54

Лекции, акад. часов

36







36

Семинары, акад. часов

18







18

Лабораторные работы, акад. часов











Самостоятельная работа, акад. часов

54







54

Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен)

зачёт,

экзамен







зачёт,

экзамен




N раздела

Наименование

раздела

Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий

Форма

текущего

контроля

Аудиторная работа

Самостоятельная работа


Лекции

Семинары

Лабораторные

работы

1.

Комплексные числа

Лекция №1 (2 часа).

Комплексные числа и операции над ними. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Эйлера, формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.

Семинар №1 (2 часа).

Действия над комплексными числами.




4 часа.

Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

ДЗ,

Оп,

Об

2.

Алгебра матриц

Лекция №2 (2 часа).

Матрицы и операции над ними. Умножение матриц. Линейная зависимость и независимость.

Семинар №2 (2 часа).

Действия над матрицами.




4 часа.

Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

ДЗ,

Оп,

Об

Лекция №3 (2 часа).

Теория определителей.

Семинар №3 (2 часа).

Вычисление определителей.




8 часов.

Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

ДЗ,

Оп,

Об

Лекция №4 (2 часа).

Теория определителей.

Лекция №5 (2 часа).

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.




Лекция №6 (2 часа).

Системы линейных уравнений.

Семинар №4 (1 час).

Решение систем линейных уравнений.




6 часов.

Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

3.

Алгебра векторов

Лекция №7 (2 часа).

Системы координат. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Базис и координаты.

Семинар №5 (3 часа).

Векторная алгебра.




8 часов.

Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.


ДЗ,

Оп,

Об,

Т,

КР

Лекция №8 (2 часа).

Скалярное и векторное произведение векторов.




Лекция №9 (2 часа).

Смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение.




4.

Линейные образы

Лекция №10 (2 часа).

Прямые на плоскости.

Семинар №6 (4 часа).

Уравнения прямых и плоскостей. Задачи на линейные образы.




8 часов.

Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

ДЗ,

Оп,

Об

Лекция №11 (2 часа).

Прямые и плоскости в пространстве.




5.

Кривые и поверхности второго порядка

Лекция №12 (2 часа).

Кривые второго порядка.

Семинар №7 (2 часа).

Кривые и поверхности второго порядка.




8 часов.

Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

ДЗ,

Оп,

Об,

Т

Лекция №13 (2 часа).

Кривые второго порядка (продолжение)




Лекция №14 (2 часа).

Поверхности второго порядка




6.

Элементы теории линейных пространств

Лекция №15 (2 часа).

Понятие линейного пространства. Основные примеры.

Семинар №8 (2 часа).

Линейные пространства.




8 часов.

Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

ДЗ,

Оп,

Об,

КР

Лекция №16 (2 часа).

Базис и размерность линейного пространства.




Лекция №17 (2 часа).

Основные свойства линейных пространств. Изоморфизмы линейных пространств.




Лекция №18 (2 часа).

Итоговая лекция.






9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО

1. Обязательная дисциплина.

2. Базовая часть, профессиональный блок, модуль «Математика».

3. Курс является составной частью модуля «Математика» и тесно связан с читаемым параллельно курсом «Математический анализ».

3.1. Дисциплины и практики, которые должны быть освоены для начала освоения данной дисциплины: нет.

3.2. Дисциплины и практики, для которых освоение данной дисциплины (модуля) необходимо как предшествующее: «Линейная алгебра», «Дифференциальные уравнения», «Интегральные уравнения и вариационное исчисление», «Методы математической физики», «Теория вероятностей», «Теоретическая механика».

10. Образовательные технологии

Курс имеет электронные версии лекций и экзаменационных вопросов, доступные для студентов и размещенные на сайте кафедры математики физического факультета (http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/21). В течение семестра дважды проводится компьютерное тестирование.

11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации

В течение семестра используются следующие виды контроля успеваемости:

  1. опрос студентов на семинарских занятиях на основе контрольных вопросов (на каждом семинаре);

  2. проверка выполнения студентами домашних контрольных работ (на каждом семинаре);

  3. компьютерное тестирование (два раза в семестр).

Образцы контрольных вопросов

  1. Как вычислить частное двух комплексных чисел? Приведите пример.

  2. Что такое правая (левая) тройка векторов?

  3. Что такое фундаментальная совокупность решений системы однородных линейных уравнений?

  4. Запишите формулу разложения определителя по первой строке; по второму столбцу.

  5. Запишите формулы перехода от прямоугольной декартовой системы координат в пространстве к цилиндрической системе координат.

  6. Запишите каноническое уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот и директрис.

  7. Запишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

  8. Что такое линейно зависимые и линейно независимые векторы? Приведите примеры.

Образцы вопросов компьютерного теста

  1. Вычислите корень из комплексного числа: .

  2. Вычислите произведение матриц: .

  3. Вычислите определитель: .

  4. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .

  5. Найдите точку пересечения прямой и плоскости .

  6. Напишите каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен а расстояние между директрисами равно 10.


Образцы вопросов теоретического минимума

  1. Докажите формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе.

  2. Выведите формулу расстояния от точки до прямой на плоскости.

  3. Сформулируйте определение векторного произведения векторов и запишите формулу для его вычисления.

  4. Запишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

  5. Запишите уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки параллельно заданной прямой.

  6. Запишите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

  7. Запишите уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной плоскости.

  8. Как найти уравнения прямолинейных образующих гиперболического параболоида, проходящих через заданную точку этой поверхности?


Полный перечень вопросов теоретического минимума

Все понятия, формулы и факты из представленного списка студент должен знать наизусть и отвечать сразу, без дополнительного времени на размышление.

  1. Понятие вектора. Элементарные операции с векторами.

  2. Определение линейной зависимости и независимости векторов.

  3. Понятие базиса на плоскости и в пространстве. Понятие ориентации.

  4. Декартова и аффинная системы координат.

  5. Полярные, цилиндрические и сферические координаты.

  6. Скалярное произведение векторов и его свойства.

  7. Векторное произведение векторов и его свойства.

  8. Смешанное произведение векторов и его свойства.

  9. Двойное векторное произведение, формула для вычисления.

  10. Понятие комплексного числа. Основные операции над комплексными числами.

  11. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра.

  12. Основные типы уравнения прямой на плоскости.

  13. Основные типы уравнения плоскости.

  14. Формула расстояния от точки до плоскости.

  15. Основные типы уравнения прямой в пространстве.

  16. Эллипс, гипербола, парабола: определения, канонические уравнения.

  17. Эксцентриситет и директрисы эллипса, гиперболы, параболы.

  18. Оптические свойства эллипса, гиперболы, параболы.

  19. Каноническое уравнения основных типов поверхностей второго порядка: цилиндрические и конические поверхности, эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.

  20. Матрицы: определение, линейные операции над матрицами, умножение матриц.

  21. Определитель матрицы n-го порядка и его свойства.

  22. Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы.

  23. Понятие обратной матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы.

  24. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений.


Домашние контрольные задания

Домашние контрольные задания по курсу «Аналитическая геометрия» задаются по учебному пособию: Овчинников А. В. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса. — М.: 2009. Учебное пособие имеется в читальном зале отдела физики Научной Библиотеки МГУ и доступно в интернете:

http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_gen/21/AG-Homeworks_2009-2010.pdf
Итоговая аттестация — зачёт, экзамен.

Зачёт по курсу «Аналитическая геометрия» проводится в виде аудиторной контрольной работы, на которой студентам предлагаются расчетные задачи по курсу. Полный перечень вопросов к зачету доступен на сайте кафедры математики физического факультета МГУ в интернете по адресу

http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_gen/21/Zadachi.pdf

Экзамен по курсу «Аналитическая геометрия» проводится в форме устного собеседования студента с экзаменатором после предварительной подготовки. В экзаменационный билет включаются простые вопросы на знание основных определений и фактов курса, не требующие доказательств, а также более сложные вопросы на умение выводить формулы и доказывать теоремы, содержащиеся в курсе. Полный перечень экзаменационных вопросов и задач доступен на сайте кафедры математики физического факультета МГУ в интернете по адресу

http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_gen/21/Voprosy.pdf
Образец билета зачёта

  1. Используя метод Гаусса, вычислите определитель .

  2. Заданы канонические уравнения двух прямых. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через первую прямую параллельно второй прямой: .

  3. Составьте каноническое уравнение эллипса, если расстояние между его фокусами равно 10, а расстояние между директрисами равно 15.



Образец билета экзамена

  1. Линейная комбинация векторов в пространстве , линейная оболочка векторов, линейная зависимость (независимость) векторов. Линейная зависимость векторов и линейная зависимость столбцов координат. Базис пространства . Геометрическая интерпретация линейной зависимости двух векторов, геометрическая интерпретация линейной зависимости трёх векторов.

  2. Определение определителя квадратной матрицы. Простейшие свойства определителя. Существование и единственность функции, удовлетворяющей простейшим свойствам определителя. Перестановка, число беспорядков в перестановке, знак перестановки. Формула, выражающая определитель через компоненты матрицы.

  3. Определение кривой второго порядка, классификация кривых второго порядка (без доказательства). Парабола. Фокальные свойства параболы. Фокально-директориальные свойства параболы. Касательная прямая к параболе. Оптическое свойство параболы.

12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Основная литература

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, Физматлит, 1999.

  2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, Физматлит, 1999.

  3. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. —М.: Наука, Физматлит, 1998.



Дополнительная литература

  1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979.

  2. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. — Наука, 1968.

  3. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. —М.: Физматлит, 2005.

  4. Кадомцев С. Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.: Физматлит, 2003.

  5. Овчинников А. В. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса. — М., 2009.

  6. Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и лин. алгебры. — М.: МГУ, 1990.

Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. — Спб, 2003.




Интернет-ресурсы

  1. Бадьин А. В. Лекции по аналитической геометрии.

http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/21

  1. Овчинников А. В. Лекции по аналитической геометрии.

 http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/21

13. Материально-техническое обеспечение

В соответствии с требованиями п. 5.3. образовательного стандарта МГУ по направлению подготовки “Физика”.

Курс может быть прочитан в поточной аудитории (ЦФА, ЮФА, СФА, 5-19) при наличии работающих электрических розеток, компьютера, проектора, экрана, учебной доски.


Стр. из



страница 1


скачать

Другие похожие работы:


Программа дисциплины Оптика Лекторы

Программа дисциплины: 1 стр.