Программа спецкурса «Введение в теорию дзета-функции Римана»

3. 
   Целые функции конечного порядка. Бесконечные произведения. Формула Вейерштрасса.
   

4. 
   Гамма-функция Эйлера: функциональное уравнение, формула Стирлинга.
   

5. 
   Тета-ряд и его свойства. Выражение дзета-функции через тета-ряд. Функциональное уравнение дзета-функции. Аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость.
   

6. 
   Нетривиальные нули дзета-функции. Следствия из функционального уравнения для дзета-функции. Разложение логарифмической производной в ряд по нулям.
   

7. 
   Теорема Ш. Валле-Пуссена о границе нулей дзета-функции.
   

8. 
   Оценки тригонометрических сумм по ван-дер- Корпуту. Функция Харди . Формула Римана-Зигеля. Приближенное функциональное уравнение .
   

9. 
   Нули дзета-функции, лежащие на критической прямой. Теорема о расстоянии между соседними нулями , лежащими на критической прямой.
   

10. 
    Связь дзета-функции с распределением простых чисел. Явные формулы. Выражение функции через нули . Формула Сельберга.
    

11. 
    Асимптотические законы распределения простых чисел.
    

12. 
    Замена тригонометрической суммы более короткой. Сведение тригонометрических сумм к тригонометрическим интегралам. Приближенное функциональное уравнение для .
    

13. 
    Оценки дзетовой суммы.
    
14. 
    Современная граница нулей
    

1. 
   Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана.- М.: Физматлит, 1994.
   
2. 
   Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел.- М.: Едиториал УРСС, 2004.
   
3. 
   Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. - М.: ИЛ, 1953.
   
4. 
   H. Iwaniec. Lectures on the Riemann Zeta Function. Rutgers, Fall 2012.