Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Математический анализ Рекомендуется для направления подготовки

НОУ ВПО «ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Наименование дисциплины Математический анализ

Рекомендуется для направления подготовки

080100.62 – «Экономика»

Квалификации (степени) выпускника – бакалавр экономики

Москва

2011
Аннотация

программы учебной дисциплины

«Математический анализ»
1. Цели и задачи дисциплины: ознакомление с основами теории множеств, теории функций, с фундаментальными методами дифференциаль­ного и интегрального исчислений, а также с элементами теории числовых и функциональных рядов. Математический анализ является основой для изучения других математических курсов, дает необходимый математический аппарат для изучения экономических дисциплин.
2. Место дисциплины в структуре ООП: учебная дисциплина «Математический анализ» входит в базовую часть цикла общих математических и естественнонаучных дисциплин. Входные знания и умения студентов должны соответствовать курсу математики общеобразовательной школы. Дисциплина «Математический анализ» является предшествующей для следующих дисциплин: «Макроэкономика», «Микроэкономика», «Институциональная экономика», «Эконометрика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Дифференциальные и разностные уравнения», «Методы оптимальных решений», «Методы моделирования и прогнозирования экономики», «Математические модели и методы оптимального управления», «Теория игр».
3. Требования к результатам освоения дисциплины: процесс изучения дисциплины направлен на формирование общекультурных компетенций: ОК-1 и ОК-4, а также профессиональных компетенций: ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-14, ПК-15.

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: основные определения, понятия и формулы изучаемых разделов математического анализа.

Уметь: использовать математические методы в практических приложениях.

Владеть: методами математического анализа.
Объем, содержание, разделы, учебно-методическое и информационно-материальное обеспечение дисциплины
4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	Всего часов/ зачетных единиц	Семестры
		1	2
1	2	3	4
Аудиторные занятия (всего)	144/4	72/2	72/2
В том числе:	-	-	-
Лекции	68/1,9	36/1	32/0,9
Семинары (практические занятия)	76/2,1	38/1,05	38/1,05
Самостоятельная работа (всего)	144/4	72/2	72/2
В том числе:	-	-	-
Самостоятельная работа	100/2,8	50/1,4	50/1,4
Выполнение домашних заданий	44/1,2	22/0,6	22/0,6
Вид промежуточной и итоговой аттестации	-	диф. зачет	экзамен
Общая трудоемкость в часах в зачетных единицах	288	144	144
	8	4	4

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов (тем) дисциплины

№ п/п	Наименование раздела (темы) дисциплины	Содержание раздела (темы)
1	2	3
1	Введение. Элементы теории множеств и функций.	Предмет математического анализа и его роль в экономической теории и практике. Понятия множества и подмножества. Пустое множество. Множество всех подмножеств множества. Основные операции над множествами. Взаимно однозначное соответствие множеств. Эквивалентные, счетные и несчетные множества. Элементы математической логики: логические символы, утверждение, следствие, прямая и обратная теоремы, необходимые и достаточные условия. Понятие отображения (функции), его области определения и области значений. Элементарные функции. Обратное отображение. Композиция отображений. Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой прямой, эквивалентность этих множеств. Основные свойства действительных чисел. Подмножества множества действительных чисел. Ограниченные и неограниченные множества. Наибольший (наименьший) элемент множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани. Понятие окрестности точки (действительного числа) и окрестности с выколотым центром. Понятие предельной точки точечного множества на числовой прямой. Внутренние и граничные точки. Открытые и замкнутые множества.
2	Предел и непрерывность функции одной переменной.	Понятие числовой последовательности. Примеры последователь­ностей. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Предел числовой последовательности. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности (теорема Вейерштрасса). Лемма о вложенных отрезках (лемма Кантора). Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности. Предел функции одной переменной. Односторонние и двусторонние пределы. Бесконечно малые (бесконечно большие) величины и их связь с пределами функций. Основные свойства операции предельного перехода. Предельный переход в сложной функции.

1	2	3
		Первый и второй замечательные пределы. Задача о начислении процентов. Символы о-малое и О-большое и их использование для раскрытия неопределенностей. Непрерывность функции в точке и на множестве. Односторонняя непрерыв­ность. Точки разрыва и их классификация. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементар­ных функций. Непрерывность сложной функции. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Верхняя (нижняя) грань, глобальный максимум (минимум) функции в ее области определения. Основные теоремы о глобальных свойствах функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность функции и теорема Кантора.
3	Производная и дифферен­­ци­ал функции одной перемен­ной.	Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая и экономическая интерпретации производной. Уравнение касательной. Понятие о предельной полезности продукта и предельной производитель­ности ресурса. Понятие об эластичности функции. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции в точке. Производная суммы, разности, произведения, частного двух функций, сложной и обратной функций. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные основных элемен­тарных функций. Понятие дифференциала функции одной переменной. Геометрическая интерпретация дифференциала. Основные свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной и их свойства. Иллюстрация экономического смысла второй производной.
4	Исследование функций одной переменной.	Понятие об экстремумах функции одной переменной. Задача максимизации прибыли фирмы. Локальный экстремум функции одной переменной. Необходимое условие существования внутреннего локального экстремума (теорема Ферма). Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши) и их геометрическая интерпретация. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена и их использование для приближенного вычисления значений функций.

1	2	3
		Достаточное условие монотонности функции на интервале. Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости). Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба. Асимптоты графика функции одной переменной, их классификация и отыскание. Полное исследование функции одной переменной с использованием первой и второй производных и построение эскиза ее графика. Отыскание глобального максимума (минимума) функции одной переменной на всей области ее определения. Решение задачи максимизации прибыли фирмы в терминах объема выпускаемой продукции (случай одного используемого ресурса).
5	Множества точек и последо­вательности в n-мерном пространстве.	Множество всех двумерных векторов. Геометрическая и экономическая интерпретация двумерных векторов. N-мерные вектора. Операции умножения на действительные числа и сложения n-мерных векторов. Свойства этих (линейных) операций. Понятие линейного (векторного) пространства. Скалярное произведение n-мерных векторов. Понятие евклидова пространства. Норма n-мерного вектора и ее свойства. Понятия окрестности точки и окрестности с выколотым центром. Понятие предельной, внутренней и граничной точек точечного множества на плоскости и в n-мерном пространстве. Открытые и замкнутые множества на плоскости и в n-мерном пространстве. Выпуклые и невыпуклые множества на плоскости и в n-мерном пространстве. Понятие расстояния. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные. Замкнутость. Компактные множества. Понятие области. Последовательность точек на плоскости и в n-мерном пространстве. Понятия ограниченной и неограниченной последовательности точек. Взаимосвязь с покоординатной сходимостью. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Лемма о предельной точке.
6	Функции нескольких пере­мен­­­ных (ФНП).	Функции двух переменных. Понятие о линии (множестве) уровня функции двух переменных. Карта линий уровня и график функции двух переменных. Обобщение на случай нескольких переменных.

1	2	3
		Экономические иллюстрации (функции спроса и предложения, функция полезности, производ­ственная функция). Предел функции двух и нескольких переменных. Арифметические операции над функциями, имеющими конечные предельные значения. Предел функции по направлению. Непрерывность ФНП в точке и на множестве. Точки непрерывности и точки разрыва ФНП. Непрерывность ФНП по направлению. Арифметические операции над непрерывными функциями. Понятие о сложной ФНП. Непрерывность сложной функции. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Равномерная непрерывность ФНП.
7	Дифференцируемые ФНП	Частные производные и частные дифференциалы ФНП. Дифферен­цируемость ФНП. Главная линейная часть полного приращения ФНП. Полный дифференциал ФНП. Достаточное условие дифференцируемости ФНП. Геометрическая и экономическая интерпретация частных производных. Эластичности. Касательная плоскость к графику ФНП. Дифференцируемость сложных ФНП. Однородные функции. Теорема Эйлера об однородных функциях и ее применение в экономической теории. Производная по направлению ФНП. Градиент ФНП и его основные свойства. Частные производные и полный дифференциал второго порядка ФНП. Теорема о равенстве смешанных производных. Формула Тейлора для ФНП. Матрица Гессе и гессиан.
8	Введение в теорию неявных функций.	Теоремы о существовании и гладкости неявных функций и их геометрическая интерпретация. Формулы для вычисления производных и дифференциалов неявных функций. Теорема о существовании и гладкости обратной функции. Зависимость и независимость функций. Общая теорема о зависимости и независимости совокупности функций. Матрица Якоби и якобиан. Экономические иллюстрации теоремы о неявной функции.
9	Классические методы оптимизации	Экстремум ФНП (абсолютный, условный, локальный, глобальный). Необходимое условие абсолютного локального экстремума ФНП. Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Знакоопределенность квадратичной формы. Достаточное условие абсолютного локального экстремума ФНП. Выпуклые и строго выпуклые функции. Экстремум выпуклой функции.

1	2	3
		Функция Лагранжа и множители Лагранжа в задаче отыскания условного экстремума. Необходимое условие условного локального экстремума и его геометрическая интерпретация. Достаточное условие условного локального экстремума. Теорема об огибающей. Задача глобальной оптимизации. Примеры применения метода Лагранжа.
10	Элементы интегрального исчисления	Первообразная и неопределенный интеграл. Первая основная теорема интегрального исчисления (о существовании первообразной у непрерывной функции). Основные свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы. Основные приемы интегрирования (разложением, заменой переменной и по частям). Интегральная сумма Римана. Определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вторая основная теорема интегрального исчисления (о существовании определенного интеграла от непрерывной функции). Замена переменной и интегрирование по частям для определенного интеграла. Экономические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Понятие тройного интеграла. Несобственные кратные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
11	Числовые, функциональные и степенные ряды	Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходя­щиеся ряды. Необходимое условие сходимости числовых рядов. Признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость знакопере­менных рядов. Функциональные ряды. Сходи­мость и равномерная сходимость функцио­нального ряда. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля о сходимости степенных рядов с нулевым центром.
1	2	3
		Промежуток и радиус сходимости степенного ряда. Формула для вычисления радиуса сходимо­сти степенного ряда. Понятие ряда Тейлора и аналитической функции. Приближенные вычисления с помощью рядов Тейлора. Понятие о рядах Фурье. Теорема о представлении функции в виде ее ряда Фурье.

5.2. Разделы (темы) дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование последующих дисциплин	Номера тем данной дисциплины, необходимых для изучения последующих дисциплин
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	Дифференциальные и разностные уравнения	-	-	-	-	-	-	-	+	-	+	-
2	Институциональная экономика	-	-	+	-	-	+	+	-	-	+	-
3	Макроэкономика	-	+	+	+	-	+	+	+	+	+	-
4	Математические модели и методы оптимального управления	-	+	-	-	-	+	+	-	+	-	-
5	Методы моделирования и прогнозирования экономики	-	+	-	-	-	+	+	-	+	+	+
6	Микроэкономика	-	-	+	+	-	+	+	+	+	+	-
7	Методы оптимальных решений	-	+	-	-	-	+	+	-	+	-	-
8	Теория вероятностей и математическая статистика	+	-	+	-	-	-	-	-	-	+	+
9	Теория игр	-	-	-	-	-	-	-	-	+	-	-
10	Эконометрика	-	-	-	-	-	+	+	-	+	+	-

5.3. Разделы (темы) дисциплины и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела (темы) дисциплины	Часовой объем занятий по видам
		Лекции	Семинары	СРС	Всего
1	2	3	4	5	6
1	Введение. Элементы теории множеств и функций	4	4	8	16
2	Предел и непрерывность функции одной переменной	8	8	16	32
3	Производная и дифференциал функции одной переменной	4	4	8	16
4	Исследование функций одной переменной	8	12	20	40
5	Множества точек и последовательности в n-мерном пространстве	4	4	8	16
6	Функции нескольких переменных	4	4	8	16
7	Дифференцируемые функции нескольких переменных	6	6	12	24
8	Введение в теорию неявных функций	4	4	8	16
9	Классические методы оптимизации	10	12	22	44
10	Элементы интегрального исчисления	10	10	20	40
11	Числовые, функциональные и степенные ряды	6	8	14	28
ИТОГО:		68	76	144	288

6. Лабораторный практикум

№ п/п	№ раздела дисциплины	Наименование лабораторных работ	Трудоемкость (часы/зачетные единицы)
…	не предусмотрен

7. Примерная тематика курсовых проектов (работ)

не предусмотрена
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) Основная литература

1. 
   Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Изд. МГУ, 1985.
   
2. 
   Солодовников А.С., Бабайцев В.А. и др. Математика в экономике: Учебник в 2 ч. – М.: Финансы и статистика, 2005.
   
3. 
   Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. – М.: Дело, 2000.
   
4. 
   Высшая математика для экономистов. /Под ред. Кремера Н.Ш.: Учебник. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001.
   
5. 
   Налимов В.Н. Основы высшей математики для экономистов. Лекционный курс: Учебное пособие. – М.: Весть, 2006.
   
6. 
   Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1997.
   
7. 
   Налимов В.Н. Основы высшей математики для экономистов. Практические занятия (семинары): Учебное пособие. – М.: Весть, 2006.
   

б) Дополнительная литература

1. 
   Математический анализ для экономистов. /Под ред. Гриба А.А. и Тарасюка А.Ф. – М.: ФИЛИН, 2000.
   
2. 
   Щипачев В.С. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1999.
   
3. 
   Волкова И.О., Крутицкая Н.Ч., Шагин В.Л. Математический анализ (с экономическими приложениями). Функции одной переменной. – М.: ВШЭ, 1998.
   
4. 
   Замков О.О., Черемных Ю.Н., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Дело и сервис, 1999.
   
5. 
   Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. /Под ред. Ермакова В.И. – М.: ИНФРА-М, 1999.
   
6. 
   Sydsaeter K., Hammond P.J. Mathematics for Economic Analysis. Englewood Cliffs, N.Y.: Prentice Hall, 1995.
   
7. 
   Simon C.P., Blume L. Mathematics for economists. – N.Y., London: Norton, 1994.
   

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Специально оборудованные кабинеты и аудитории: компьютерные классы, аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения.
10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Контроль знаний и умений студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде домашних заданий и контрольной работы. Итоговый контроль осуществляется в виде зачетной контрольной работы (в конце первого семестра) и письменного экзамена (в конце второго семестра). Итоговая оценка по изучаемой дисциплине О_итог по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма О_итог = 0,1×О_кр + 0,1×О_дз + 0,3×О_зач + 0,5×О_экз , округленная до целого числа баллов. Где: О_кр , О_дз , О_зач , О_экз обозначают оценки по 10-балльной шкале за контрольную работу, домашние задания, зачет и экзамен, соответственно.
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системе.

По десятибалльной шкале	По пятибалльной шкале
1 – неудовлетворительно 2 – очень плохо 3 – плохо	неудовлетворительно – 2
4 – удовлетворительно 5 – весьма удовлетворительно	удовлетворительно – 3
6 – хорошо 7 – очень хорошо	хорошо – 4
8 – почти отлично 9 – отлично 10 – блестяще	отлично – 5

Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи (более 4000 по всем разделам курса), приведенные в задачнике: Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1997, а также задачи из раздела практикум учебника: Красс М.С. и Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. – М.: Дело, 2000.
Типовой вариант контрольной работы (1 модуль)

Найдите пределы:	1.	2.
Найдите производные функций	3. 4.	5.

6. Укажите для функции эквивалентную функцию вида при :


7. Найдите предел, используя правило Лопиталя:
8. Найдите значения и , при которых является бесконечно малой при функция:

.
9. Если верно , то верно ли, что ?
Типовой вариант зачетной контрольной работы (2 модуль)
Основная часть

1. 
   Найдите предел:
   
2. 
   Докажите, используя определение предела функции в точке, что функция непрерывна в точке
   
3. 
   Укажите эквивалентную функцию вида при для функции:
   
4. 
   Найдите производные и функции , заданной параметрически:
   

5. 
   Исследуйте на существование экстремума функцию
   
6. 
   Используя метод множителей Лагранжа, найдите условный экстремум функции при условии .
   
7. 
   Спрос и предложение зависят от цены следующим образом: . Найдите наибольшее значение дохода и определите эластичность функции дохода в точке максимума.
   

Дополнительные вопросы

(засчитываются при условии, что в основной части набрано 6 баллов)

1. 
   Докажите, что градиент функции в точке и линия уровня функции, проходящая через эту точку, ортогональны.
   
2. 
   Докажите, что является монотонной последовательность .
   
3. 
   Найдите все значения и , при которых является бесконечно малой при условии функция
   

Типовой вариант домашнего задания (3 модуль)

1. 
   Найдите интегралы:
   

2. 
   Исследуйте на сходимость ряды:
   

3. 
   Исследуйте на сходимость интеграл .
   
4. 
   Найдите производную функции
   

Типовой вариант экзаменационной контрольной работы (4 модуль)
Основная часть

1. 
   Найдите предел:
   
2. 
   Найдите значение интеграла:
   
3. 
   Найдите область сходимости ряда:
   
4. 
   Используя метод множителей Лагранжа, найдите условный экстремум функции при условии .
   
5. 
   Расставьте пределы интегрирования в том и другом порядке, преобразовав в повторный двойной интеграл , если известно, что область ограничена линиями:
   
6. 
   Спрос и предложение зависят от цены следующим образом: . Найдите наибольшее значение дохода и определите эластичность функции дохода в точке максимума.
   

Дополнительные вопросы

(засчитываются при условии, что в основной части набралось 6 баллов)

1. 
   Докажите, что градиент функции в точке и линия уровня функции, проходящая через эту точку, ортогональны.
   
2. 
   Выведите формулу для нахождения производной функции: .
   
3. 
   Выясните, является ли монотонной последовательность .
   

Настоящую Программу разработал: заведующий кафедрой матема­ти­че­ских и естественнонаучных дисциплин НОУ ВПО «ИМЭС» к.ф.-м.н., доцент Налимов Валерий Николаевич.
Программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры математи­ческих и естественнонаучных дисциплин НОУ ВПО «ИМЭС» (Протокол № 4 от 14 апреля 2011 года).
Программа утверждена на заседании Ученого Совета НОУ ВПО «ИМЭС» (Протокол № 9 от 28 апреля 2011 года).