Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию

Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию.

1. Умножение на одну и ту же функцию (например, освобождение от знаменателя). Этот прием рекомендуется выполнять лишь при уверенности, что множитель сохраняет постоянный знак (для всех допустимых значений неизвестного). В противном случае лучше перенести все члены в одну часть неравенства и воспользоваться методом интервалов.
Примеры. Умножение неравенства

1)

ОДЗ: x ≥ 0

– умножение на y = x + 1 не нарушает равносильность, так как y > 0 на ОДЗ неравенства.

Дальнейшее решение – в примере 4.

2)

 x³ < x³ + 2x² + 2x + 1  2x² + 2x + 1 > 0; у квадратного трехчлена 2x² + 2x + 1 корней нет. Ответ: x – любое число.
2. Возведение в квадрат. Рассмотрим числовое неравенство a > b. Если b ≥ 0 (тогда a > 0), то из неравенства a > b следует неравенство a² > b². Обратно, из неравенства a² > b² при дополнительных условиях b ≥ 0, a ≥ 0 следует неравенство a > b. Пусть теперь b < 0. Если при этом a ≥ 0, то неравенство a > b верно. Если же b < 0 и a < 0, то из неравенства a² < b² следует неравенство a > b. Верно и обратное: из неравенства a > b при соблюдении условий b < 0, a < 0 следует неравенство a² < b². Эти рассуждения исчерпывают все возможные случаи (их получилось три: 1) a ≥ 0 и b ≥ 0; 2) b < 0 и a ≥ 0; 3) b < 0 и a < 0).

Если неравенство имеет вид  > , то его полезно рассматривать на отдельных интервалах, где  сохраняет постоянный знак. Там, где  ≥ 0, его можно возвести в квадрат, т. е. на этом интервале оно равносильно неравенству  > ², а там, где  < 0 его и «решать не нужно»: оно верно при всех тех x из ОДЗ, для которых  < 0.
3)

ОДЗ: x ≥ –2. Разбиваем ОДЗ на два интервала числом x = 0 (корнем правой части).

1) –2 ≤ x < 0

– всегда верно, так как

, а x < 0.

2) x ≥ 0

x² – x – 2 < 0 x₁ = –1, x₂ = 2

0 ≤ x < 2 Ответ: [–2; 2).
4)

ОДЗ: x ≥ 0

При x ≥ 0 правая часть положительна. Поэтому возведение в квадрат (при сохранении неравенства x ≥ 0) не нарушает равносильность.



Корни квадратного трехчлена: x₁ = 4, x₂ =

. Ответ:

 (4; +).
5)

ОДЗ: x ≥ –2

Из трех комбинаций знаков остались две, так как

всегда ≥ 0.



или



или x  [–2; 0)  x  [0; 2) или x  [–2; 0). Ответ: [–2; 2).
3. Логарифмирование – потенцирование. Эти преобразования совершаются с помощью строго монотонных функций, поэтому следить за сохранением равносильности здесь проще – главная трудность связана с сохранением ОДЗ.
6)

 x² > 4. Ответ: (–; –2)  (2; +).
7) log₂(x – 1) < log₂(3 – x). ОДЗ: (1; 3).

x – 1 < 3 – x, x  (1; 3)  x < 2, x  (1; 3). Ответ: (1; 2).
4. Обобщение метода интервалов

Метод интервалов основан на том, что функция, непрерывная на некотором интервале и не обращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом интервале постоянный знак.

Соображения непрерывности позволяют применять метод интервалов не только к произведению линейных множителей, но и к произведению любых множителей, корни которых известны.
8) Разложение на множители








Находим корни множителей.

x – 1 = 0  x = 1

x² + x + 1 = 0 корней нет, x² + x + 1 > 0 для всех x.

 x = 4

ОДЗ: x ≥ 0

Разбиваем ОДЗ на интервалы и определяем знак произведения.

Ответ: [0; 1]  [4; +).
Методом интервалов решаются прежде всего рациональные неравенства, т. е. неравенства, в одной части которых стоит рациональная дробь

, где P(x) и Q(x) – многочлены, а в другой части нуль.

В принципе каждый многочлен может быть разложен в произведение линейных множителей и квадратных трехчленов, не имеющих (вещественных) корней. Квадратные трехчлены, не имеющие корней, сохраняют постоянный знак на всей числовой оси, что позволяет свести решение рационального неравенства к упомянутой выше стандартной схеме. Разумеется, разложение многочлена на линейные и квадратные множители встречает трудности как практического, так и теоретического характера, связанные с нахождение корней многочлена.
Замечание о кратных корнях многочлена

9) Рассмотрим неравенство

.

Пример такого типа содержит многочлены с так называемыми кратными корнями. Поведение дроби при прохождении через эти корни различно.

1) Множитель в четной степени (x – 2)² или (x + 1)⁶ всегда ≥ 0. Однако отбрасывать его нельзя – корень числителя является решением нестрогого неравенства и при его отбрасывании можно потерять решение, а корень знаменателя может попасть внутрь интервала, где оставшаяся дробь ≥ 0, и при его отбрасывании расширится ОДЗ и может появиться постороннее решение.

2) Множитель в нечетной степени типа (x + 3)³ можно заменять линейным, так как знаки (x + 3)³ и (x + 3) совпадают.

3) Квадратные множители с отрицательным дискриминантом и положительным старшим коэффициентом (типа x² + 1) можно не учитывать.

При нанесении корней на числовую ось рекомендуется разными знаками отмечать корни числителя и знаменателя, а также внимательно следить за точкой x = 0, которая всегда отмечается как начало числовой оси, но может не быть корнем выражения и ее не надо учитывать при распределении знаков. Ответ: x ≤ –3, –2 < x < –1, –1 < x < 1, x = 2.
Разбиение на интервалы применяется не только для решения неравенств, но и для преобразований выражений (необходимых в процессе решения уравнений и неравенств), зависящих от его знака. Типичными примерами являются следующие преобразования.

1. Раскрытие модуля. Оно основано на том, что

|| = , если  ≥ 0

|| = –, если  ≤ 0

Поэтому, если в процессе преобразований мы хотим избавиться от модуля, нам нужно рассмотреть интервалы, на которых выражение  сохраняет постоянный знак.
10) Решить неравенство

.

Находим корни выражений, стоящих под знаком модуля.

x² – x – 2 = 0  x₁ = –1, x₂ = 2

x – 1 = 0  x = 1

Указываем на числовой оси знаки первого (сверху) и второго (снизу) выражений.