Решение. Коэффициент температурного расширения жидкостей β

Задачи по гидравлике - решение. Контрольные, курсовые работы по гидравлике.

№№ 2, 11, 42, 52, 60, 69

№ 2.

Автоклав объёмом V наполнен водой и закрыт герметично. Определить повышение давление в нём Δp при увеличении температуры воды на Δt, если коэффициент температурного расширения β_t=0.00018°C^-1, а коэффициент сжимаемости β_p=0.42×10^-9 Па^-1. Изменением объёма автоклава пренебречь. Данные, необходимые для решения задачи, взять из табл. 3.

Дано : V=1.7 м³ ; Δt=54°C ; β_t=0.00018°C^-1 ; β_p=0.42×10^-9 Па^-1.

Найти : Δp

Решение.

Коэффициент температурного расширения жидкостей β_t – число, определяющее увеличение объёма жидкости при повышении температуры и определяется выражением :

β_t= (1)

где ΔV – увеличение объёма жидкости, при увеличении температуры на Δt ; V – первоначальный объём.

Отсюда найдём изменение объёма :

ΔV=β_tVΔt (2)

Так как автоклав наполнен полностью, то повышение объёма ΔV приведёт к повышению давления на Δp. В результате повышения давления жидкость будет сжиматься, компенсируя температурное расширение. Изменение объёма жидкости, при изменении давления характеризуется коэффициентом объёмного сжатия β_p, который определяется выражением :

β_p= (3)

С учётом (2) формула (3) примет вид :

β_p=

Отсюда находим повышение давления :

Δp= (5)

Вычисления по формуле (5) дают :

Δp= Па=23 МПа

Ответ : Δp=23 МПа.

№ 11.

Найти давление p воздуха в резервуаре B, если избыточное давление на поверхности воды в резервуаре А равно М, разности уровней ртути (δ=13.6) в двух коленном дифференциальном манометре h₁ и h₂, а мениск ртути в левой трубке манометра ниже уровня воды на h. Пространство между уровнями ртути в манометре заполнено спиртом (δ=0.8).

Дано : h=1.05 м ; h₁=240 мм ; h₂=275 мм ; p_м=55 кПа ; δ₁=13.6 т/м³ ; δ₂=0.8 т/м³

Найти : p

Решение.



Составим уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 1-1 :

p₁+ρgh=p₀ , или

p_м+p_атм+ρgh=p₀ (1)

где p₁ – абсолютное давление в сечении 1-1 ; p_м – избыточное давление в сечении 1-1 ; p_атм=10⁵ Па – атмосферное давление ; ρ=998 кг/м³ – плотность воды при t=20°C (табл. 1 [2]).

Составим уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 2-2 (ртуть) :

p₀=p₂+δ₁gh₁ (2)

где p₂ – давление в сечении 2-2 ; δ₁ – плотность ртути.

Составим уравнение Бернулли для сечений 2-2 и 3-3 (спирт) :

p₂+δ₂gh₁=p₃ (3)

где p₃ – плотность спирта ; δ₂ – плотность спирта.

Составляем уравнение Бернулли для сечений 3-3 и 4-4 (ртуть) :

p₃=p+δ₁gh₂

Отсюда выражаем давление p воздуха в резервуаре B :

p=p₃-δ₁gh₂ (4)

Подставляя выражение для p₃ согласно (3) в (4), получим :

p=p₂+δ₂gh₁-δ₁gh₂ (5)

Подставляя в (5) выражение для p₂, полученное из (2), получим :

p=p₀-δ₁gh₁+δ₂gh₁-δ₁gh₂ (6)

Подставляя в (6) выражение для p₀ согласно (1), получим :

p=p_м+p_атм+ρgh-δ₁gh₁+δ₂gh₁-δ₁gh₂=p_м+p_атм+g(ρh-δ₁(h₁+h₂)+δ₂h₁) (7)

Произведя вычисления по формуле (7), получим :

p=55×10³+10⁵+9.81×(998×1.05-13.6×10³×(0.24+0.275)+800×0.24)=98.5×10³ Па=98.5 кПа

Ответ : p=98.5 кПа.

№ 42.

Определить диаметр трубопровода, по которому подаётся жидкость Ж с расходом Q, из условия получения в нём максимально возможной скорости при сохранения ламинарного режима. Температура жидкости t=20°C.

Дано : Ж – бензин ; Q=3.5 л/с.

Найти : d

Решение.

Расход в трубопроводе определяется выражением :

Q=vS= (1)

где v – скорость жидкости в трубопроводе ; S – площадь сечения трубопровода ; d - диаметр трубопровода.

Скорость жидкости найдём из формулы, определяющей число Рейнольдса :

v= (2)

где Re – число Рейнольдса ; ν=0.0073×10^-4 м²/с – коэффициент кинематической вязкости бензина при t=20°C (табл. 1 [2]).

С учётом (2) формула (1) примет вид :

Q=

Отсюда находим диаметр трубопровода :

d= (3)

Учитывая, что критическое значение числа Рейнольдса, при котором ещё наблюдается ламинарное движение жидкости равно Re=2300, произведём вычисления по формуле (3) :

d= м=2700 мм

Ответ : d=2700 мм.


№ 52.

В бак, разделённый перегородкой на два отсека, поступает расход воды Q. В дне каждого отсека имеются одинаковые отверстия диаметром d₁ и d₂, а в перегородке – отверстие диаметром d₃. Определить расход через донные отверстия Q₁ и Q₂.

Дано : Q=44 л/с ; d₁=d₂=75 мм ; d₃=125 мм.

Найти : Q₁, Q₂

Решение.



На основании уравнения неразрывности течений, можно записать :

Q=Q₁+Q₂ (1)

Q=Q₁+Q₃ (2)

Q₂=Q₃ (3)

где Q₁, Q₂, Q₃ – расход через отверстие диаметра d₁, d₂, d₃ соответственно.

Используя формулу расхода при истечении через отверстия, запишем выражения для Q₁, Q₂ и Q₃ :

Q₁= (4)

Q₂= (5)

Q₃= (6)

где μ – коэффициент расхода ; H – высота уровня в левом отсеке ; h – высота уровня в правом отсеке ; S₁, S₂, S₃ – площадь сечения отверстия диаметра d₁, d₂, d₃ соответственно.

Выражая из уравнения (4) 2gH, из уравнения (5) – 2gh и подставляя в (6), получим :

Q₂=Q₃= (7)

Учитывая, что Q₁=Q-Q₂ перепишем выражение (7) в виде :

Q₂=

Возведя, левую и правую части последнего равенства в квадрат, получим :



Учитывая, что d₁=d₂, а, значит S₁=S₂, получим :



Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим :

(8)

Вычислим S₁ и S₂ :

S₁= м²

S₂= м²

Подставляя в (8) заданные числовые значения, получим уравнение из которого определим Q₂ :



м³/с=21 л/с



Так как физическая величина расхода не может быть меньше нуля, то решению задачи удовлетворяет только один корень уравнения, т.е.

Q₂=21 л/с

Тогда расход через отверстие диаметра d₁ согласно формуле (1) равен :

Q₁=Q-Q₂=44-21=23 л/с

Ответ : Q₁=23 л/с ; Q₂=21 л/с.

№ 60.

Центробежный насос с заданной при числе оборотов n=900 мин^-1 характеристикой поднимает воду на высоту H_г по трубопроводам l₁, d₁ (λ₁=0.02) и l₂, d₂ (λ₂=0.025). Определить подачу Q_н насоса при работе его с числом оборотов n=900 мин^-1. Сравнить потребляемые насосом мощности при уменьшении его подачи на 25% дросселированием задвижкой или уменьшением числа оборотов. Местные сопротивления учтены эквивалентными длинами, включенные в заданные длины труб.

Дано : H_г=7 м ; l₁=17 м ; d₁=0.27 м ; l₂=95 м ; d₂=0.22 м.

Найти : Q_н

Решение.



Для определения подачи насоса вычертим заданную характеристику H=f(Q) насоса ( кривая 1). На этом же чертеже построена характеристика η=f(Q) (кривая 2).

Далее, в том же масштабе построим график требуемого напора установки, определяемый по уравнению :

H_н=H_г+ (1)

где H_г – геометрическая высота ; h_w - суммарные потери напора во всасывающем и нагнетающем трубопроводах ; p₁ и p₂ – разность давлений в напорном и приёмном резервуарах (в нашем случае p₁=p_атм p₂=p_атм) ; ρ=998 кг/м³ – плотность воды при t=20°C (табл. 1 [2]).

Потери напора состоят из потерь во всасывающей и нагнетающей линиях :

h_w=h₁+h₂ (2)

где h₁ и h₂ – потери напора во всасывающем и напорном трубопроводах соответственно.

Потери напора во всасывающей линии по формуле Вейсбаха-Дарси :

h₁= (3)

где λ₁ – коэффициент гидравлического трения.

Согласно (3) потери напора во всасывающей линии :

h₁= (4)

Аналогично, потери напора в нагнетающей линии :

h₂= (5)

С учётом (4) и (5) выражение (2) примет вид :

h_w=19.6Q²+381.1Q²=400.7Q² (6)

С учётом (6) и заданных числовых значений, формула (1) примет вид :

H_н=7+400.7Q² (7)

Для построения характеристики H_н=f(Q) по уравнению (7) составим таблицу.

Q, л/с	0	10	30	50	65
Hн, м	7	7.04	7.4	8	8.7

По полученным значениям строим зависимость H_н=f(Q) (линия 3).



Пересечение линии 1 с линией 3 даёт точку А – рабочая точка насоса. По графику определяем расход насоса Q=64 л/с. По графику определяем необходимый напор насоса : H=8.8 м и к.п.д. насоса : η=72%.

Мощность насоса :

N= (8)

Вычисления по формуле (8) дают :

N= Вт.

При уменьшении подачи на 25% - Q=48 л/с, напор равен H^/=12.5 м.

Мощность насоса :

N^/= Вт.

уменьшится в 1.1 раза.

где η=82% определяется по графику 3, при Q=48 л/с.

Ответ : Q=64 л/с ; H=8.8 м ; N=7658 Вт.

№ 69.

Перемещение поршней гидроцилиндров с диаметром D=25 см осуществляется подачей рабочей жидкости (ν=1.5 см²/с, γ=14000 Н/м³) по трубам 1 и 2 одинаковой эквивалентной длины l=20 м и диаметром d=5 см. определить силу F₂, при которой скорость второго поршня была бы в два раза больше скорости первого поршня. Расход в магистрали Q, первый поршень нагружен силой F₁.

Указание. На перемещение поршней затрачивается одинаковый суммарный напор (считая от точки А).

Дано : F₁=9.6 кН ; Q=10.5 л/с.

Найти : F₂.

Решение.



Суммарный напор в точке А линии 1 :

H_A1= (1)

где p^/₁ – давление в точке А линии 1 ; v^/₁ – скорость рабочей жидкости в линии 1.

Суммарный напор в точке А линии 2 :

H_A2= (2)

где p¹₂ – давление в точке А линии 2 ; v^/₂ – скорость рабочей жидкости в линии 2.

По условию H_A1=H_A2, тогда, приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим :

= (3)

Давление, создаваемое в точке А линий 1 и 2 затрачивается на потери давления в линиях и 2, на создание давлений в камерах поршней, для их перемещения.

p^/₁=p₁+Δp₁ (4)

p^/₂=p₂+Δp₂ (5)

где p₁ и p₂ – давление рабочей жидкости цилиндрах 1 и 2 соответственно ; Δp₁ и Δp₂ - потери давления в линиях 1 и 2 соответственно.

С учётом (4) и (5) формула (3) примет вид :

(6)

Необходимые давления p₁ и p₂ рабочей жидкости, в цилиндрах определим из уравнений равновесия сил, действующих на поршни :

p₁=F₁/S= (7) ; p₂=F₂/S= (8)

Потери давления в линиях по формулам :

Δp₁= ; Δp₂=

где λ – коэффициент гидравлического трения. Коэффициент гидравлического трения определим по формуле :

λ=

где Re – число Рейнольдса.

Числа Рейнольдса для линий 1 и 2 по формулам :

Re₁= ; Re₂=

Тогда выражения для λ₁ и λ₂ примут вид :

λ₁= ; λ₂=

С учётом выражений для λ₁ и λ₂ формулы для потерь давления в линиях, примут вид :

Δp₁= (9)

Δp₂= (10)

Подставляя (7), (8), (9) и (10) в (6), получим :

(11)

Скорости v^/₁ и v^/₂ выразим через расход Q. По условию v₂=2v₁. Тогда

; Q₁=0.5Q₂ ; Q₁=Q/3 ; Q₂=Q/1.5

Тогда :

v^/₁= (12)

v^/₂= (13)

где S^/=πd²/4 – площадь сечение линии.

С учётом (12) и (13) формула (11) примет вид :





Отсюда искомая сила F₂ :

F₂=

F₂= (14)

Вычисления по формуле (14) дают :

F₂=

Н=4.5 кН.

Ответ : F₂=4.5 кН.

Литература.

1.Т.М. Башта, С.С. Руднёв, В.В. Некрасов. Гидравлика, гидромашины и гидропривод. Учебник для машиностроительных вузов. 1982 г.

2. Методические рекомендации.


Помощь на экзамене, зачете, тесте.