Решение неравенства с решением уравнения?

Вопрос 1. Как связано решение неравенства с решением уравнения?

Ответ. Обычно рассматриваемые функции являются непрерывными или имеющими разрывы в отдельных точках.

Связь между неравенствами с непрерывными функциями и соответствующими уравнениями (знак неравенства заменяем на знак равенства) состоит в том, что во всех промежутках между корнями уравнения неравенство сохраняет постоянный знак. Поэтому самый распространенный способ решения неравенства с непрерывными функциями состоит в том, что находят корни соответствующего уравнения и определяют верность знака неравенства в одной из точек между корнями.

Если функция имеет точки разрыва, то в набор значений переменной, между которыми надо выяснять знак неравенства, кроме корней уравнения, надо включить и эти точки разрыва.

Вопрос 2. Если функция y = f(x) убывает на всей числовой оси, то какой вид может иметь решение неравенства f(x) ≤ a?

Ответ. Если a входит в область значений функции f и f(x₀) = a, то ответом будет x ≥ x₀. Если же a не входит в область значений f, то ответ может быть различным. Например, если при всех x значение f(x) > a, то ответом будет пустое множество (пример: y = 2^–x, а – любое число ≤ 0).

Вопрос 3. Если в неравенстве сделана замена t = g(x) и полученное неравенство оказалось верным при всех значениях t, то какой ответ будет иметь исходное неравенство относительно x?

Ответ. x – любое число, но из области определения функции g. Например, при замене lg x = t в неравенстве (lg x)² + lg x + 1 > 0 получим неравенство t² + t + 1 > 0, справедливое при всех t, то ответом на исходное неравенство будет x > 0.

Вопрос 4. Как изображаются на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем?

Ответ. Если мы заменим данные неравенства соответствующими уравнениями, то эти уравнения будут задавать на координатной плоскости некоторые линии. Эти линии разобьют плоскость на несколько частей. Внутри каждой из таких частей каждое неравенство будет иметь определенный смысл (т. е. будет одновременно верно или неверно при подстановке координат любой точки этой области). Сказанное верно лишь при соблюдении непрерывности функций, входящих в неравенства.