NetNado
  Найти на сайте:

Учащимся

Учителям



Самостоятельная работа Лекции Семинары Лабораторные работы 1


N
раз-
дела


Наименование
раздела



Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий

Форма
текущего
контроля


Аудиторная работа

Самостоятельная работа


Лекции

Семинары

Лабораторные работы


1.


Введение

Лекция №1 (2 часа).

Классификация интегральных уравнений; физические задачи, связанные с решением интегральных уравнений. Линейные, нормированные и евклидовы пространства. Пространства функций как примеры бесконечномерных нормированных пространств. Сходимость в нормированных пространствах. Понятие ограниченной и компактной последовательностей. Фундаментальные последовательности и понятие полного пространства.


Семинар №1 (2 часа)

Понятие нормы и скалярного произведния. Пространства функций, вычисление норм и скалярных произведений элементов в различных функциональных пространствах.





3 часа

Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

ДЗ,

Оп,

Об

Лекция №2 (2 часа).

Основы теории линейных операторов в нормированных пространствах. Понятие ограниченного, вполне непрерывного, самосопряженного операторов, норма оператора. Оператор Фредгольма как пример линейного ограниченного вполне непрерывного самосопряженного оператора в бесконечномерном евклидовом пространстве.




3 часа

Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

Лекция №3 (2 часа).

Теорема о существовании собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Постороение последовательности собственных векторов.




3 часа
Работа с лекционным материалом.



2.



Линейные интегральные уравнения

Лекция №4 (2 часа).

Однородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим ядром. Характеристические числа и собственые функции, их свойства. Теорема Гильберта-Шмидта.







3 часа
Работа с лекционным материалом.


ДЗ,

КР,

Оп,

Об,

Т


Лекция №5 (2 часа).

Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим ядром. Теорема о разрешимости уравнения, структура решения. Различные представления решения, резольвента.

Семинар №2 (1 час)

Построение резольвенты неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода с симетрическим ядром.





3 часа
Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

Лекция №6 (2 часа).

Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Эквивалентность интегрального уравнения и линейной алгебраической системы. Теоремы о разрешимости, методы построения решений.

Семинар №3 (2 часа)

Нахождение характеристических чисел и собственных функций однородного уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Решение неоднородных уравнений.




4 часа
Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

Лекция №7 (2 часа).

Принцип сжимающих отображений, теоремы о неподвижной точке. Уравнения Фредгольма с малым λ. Теоремы о разрешимости, метод последовательных приближений, резольвента.

Семинар №4 (1 час)

Метод последовтельных приближений для решения уравнения Фредгольма с малым λ. Построение резольвенты.





3 часа
Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

Лекция №8 (2 часа).

Уравнения Фредгольма 2-го рода с произвольным непрерывным ядром, сведение к уравнению с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.







3 часа
Работа с лекционным материалом.


Лекция №9 (2 часа).

Линейное уравнение Вольтерра. Теоремы о разрешимости, метод последовательных приближений, резольвента.

Семинар №5 (1 час)

Методы решения уравнения Вольтерра. Построение резольвенты.




4 часа

Работа с лекционным материалом.

Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

Лекция №10 (2 часа).

Задача Штурма-Лиувилля. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению с симметрическим ядром. Существование собственых значений и собственных функций, их свойства. Теорема Стеклова.

Семинар №6 (2 часа)

Нахождение собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с различными краевыми условиями.




4 часа
Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.


3.


Основы вариационного исчисления

Лекция №11 (2 часа)

Предмет вариационного исчисления. Понятие функционала, примеры. Сильная и слабая вариация. Понятие экстремума функционала, сильный и слабый экстремум. Основная лемма вариационного исчисления.

Семинар №7 (2 часа)

Вычисление вариации функционала.

Уравнение Эйлера. Различные случаи интегрирования уравнения Эйлера.




3 часа
Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

ДЗ,

КР,

Оп,

Об,

Т

Лекция №12 (2 часа)

Задача с закрепленными концами: постановка задачи, теорема о необходимом условии экстремума. Уравнение Эйлера (вывод), экстремали функционала. Теорема о необходимом условии экстремума в случае зависимости функционала от нескольких функций.




3 часа
Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

Лекция №13 (2 часа).

Задача с закрепленными концами: достаточные условия экстремума. Функция Вейерштрасса, теоремы о достаточных условиях сильного и слабого экстремума в форме Вейерштрасса и Лежандра.

Семинар №8 (2 часа)

Поле экстремалей. Сильный и слабый экстремум. Проверка достаточных условий экстремума в форме Вейерштрасса и Лежандра.




4 часа
Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

Лекция №14 (2 часа).

Условный экстремум, задача Лагранжа и изопериметрическая задача. Постановки задач, теоремы о необходимых условиях экстремума. Физические примеры. Геодезические линии поверхностей.

Семинар №9 (2 часа)

Решение различных задач на условный экстремум.




4 часа
Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.

Лекция №15 (2 часа).

Вариационные задачи с подвижной границей и со свободным концом. Постановки задач, теоремы о необходимых условиях экстремума. Физические примеры.

Семинар №10 (2 часа)

Решение различных задач с подвижной границей и со свободным концом.




4 часа
Работа с лекционным материалом.
Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.


4.


Понятие о методах регуляризации решения некорректно поставленных задач

Лекция №16 (2 часа).

Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах, физические примеры. Уравнение Фредгольма 2-го рода как пример корректно поставленной задачи. Уравнение Фредгольма 1-го рода как пример некорректно поставленной задачи.







3 часа
Работа с лекционным материалом.

Оп,

Об

Лекция №17 (2 часа).

Понятие регуляризирующего алгоритма. Метод регуляризаци А.Н.Тихонова, регуляризирующий функционал. Теорема А.Н.Тихонова.







3 часа
Работа с лекционным материалом.

страница 1


скачать

Другие похожие работы: