Управление решения
УДК 517 (075.8) + 517.2
С.Шарипов, К.С.Шарипов
УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ (НАГРУЖЕННЫХ) УРАВНЕНИЙ СО СКОРОСТЬЮ
Введено понятие управления решения дифференциальных (нагруженных) уравнений со скоростью.
Одной из характеристик исследования разных процессов является скорость изменения величин участвующих в них. Это сказанное можно продемонстрировать, в частности, на задаче вида
(1)
(2)
В условии (2) не участвует условие, связанное с производной искомой функции y(t) , т.е. со скоростью изменения искомой функции y(t) в точке t.
С этой целью для этой задачи введем дополнительные условия, связанные с производной искомой функции y(t) в виде
(3)
Здесь - заданные значения скорости (изменения) в точках
Тогда имеем задачу
(4)
(5)
Пусть p(t) – заданная непрерывная функция, а Q(t) – постоянная разрывная функция первого рода [1]
(6)
Ее можно записать и так:
(7)
тогда
(8)
(9)
Здесь Поэтому даем определение для решения уравнения (8).
Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке ее (и ее исправленную производную) в уравнение (8) обращает его в тождество.
Отметим, что функции
(10)
являются первыми исправленными производными функции
(11)
В классе эквивалентных пар таких, что
(12)
Решение уравнения (8) определяется формулой
(13)
Отсюда с учетом (9) следует, что (14)
Чтобы использовать остальные условия, вычислим первую исправленную производную от (13)
(15)
С учетом (9), отсюда имеем систему относительно вида
(16)
Из (14) и (16) имеем
(17)
Видно, что значение зависит от а значение зависит от и т.д.
Подставляя (17) в (13) и в (8) имеем функцию вида
(18)
которая является решением задачи (8)-(9).
Функция (разрывная) (6), с учетом (17), называется управляющей функцией, со скоростью, а называются управляющими величинами со скоростью.
Итак, показана возможность управления решения задачи (8)-(9) со скоростью.
Нагруженное дифференциальное уравнение со скоростью.
Теперь рассмотрим случай когда правая часть Q(t) уравнения (4) имеет вид
(19)
неизвестные числа, которые являются значениями исправленной производной искомой функции в точках соответственно. Значит, управляющие величины со скоростью есть
В этом случае функцию (19) можно записать так
(20)
уравнение (4) с правой частью (20) называется нагруженным.
В этом случае имеем нагруженную задачу вида
(21)
(22)
найти ?
( - неизвестные) (23)
Видно, что функция (19) является частным случаем функции (6), т.е.
(24)
Поэтому на основании формулы (17) имеем систему относительно исправленных производных вида
(25)
Отсюда имеем
(26)
Аналогично находим и остальные
Таким образом, заданная функция p(t), начальное условие y0 и нагруженная управляющая функция (20) заранее определяет величину значения исправленной производной решения нагруженной задачи (21)-(22) в точках соответственно. А решение этой нагруженной задачи имеет вид
(27)
Приведем один важный результат : если , то нагруженная задача (21)-(22) имеет нулевое решение. При решение (27) задачи (21)-(22) является устойчивым на любом отрезке
В наших следующих статьях будут исследованы задачи управления
I задача управление вида
1)
2)
Лишь отметим, что аналогичную задачу можно ставить и для уравнения
II Задача управления для линейного гиперболического уравнения
1.
Нагруженная задача:
ЛИТЕРАТУРА
Шарипов С., Шарипов К.С. Управление решения дифференциального и интегрального уравнений //Вестник ИГУ, -№ 12, -Каракол, 2004. –С.159-163.
страница 1
скачать
Другие похожие работы: