NetNado
  Найти на сайте:

Учащимся

Учителям



Урок Введение. Историческая справка


Урок 1. Введение. Историческая справка.
Цель урока: Создать условия, необходимые для рассмотрения этапов развития теории вероятностей.

Задачи:

Обучающие:

- знакомство с предметом теории вероятностей и математической статистики, местом теории вероятностей в системе научного познания мира.

Развивающие:

- формирование у учащихся единой научной картины мира и элементов научного мировоззрения путем исследования межпредметных связей теории вероятностей и различных наук;

Воспитательные:

- развитие самостоятельности и навыков самоконтроля.
I . Оргмомент.

II. Вводная беседа. (Слайд2)

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении. (Слайд3)

Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали.

Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в школе получат в течение сегодняшнего дня только отличные оценки.

(Слайд4) Такие непредсказуемые явления называются случайными. Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики, с которым мы с вами начинаем сегодня знакомится. А сейчас мы определим ключевое слово нового раздела. Я предлагаю вам разгадать кроссворд: (Слайд5)




1






















2

























3
















4




























5

























6



















7






















8































9



















10






















11






















  1. Прямоугольник с равными сторонами.

  2. Одна сотая часть числа.

  3. Место, занимаемое цифрой в записи числа.

  4. Результат вычитания величин.

  5. Какой знак стоит между 0 и 1, если получившееся число больше 0 , но меньше 1.

  6. Часть прямой

  7. Наименьшее натуральное число.

  8. Метод Эратосфена, в котором простые числа “отсеиваются” от составных.

  9. Одно из измерений прямоугольного параллелепипеда, которого нет у прямоугольника.

  10. Число, которое делится на каждое из данных чисел.

  11. Выражение, содержащее числитель и знаменатель.


Итак, получилось слово «вероятность», а раздел математики, с которым нам предстоит познакомиться, называется «Теория вероятностей», а ещё полнее «Статистика и теория вероятностей». Что же это за наука? Когда она зародилась? Это нам с вами и предстоит сегодня выяснить.

(Слайд6)

«Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенной к исчислению». Лаплас

.

III. Самостоятельная работа.

На данном этапе учащимся для самостоятельной работы предлагается текст. Работая с текстом, ученики используют прием «чтение текста с пометками»:

«V» – я это знал;
«–» – я думал иначе;
«+» – я этого не знал (новая информация);
«?» – непонятная или недостаточная информация
«!» - заслуживает особого внимания

(Слайд7)
Наука угадывать.

Слова «случай», «случайность», «случайно» едва ли не самые употребительные в любом языке. Случайность противопоставляется ясной и четкой информации, строгому логическому развитию событий. Однако так уж велика пропасть между случайным и неслучайным? Ведь случайность, когда она проявляется в поведении не одного объекта, а многих сотен и даже тысяч объектов, обнаруживает черты закономерности. Философы говорят: «путь, которым необходимость идет к цели, вымощен бесконечным множеством случайностей».

Мир – это бесконечное многообразие явлений. Непосредственное общение с миром приводит к мысли, что все явления разделяются на два вида: необходимые и случайные. Необходимые кажутся нам явлениями неизбежно происходящими, а случайные – явлениями, могущими как произойти так и не произойти в одно и тоже время. Существование и изучение необходимых явлений представляется естественным, закономерным. А случайные явления в обыденном представлении кажутся нам крайне редкими, не имеющими закономерностей; они как бы нарушают естественный ход событий. Однако случайные явления происходят всюду и постоянно. В результате взаимодействия многих случайностей появляется ряд явлений, в закономерности которых мы не сомневаемся. Случайность и закономерность неотделимы друг от друга.

Почему явления представляются нам случайными? (Слайд8)

1. Отсутствие полной информации о них. Например, вокруг земли летает спутник. Если больше о нем ничего не известно, то появление или не появление его в данной точке небесной сферы – явления случайные. Но если известны все параметры его полета, то эти явления достоверно предсказываются. В этом примере случайность или достоверность зависит от полноты информации о явлении.

2. Явления случайны в силу своей природы. Случайность или необходимость явлений может быть установлена при повторении некоторого комплекса условий. Но полная идентичность в повторении комплекса условий невозможна. Изменение комплекса условий, при котором явление должно произойти, влечет за собой изменение самого явления. Такие рассуждения приводят к мысли, что абсолютно необходимых явлений нет. Все явления в определенной мере случайны.

Человека всегда интересовало, что его ждет впереди, какого результата надо ждать в той или иной жизненной ситуации. Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно

Наверное, и такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, не только уповали на доблесть и искусство воинов, но умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него.

3. Представления о достоверности или случайности явления зависят от объективных закономерностей процесса познания. Процесс познания явления бесконечен в своей точности. Уровень этой точности зависит от науки, расширяющей и углубляющей это видение. На одном уровне развития научного знания явления кажутся достоверными, а на другом – случайными. Пример: ошибки измерений случайны. Но они уменьшаются при использовании измерительных приборов с увеличивающей точностью измерений. Однако абсолютной точности измерений достичь нельзя.

4. Природа случайности имеет свои истоки в наших представлениях о физическом строении материи. Принята структурно-системная организация материи, означающая, что материя организуется из частиц, находящихся в движении и различных видах связи. Из элементарных частиц слагается весь материальный мир. Автономность систем, наличие бесконечных видов движения рождают случайности связей элементов структур и систем.

Немаловажную роль в возникновении этой науки и развитии этой науки сыграли азартные игры, особенно игра в кости. Азартные игры появились на заре человечества. Позднее, с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их как невозможные, возможные и достоверные. Наиболее ярко случайные события проявляются в области азартных игр, где «наглядными пособиями» служат монета и игральная кость.

Интересно происхождение слова «азартный». Слово «азар» по-арабски означает «трудный». Так арабы при бросании нескольких костей называли комбинацию очков, которая могла появиться единственным образом. Например, при бросании двух костей «трудным» («азар») считалось появление 12-ти или 2-х очков. Так, в археологических раскопках, начиная с V тысячелетия до нашей эры, можно обнаружить астрагалы – специально обработанные кости животных с нанесенными на них точками. Для кого-то кости становились источником богатства, для кого-то – источником нищенства и позора. Первая книга, в которой появились вероятностные представления, так и называлась: «Книга об игре в кости» Джероламо Кардано (24 .09 1501 — 21.09 1576). Те задачи, которые решал Кардано, вошли во все учебники и задачники по теории вероятностей, ведь выпадение кости – классический пример случайного события, которое и является предметом изучения теории вероятностей.
IV. Обсуждение текста, ответы на вопросы учащихся, примеры из жизни.

V. Этапы развития теории вероятностей.

Сообщения учащихся, в ходе которых в тетрадях проводится заполнение таблицы:


дата

личность

событие











В истории развития теории вероятностей можно выделить следующие этапы:

1. Предыстория теории вероятностей. (Слайды 9-12) В этот период, начало которого теряется в глубине веков, ставились и примитивно решались задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов решения в этот период не было. С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением мелких частиц (молекул), мы встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятных) и т. п.

Еще  в древности делались попытки сбора и анализа некоторых статистических материалов — все это (а также и другие проявления внимания к случайным явлениям} создавало почву для выработки новых научных понятий, в том числе и понятия вероятности. Но античная наука не дошла до выделения этого понятия. В философии вопрос о случайном, необходимом и возможном  всегда был одним из основных. Философская разработка этих проблем также оказывала влияние на формирование понятия вероятности. Этот период закончило в XVI веке появление работ Кардано, Пачоли, Тарталья. В целом в средневековье мы наблюдаем только разрозненные попытки осмыслить встречающиеся вероятностные рассуждения

2. Возникновение теории вероятностей как науки. (Слайды 14,15,16,19) В этот период вырабатываются первые специфические понятия, устанавливаются первые теоремы. Начало этого периода связано с именами Паскаля, Ферма, Гюйгенса. Этот период продолжается от середины XVI века до начала XVIII века. В этот период теория вероятностей находят свои первые применения в демографии, страховом деле, оценке ошибок наблюдения.

3. Следующий этап начинается с появления работы Я. Бернулли «Искусство предположения» (1713 год). (Слайды 20,21) Здесь была доказана теорема Бернулли, которая дала возможность широко применять теорию вероятностей к статистике. К этому периоду относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона, теория вероятностей начинает применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности.

4. Следующий этап развития теории вероятностей связан, прежде всего, с русской (Петербургской) школой. (Слайд 22) За два столетия развития теории вероятностей главными ее достижениями были предельные теоремы. Но не были выяснены границы их применимости и возможности дальнейшего обобщения. Наряду с огромными  успехами, достигнутыми теорией вероятностей в предыдущий период, были выявлены и существенные недостатки в ее обосновании, это в большой мере относится к недостаточно четким представлениям о вероятности.

В теории вероятностей создалось положение, когда дальнейшее ее развитие требовало уточнения основных положений, усиления самих методов исследования. Это было осуществлено русской математической школой во главе с П. Л. Чебышевым. Среди ее крупнейших представителей мы видим А. А. Маркова и А. М. Ляпунова. В этот период в теорию вероятностей входят оценки приближений предельных теорем, а также происходит расширение класса случайных величин, подчиняющихся предельным теоремам. В это время в теории вероятностей начинают рассматривать некоторые зависимые случайные величины (цепи Маркова).

Понятие вероятности получило  большое распространение в естественных науках, в первую очередь это относится к физике. Появляются работы Максвелла, а затем Больцмана и Д. Гиббса. Их трудами создается статистическая физика. Но это внедрение вероятностных методов и понятий в физику шло в довольно большом отрыве от достижений теории вероятностей.

Развитие теории вероятностей в начале ХХ в. привело к необходимости пересмотра и уточнения ее логических  основ, в первую очередь понятия вероятности. Следует иметь в виду и то, что к началу ХХ в. аксиоматический метод стал проникать во многие области математики (работы Д. Гильберта, Пеано и др.), что также оказало влияние на теорию вероятностей. В результате всего этого возникла необходимость аксиоматизации теории вероятностей и ее основного понятия — вероятности.

5. Современный этап развития теории вероятностей. (Слайд23 со ссылками) Для успешного применения теории вероятностей к физике, биологии и другим наукам, а также к технике и военному делу необходимо было уточнить и привести в стройную систему основные понятия теории вероятностей. Поэтому этот период начался с установления аксиом науки. Первые работы этого периода связаны с именами Бернштейна, Мизеса, Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы XX века, когда была опубликована и получила всеобщее признание аксиоматика Андрея Николаевича Колмогорова.

Сейчас невозможно указать ни одной области человеческой деятельности, где бы не применялись вероятностные исследования. Говорят о «стохастической революции в сознании». В современном языке стохастический означает «случайный», в древнегреческом stochastikos означало «умеющий угадывать».

Где сегодня используются вероятностно-статистические методы?

Начать по праву следует со статистической физики. Современное естествознание исходит из представления, согласно которому все явления природы носят статистический характер и законы могут получить точную формулировку только в терминах теории вероятностей. Статистическая физика стала основой всей современной физики, а теория вероятностей – ее математическим аппаратом. В статистической физике рассматриваются задачи, которые описывают явления, определяющиеся поведение большого числа частиц. Статистическая физика весьма успешно применяется в самых разных разделах физики. В молекулярной физике с ее помощью объясняют тепловые явления, в электромагнетизме – диэлектрические, проводящие и магнитные свойства тел, в оптике она позволила создать теорию теплового излучения, молекулярного рассеивания света. В последние годы круг приложений статистической физики продолжает расширяться.

Статистические представления позволили быстро оформить математическое изучение явлений ядерной физики. Появление радиофизики и изучение вопросов передачи радио сигналов не только усилили значение статистических концепций, но и привели к прогрессу самой математической науки – появлению теории информации.

Понимание природы химических реакций, динамического равновесия также невозможно без статистических представлений. Вся физическая химия, ее математический аппарат и предлагаемые ею модели являются статистическими.

Обработка результатов наблюдений, которые всегда сопровождаются и случайными ошибками наблюдений, и случайными для наблюдателя изменениями в условиях проведения эксперимента, еще в XIX столетии привела исследователей к созданию теории ошибок наблюдений, и эта теория полностью опирается на статистические представления.

Астрономия в ряде своих разделов использует статистический аппарат. Звездная астрономия, исследование распределения материи в пространстве, изучение потоков космических частиц, распределение на поверхности солнца солнечных пятен (центров солнечной активности) и много е другое нуждается в использовании статистических представлений.

Биологи заметили, что разброс размеров органов живых существ одного и того же вида прекрасно укладывается в общие теоретико-вероятностные законы. Знаменитые законы Менделя, положившие начало современной генетике, требуют вероятностно-статистических рассуждений. Изучение таких значительных проблем биологии, как передача возбуждения, устройство памяти, передача наследственных свойств, вопросы расселения животных на территории, взаимоотношения хищника и жертвы требует хорошего знания теории вероятностей и математической статистики.

Гуманитарные науки объединяют очень разнообразные по характеру дисциплины – от языкознания и литературы до психологии и экономики. Статистические методы все в более значительной мере начинают привлекаться к историческим исследованиям, особенно в археологии. Статистический подход используется для расшифровки надписей на языке древних народов. Идеи, руководившие Ж. Шампольоном при расшифровке древнего иероглифического письма, являются в основе своей статистическим. Искусство шифрования и дешифровки основано на использовании статистических закономерностей языка. Другие направления связаны с изучением повторяемости слов и букв, распределения ударений в словах, вычислением информативности языка конкретных писателей и поэтом. Статистические методы используются для установления авторства и изобличения литературных подделок. Например, авторство М.А. Шолохова по роману «Тихий Дон» было установлено с привлечением вероятностно-статистических методов. Выявление частоты появления звуков языка в устной и письменной речи позволяет ставить вопрос об оптимальном кодировании букв данного языка для передачи информации. Частота использования букв определяет соотношение количества знаков в наборной типографской кассе. Расположение букв на каретке пишущей машины и на клавиатуре компьютера, определяется статистическим изучением частоты сочетаний букв в данном языке.

Многие проблемы педагогики и психологии также требуют привлечения вероятностно-статистического аппарат. Вопросы экономики не могут не интересовать общество, поскольку с ней связаны все аспекты ее развития. Без статистического анализа невозможно предвидеть изменение количества населения, его потребностей, характера занятости, изменения массового спроса, а без этого невозможно планировать хозяйственную деятельность.

Непосредственно связаны с вероятностно-статистическими методами вопросы проверки качества изделий. Зачастую изготовление изделия занимает несравненно меньше времени, чем проверка его качества. По этой причине нет возможности проверить качество каждого изделия. Поэтому приходится судить о качестве партии по сравнительно небольшой части выборки. Статистические методы используются и тогда, когда испытание качества изделий приводит к их порче или гибели.

Вопросы, связанные с сельским хозяйством, уже давно решаются с широким использованием статистических методов. Выведение новых пород животных, новых сортов растений, сравнение урожайности – вот далеко не полный список задач, решаемых статистическими методами.

Можно без преувеличения сказать, что статистическими методами сегодня пронизана вся наша жизнь.
Проверка получившейся таблицы.
После знакомства учащихся с историей полезно продемонстрировать учащимся понятия случайности и закономерности с помощью наглядных пособий. Это вращающийся диск с пронумерованными секторами, кубик с пронумерованными гранями, монеты, набор разноцветных шариков.
VI. Работа со словарём. (Слайд29)

В разделе «Статистика и теория вероятностей» нам встретится много новых слов, определений и формул. Сегодня мы начинаем вести наш словарь, который будет постоянно пополняться. Все слова и определения, занесённые в словарь, необходимо знать для успешного изучения данного раздела математики.

Математическая монета — «идеальная» монета, которая падает вверх орлом с вероятностью . Все свойства настоящей монеты — размер, материал, достоинство — для математической монеты несущественны. Математическую монету еще называют симметричной монетой.

Математическая игральная кость — «идеальный» игральный кубик, для

которого вероятность выпадения любой грани равна . Математическую кость называют также симметричной. Наилучшим приближением к математической кости является обычная правильная кость.

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий вероятности собы­тий. Теория вероятностей разрабатывает методы, с помощью которых можно вычислить вероятности одних событий, зная вероятности других. Теория веро­ятностей изучает также случайные величины и их распределения.

Элементарное событие — простейшее событие, которое наступает в ре­зультате случайного опыта. Элементарное событие нельзя разложить на более простые.
VII. Рефлексия. Подводя итог урока, необходимо добиться понимания учащимися следующих важных положений: (Слайд30)

1. В окружающей реальности действую два основных типа законов – статистические законы и законы жесткой детерминации.

2. Законы обоих типов объективны, несводимы друг к другу и выражают необходимые связи в природе.

3. Детерминистические законы представляют собой низший уровень процесса познания окружающего нас мира, статистические законы более современны, они отражают объективные связи в природе и являются более высоким этапом познания.
VIII. Домашнее задание. (Слайд31)

Разбить учеников на тройки. Каждая тройка готовит сообщение на одну из тем:

  1. Даниил Бернулли и его вклад в развитие теории вероятностей.

  2. Гюйгенс и его вклад в развитие теории вероятностей;

  3. Блез Паскаль и его вклад в развитие теории вероятностей;

  4. Ферма и его вклад в развитие теории вероятностей.

страница 1


скачать

Другие похожие работы: