Вопросы к экзамену по курсу лекций «Вариационное исчисление и оптимальное управление»

Вопросы к экзамену по курсу лекций «Вариационное исчисление и оптимальное управление».

1) Пространство линейных непрерывных операторов. Сопряженные операторы. Лемма о сопряженном пространстве к произведению пространств.

2) Примеры банаховых пространств и сопряженные к ним (Rⁿ, Cⁿ([t₀, t₁]), Cⁿ₁([t₀, t₁)) ) 3) Теоремы отделимости. Лемма о нетривиальности аннулятора.

4) Теорема Банаха об открытом отображении. Лемма о правом обратном отображении. Лемма об аннуляторе ядра эпиморфизма.

5) Дифференцируемость, непрерывная и строгая дифференцируемость, частные производные, вторая производная отображений. Теоремы (без доказательств) о полном дифференциале, о суперпозиции, о среднем.

6) Дифференцируемость некоторых отображений (вектор функция, аффинное отображение, оператор Немыцкого.)

7) Теорема о неявной функции и ее следствия (теорема о поправке и теорема Люстерника).

8) Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия второго порядка для гладких задач без ограничений.

9) Правило множителей Лагранжа для гладких задачи с ограничениями типа равенств.

10) Необходимые условия второго порядка для гладких задачи с ограничениями типа равенств.

11) Достаточные условия второго порядка для гладких задачи с ограничениями типа равенств.

12) Обобщенные достаточные условия второго порядка для гладких задачи с ограничениями типа равенств (без доказательства).

13) Правило множителей Лагранжа для гладких задачи с ограничениями типа равенств и неравенств.

14) Теорема Куна -Таккера - правило множителей Лагранжа для выпуклых задач.

15) Правило множителей Лагранжа для гладко-аппроксимативно-выпуклых задач (доказательство для случая m = 0).

16) Необходимые условия первого порядка в задаче Больца - уравнения Эйлера и условия трансверсальности.

17) Необходимые условия первого порядка в простейшей задаче вариационного исчисления – уравнения Эйлера.

18) Условие Лежандра - необходимое условия второго порядка в простейшей задаче вариационного исчисления.

19) Условие Якоби - необходимое условия второго порядка в простейшей задаче вариационного исчисления

20) Усиленное условие Якоби - достаточные условия второго порядка в простейшей задаче вариационного исчисления.

21) Необходимые условия первого порядка в задаче Лагранжа – уравнения Эйлера-Лагранжа.

22) Необходимые условия первого порядка в задаче оптимального управления – принцип максимума Понтрягина.