Вступительная работа

Вступительная работа

1. 
   Волк побежал за Зайцем по кольцевой дороге, увидев его на 1/3 круга впереди себя. Скорость Зайца, который в тот же момент помчался прочь от Волка, составляет 5 кругов в час. Скорость Волка равна 7 кругов в час. Через какое время после начала движения Волк догонит Зайца?
   

2. 
   Докажите, что число 11…1 + 22…2 + … + 99…9 (каждое слагаемое состоит из 2008 цифр) делится на 9.
   

3. 
   Решите неравенство x²(x² – 1)(x² + 3)  0.
   

4. 
   В выпуклых четырехугольниках ABCD и A₁B₁C₁D₁ выполняются равенства AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CD = C₁D₁, DA = D₁A₁. Кроме того, известно, что наименьшая сторона четырехугольника ABCD равна наибольшей стороне четырехугольника A₁B₁C₁D₁. Верно ли, что четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны (две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением)?
   

5. 
   Переменные x₁, x₂, ..., x₁₀₀ могут принимать значения 0 или 1. Обозначим через S сумму x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + ... + x₉₈x₉₉x₁₀₀ (в сумму входят по одному разу все слагаемые вида x_ix_jx_k, где 1 ≤ i < j < k ≤ 100). Может ли S равняться 5?
   

6. 
   По кругу расставлены цифры 1, 2, 3, ..., 9 в произвольном порядке (каждая цифра встречается один раз). Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трехзначное число. Чему равна сумма всех девяти таких чисел? Укажите все возможные варианты.
   

7. 
   Найдите все решения ребуса
   

+	ВАГОН
	ВАГОН
	СОСТАВ

(одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными – разные).

8. 
   В выпуклом четырехугольнике ABCD известны три угла: ; известно также, что стороны CD и AD равны. Докажите, что BC + CD = AB.
   

9. 
   Решите систему уравнений:
   

10. 
    Несколько друзей решили устроить турнир по игре в «камень-ножницы-бумагу». Каждый сыграл с каждым по одному поединку. За победу в каждом поединке игроку начислялось одно очко, за поражение одно очко вычиталось, а ничья число набранных очков не изменяла. Оказалось, что один из участников набрал +7 очков, а другой набрал (–2) очка. Верно ли, что хотя бы одна игра на турнире завершилась вничью?