Негосударственное образовательное учреждение

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ»

Факультет мировой экономики и международной торговли
Кафедра математики и информатики

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
МАТЕМАТИКА.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Для заочного отделения студентов

Республики Казахстан

Разработана в соответствии с ФГОС ВПО
Рекомендуется для направления подготовки

080100.62 – «Экономика»

Профили подготовки:

«Мировая экономика», «Финансы и кредит»,

«Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Квалификации выпускника – бакалавр экономики

Москва

2013
УТВЕРЖДЕНО

на заседании Ученого Совета ИМЭС

(Протокол № 1 от 22.08.2013 г.)

Данную программу разработал кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и информатики Института международных экономических связей Налимов Валерий Николаевич.
Программа предназначена для студентов очного, очно-заочного и заочного отделений.

Программа разработана в соответствии с ФГОС ВПО.

Обсуждена и рекомендована

к утверждению на заседании кафедры

математики и информатики НОУ ВПО ИМЭС

Протокол № 1 от 20.08.2013 г.

Аннотация

программы учебной дисциплины

«Математика. Линейная алгебра»
1. Цели и задачи дисциплины: ознакомление с основными понятиями линейной алгебры, освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины, развитие четкого логического мышления. Дисциплина «Математика. Линейная алгебра» является основой для изучения других математических курсов, а также дает необходимый математический аппарат для изучения дисциплин профессионального цикла.
2. Место дисциплины в структуре ООП: учебная дисциплина «Линейная алгебра» входит в вариативную часть цикла общих математических и естественнонаучных дисциплин. Входные знания и умения студентов должны соответствовать курсу «Математика» общеобразовательной средней школы. Дисциплина «Математика. Линейная алгебра» является предшествующей для следующих дисциплин: «Макроэкономика», «Микроэкономика», «Эконометрика», «Дифференциальные и разностные уравнения», «Методы моделирования и прогнозирования экономики», «Теория игр».
3. Требования к результатам освоения дисциплины: процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

ПК-1: Способен собирать и анализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов.

ПК-2: Способен на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов.

ПК-3: Способен выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами.

ПК-4: Способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач.

ПК-5: Способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.

ПК-14: Способен преподавать экономические дисциплины в образовательных учреждениях различного уровня, используя соответствующие программы и учебно-методические материалы.

ПК-15: Способен принимать участие в совершенствовании и разработке учебно-методического обеспечения экономических дисциплин.
В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: основные определения, понятия изучаемых разделов линейной алгебры.

Уметь: формулировать и доказывать основные результаты этих разделов.

Владеть: навыками решения типовых задач с применением изучаемого теоретического материала.

Объем, содержание, разделы, учебно-методическое и информационно-материальное обеспечение дисциплины
4. Объем дисциплины и виды учебной работы по формам обучения

Вид учебной работы	Всего часов/зачетных единиц
Вид учебной работы	очное	очно-заочное	заочное
1	2	3	4
Аудиторные занятия (всего)	52/1,44	54/1,5	22/0,61
В том числе:
Лекции	28/0,78	36/1	14/0,39
Семинары (практические занятия)	24/0,66	18/0,5	8/0,22
Самостоятельная работа (всего)	164/4,56	162/4,5	194/5,39
В том числе:
Самостоятельная работа	92/2,56	90/2,5	185/5,14
Подготовка к экзамену	72/2	72/2	9/0,25
Вид промежуточной и итоговой аттестации	экзамен	экзамен	экзамен
Общая трудоемкость в часах в зачетных единицах	216	216	216
Общая трудоемкость в часах в зачетных единицах	6	6	6

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов (тем) дисциплины

№ п/п	Наименование раздела (темы) дисциплины	Содержание раздела (темы)
1	2	3
1	Преобразования матриц и системы линейных уравнений.	Матрицы. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Алгоритм Гаусса. Системы линейных уравнений: основные понятия и определения. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Общее решение систем линейных уравнений. Системы линейных однородных уравнений. Ненулевые решения систем линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
2	Определитель.	Понятие определителя квадратной матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Основные свойства определителей. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема Лапласа и вычисление определителей разложением по строке (столбцу). Определитель транспонированной матрицы.
1	2	3
3	Линейные пространства.	Векторы на плоскости и в пространстве. Понятие n-мерного вектора. Линейные преобразования векторов (умножение вектора на число и сложение векторов). Аксиомы линейных преобразований. Понятие линейного (векторного) пространства. Линейная зависимость и независимость совокупности векторов. Размерность и базис линейного (векторного) пространства. Разложение вектора по векторам базиса.
4	Алгебра матриц.	Равенство матриц. Сумма матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Транспонирование матриц. Основные свойства арифметических операций над матрицами. Понятие матрицы, обратной данной. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Обращение матриц. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера. Преобразование координат вектора при замене базиса.
5	Ранг матрицы.	Ранг матрицы. Ступенчатая матрица и ее ранг. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях матрицы и алгоритм Гаусса. Критерий линейной независимости строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы. Ранг произведения матриц. Определитель произведения матриц.
6	Структура множества решений системы линейных уравнений.	Векторная запись системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности систем линейных уравнений. Размерность пространства решений системы линейных однородных уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных.
7	Линейные операторы.	Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
8	Линейные, билинейные и квадратичные формы.	Формула линейного функционала. Понятие билинейной формы. Матрица билинейной формы. Матрица симметричной билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. Единственность симметричной билинейной формы, порождающей квадратичную форму. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Критерии положительной определенности квадратичных форм.

1	2	3
9	Элементы аналитической геометрии.	Прямоугольная система координат на плоскости и координатный метод. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов. Общее уравнение прямой на плоскости. Угловой коэффициент прямой. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Каноническое и параметрическое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.
10	Евклидовы пространства.	Скалярное произведение и его основные свойства. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Норма (длина) вектора и ее свойства. «Угол» между векторами и ортогональность векторов. Линейная независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Построение ортонормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Матрица скалярного произведения в ортонормированном базисе. Ортогональные матрицы. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц.
11	Самосопряженные операторы	Сопряженность операторов в евклидовом пространстве. Матрицы сопряженных операторов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов. Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
12	Аффинные пространства.	Преобразование координат точки при замене системы координат. Линейные отображения. Линейные операторы, связанные с линейными отображениями. Геометрические свойства линейных отображений. Аффинные и изометрические отображения.

5.2. Разделы (темы) дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование последующих дисциплин	Номера тем данной дисциплины, необходимых для изучения последующих дисциплин
№ п/п	Наименование последующих дисциплин	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	Дифференциальные и разностные уравнения	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	+	-
2	Макроэкономика	-	+	+	+	-	+	+	+	+	+	-	-
3	Методы моделирования и прогнозирования экономики	-	+	-	-	-	+	+	-	+	-	-	-
5	Микроэкономика	-	-	+	+	-	+	+	+	+	+	-	-
7	Теория игр	-	+	-	-	-	+	+	-	+	-	-	-
8	Эконометрика	+	+	-	+	-	-	-	+	+	-	-	-

5.3. Разделы (темы) дисциплины и виды занятий по формам обучения.

Заочная форма обучения

№ п/п	Наименование раздела (темы) дисциплины	Часовой объем занятий по видам
№ п/п	Наименование раздела (темы) дисциплины	Лекции	Семинары	СРС	Всего
1	2	3	4	5	6
1	Преобразования матриц и системы линейных уравнений	1	1	20	22
2	Определитель	1	1	20	22
3	Линейные пространства	1	1	22	24
4	Алгебра матриц	1	1	14	16
5	Ранг матрицы	1	1	14	16
6	Структура множества решений системы линейных уравнений	1	1	14	16
7	Линейные операторы	1	1	20	22
8	Линейные, билинейные и квадратичные формы	2	1	13	16
9	Элементы аналитической геометрии	2	-	22	24
10	Евклидовы пространства	1	-	15	16
11	Самосопряженные операторы	1	-	7	8
12	Аффинные пространства	1	-	13	14
ИТОГО:		14	8	194	216

6. Лабораторный практикум

№ п/п	№ раздела дисциплины	Наименование лабораторных работ	Трудоемкость (часы/зачетные единицы)
…	не предусмотрен

7. Примерная тематика курсовых проектов (работ)

не предусмотрена

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) Основная литература

Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник. – М.: Проспект, 2012.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А. и др. Математика в экономике: Учебник. Часть 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование. – М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2011.
Налимов В.Н. Основы высшей математики для экономистов. Лекционный курс: Учебное пособие. – М.: Весть, 2006.
Налимов В.Н. Основы высшей математики для экономистов. Практические занятия (семинары): Учебное пособие. – М.: Весть, 2006.

б) Дополнительная литература

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, любое издание.
Высшая математика для экономистов: Учебник. /Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Добросвет, МЦНМО, 2007.
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, любое издание.

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Специально оборудованные кабинеты и аудитории: компьютерные классы, аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения.
10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Контроль знаний и умений студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде домашних заданий и контрольной работы. Контрольная работа проводится после изучения темы № 6. Все домашние задания должны быть сданы до проведения контрольной работы. Итоговый контроль осуществляется в виде письменного экзамена. Полный ответ (решение) каждого из 10 заданий экзамена приносит студенту одно очко. В случае неполного решения оценка может принимать значения между нулем и единицей. Например, арифметическая ошибка, не изменившая верного плана решения задания, приводит к штрафу 0,1. Отсутствие поясняющих примеров при ответе на теоретический вопрос приводит к штрафу 0,2 и т.д.

В зависимости от набранной суммы очков определяется оценка за экзамен по десятибалльной шкале. При этом используются следующие пороговые значения.

Сумма набранных очков	0	1,5	3	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5	9	9,5
Оценка по 10-балльной шкале	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системе.

По десятибалльной шкале	По пятибалльной шкале
1 – неудовлетворительно 2 – очень плохо 3 – плохо	неудовлетворительно – 2
4 – удовлетворительно 5 – весьма удовлетворительно	удовлетворительно – 3
6 – хорошо 7 – очень хорошо	хорошо – 4
8 – почти отлично 9 – отлично 10 – блестяще	отлично – 5

Тематика домашних и контрольной работ
Домашние задания предназначены для контроля освоения студентами следующих основных компонентов курса:

Основные понятия и определения.
1. Преобразования матриц и системы линейных уравнений.
  1. Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений.
  2. Элементарные преобразования матриц.
  3. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные.
2. Определители и их вычисление.
3. Линейное (векторное) пространство.
  1. Подпространство линейного пространства.
  2. Линейная оболочка системы векторов.
  3. Линейно зависимые и независимые системы векторов.
  4. Базис и координаты векторов.
  5. Размерность линейного пространства.
4. Арифметические операции над матрицами.
  1. Сумма матриц.
  2. Умножение матрицы на число.
  3. Произведение матриц.
  4. Обратная матрица и обращение матриц.
5. Матрица перехода.
6. Ранг матрицы и его отыскание.
7. Фундаментальная система решений.

Методы решения некоторых классов задач линейной алгебры.
1. Приведение матриц к ступенчатому виду. Алгоритм Гаусса.
2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
3. Определитель и его основные свойства.
4. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
5. Обращение матриц.
6. Вычисление координат векторов.
7. Построение базиса линейного пространства.
8. Преобразование координат при замене базиса.
9. Ранг матрицы и его отыскание с помощью алгоритма Гаусса.
10. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов).
11. Построение фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений.
12. Построение множества решений системы линейных уравнений.
13. Выбор главных и свободных неизвестных.

Контрольная работа предназначена для проверки качества освоения студентами следующих компонентов дисциплины:

Основные понятия и определения.
1. Преобразования матриц и системы линейных уравнений.

Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений.
Элементарные преобразования матриц.
Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные.

Определители и их вычисление.
Линейное (векторное) пространство.
1. Подпространство линейного пространства.
2. Линейная оболочка системы векторов.
3. Линейно зависимые и независимые системы векторов.
4. Базис и координаты векторов.
5. Размерность линейного пространства.
Арифметические операции над матрицами.
1. Сумма матриц.
2. Умножение матрицы на число.
3. Произведение матриц.
4. Обратная матрица и обращение матриц.
Матрица перехода.
Ранг матрицы и его отыскание.
Фундаментальная система решений.

Методы решения некоторых классов задач линейной алгебры.
1. Приведение матриц к ступенчатому виду. Алгоритм Гаусса.
2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
3. Определитель и его основные свойства.
4. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
5. Обращение матриц.
6. Вычисление координат векторов.
7. Построение базиса линейного пространства.
8. Вычисление размерности пространства.
9. Преобразование координат при замене базиса.
10. Ранг матрицы и его отыскание с помощью алгоритма Гаусса.
11. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов).
12. Исследование совместности системы линейных уравнений.
13. Построение фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений.
14. Построение множества решений системы линейных уравнений.
15. Выбор главных и свободных неизвестных.

Типовой вариант домашнего задания

Найдите решение (методом обратной матрицы, по формулам Крамера и методом Гаусса) системы линейных уравнений:

Представьте как выражение главных неизвестных через свободные общее решение системы линейных уравнений:

Вычислите определитель: .
Даны матрицы Найдите следующие произведения матриц: в тех случаях, когда операция умножения определена.
Найдите координаты вектора относительно базиса , если известны его координаты (50; 48) относительно базиса , причем

Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:

Установите, можно ли образовать базис четырехмерного пространства из векторов:
Векторы; заданы координатами относительно некоторого базиса. Докажите, что системы векторов и являются базисами («старым» и «новым»). Найдите матрицу перехода от «старого» базиса к «новому».

Типовой вариант контрольной работы

Найдите координаты вектора относительно базиса , если известны его координаты (−7, −3, −5) относительно базиса , а вектора базисов связаны соотношениями
Представьте как выражения главных неизвестных через свободные решение системы линейных уравнений

Вычислите определитель
Решите матричное уравнение
Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:

Найдите, при каких значениях вектор образует базис вместе с векторами .
Установите, является ли совместной система уравнений:

Типовой вариант заданий экзаменационного билета

Формулы Крамера решения систем линейных уравнений с невырожденной матрицей системы.
Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам и , если векторы соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
Отрезок с концами в точках А(3, 5) и В(−12, −4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.
Найдите ранги матриц АВ и ВА, если
Методом обратной матрицы решите систему уравнений:

Установите, компланарны ли векторы
Найдите какой-нибудь базис в трехмерном пространстве векторов, перпендикулярных вектору (1, 2, 3).
Могут ли матрицы и быть матрицами одного линейного оператора в различных базисах?
В некотором базисе заданы векторы . Найдите угол (в градусах) между этими векторами.
Вычислите площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы: