Распространение, преломление и отражение света в изотропных средах

6. Интерференция.

Под интерференцией света обычно понимают широкий круг явлений, в которых при наложении световых волн результирующая интенсивность не равна сумме интенсивностей отдельных волн: в одних местах она больше, в других – меньше, т.е. возникают чередующиеся светлые и темные участки – интерференционные полосы. Другими словами, интерференцией называется изменение средней плотности потока энергии, обусловленное суперпозицией электромагнитных волн.

В дальнейшем под интенсивностью световой монохроматической волны будем понимать следующую величину, определяемую формулой:
(6.1)
где E₀ – действительная амплитуда световой волны.

Рассмотрим суперпозицию двух линейно поляризованных в одном направлении волн с различными амплитудами:
(6.2)
Тогда суммарная интенсивность I будет равна:
(6.3)
С учетом (6.1) и (6.2) выражение (6.3) принимает вид:
(6.4)
где
Если частоты интерферирующих волн различны, то формула (6.4) примет вид:
. (6.5)

Последнее слагаемое в (6.4) или в (6.5) называется интерференционным членом. В тех случаях, когда он обращается в нуль, результирующая интенсивность равна сумме интенсивностей отдельных волн и интерференция отсутствует. Если же интерференционный член отличен от нуля, то суммарная интенсивность изменяется от минимального значения
(6.6)
до максимального значения
(6.7)
Монохроматических волн в природе не существует, поэтому приходится ограничиться квазимонохроматическими волнами. Картина интерференции монохроматических волн является лишь первым приближением в интерференции волн от реальных источников. Существующие экспериментальные методы получения интерференционной картины обычно делятся на два класса: 1) способы деления амплитуды волны; 2) способы деления фронта волны.

Рассмотрим несколько примеров.

Интерферометр Майкельсона. Интерферометр состоит из делительной пластинки P и двух зеркал R₁ и R₂ , расположенных на расстояниях l₁ и l₁ от пластины (рис.6.1). На пластинке P происходит деление амплитуды, поскольку фронты волн на ней сохраняются, меняя лишь направление своего движения. Нетрудно показать, что при любом коэффициенте отражения света от пластинки амплитуды полей, приходящих в точку наблюдения А одинаковы. Т.к. частоты также остаются постоянными, то (6.5) принимает вид:
. (6.8)

При этом интенсивность I изменяется от своего минимального значения при до своего максимального значения при . Значение разности фаз определяется длинами плеч интерферометра l₁ и l₂ :
. (6.9)

Рис. 6.1
Пример применения интерферометра Майкельсона.При движении одного из зеркал за счет продольного эффекта Доплера происходит смещение частоты отраженной волны:
. (6.10)
Тогда существенной станет не постоянная амплитуда, а периодически изменяющаяся с частотой в соответствии со значением скорости движения зеркала:
. (6.11)
Как видно, интерферометр Майкельсона – прекрасный инструмент не только для измерений расстояний, но и скорости перемещения объектов, т.к. он весьма чувствителен к перемещениям.

Поставив в одно из плеч призму или линзу, можно получить великолепный инструмент для исследования их качества по интерференционной картине (интерферометр Тваймана–Грина).

Другой пример интерферометра по методу деления амплитуды – интерферометр Маха–Цендера (рис.6.2). По изменению интерференционной картины и длине пути светового пучка в ячейке Q можно с большой точностью определить относительный показатель преломления исследуемого вещества ячейки.

Рис. 6.2
Принцип Гюйгенса. При обосновании волновой теории Гюйгенс предложил принцип, позволивший наглядно интерпретировать ряд волновых задач: если в некоторый момент времени задан фронт световой волны, то для определения положения фронта через промежуток времени t надо каждую точку фронта рассматривать как вторичный источник сферической волны. Поверхность, огибающая вторичные сферические волны радиусом сt, представляет фронт волны через промежуток времени t. Но Гюйгенс не учитывал эффекты интерференции. С учетом явления интерференции вторичных волн данный принцип носит название принципа Гюйгенса–Френеля. При анализе распространения волн необходимо учитывать фазу и амплитуду интерферирующих вторичных волн.

Опыт Юнга. (1801 г.) Рассмотрим интерференцию, возникающую в результате выделения с помощью двух щелей S₁ и S₂ участков сферического волнового фронта волны от точечного источника S (рис.6.3) (метод деления волнового фронта). Найдем разность хода лучей в произвольной точке наблюдения P на экране:

Рис. 6.3
(6.12)
При (что обычно реализуется в эксперименте) получаем:

. (6.13)

Следовательно, с точностью до величины первого порядка по имеем:

. (6.14)
Разность фаз между волнами в точке наблюдения при этом равна:
. (6.15)
Интерференционная картина на экране в зависимости от координаты y принимает вид:

(6.16)
Разумеется, приведенный расчет весьма приблизительный, т.к. кроме используемого приближения мы не учитывали размеры отверстия, а в их пределах фаза может существенно изменяться. Если же размеры меньше длины волны, то необходимо учитывать дифракционные эффекты.

Интерференция при белом свете. Каждая волна со своей длиной в данной схеме создает свою систему интерференционных полос, причем центральный максимум (при y = 0) имеет вид белой полосы, т.к. он совпадает для всех длин волн. Первые минимумы (первые темные полосы) для всех длин волн очень близки и не перекрываются с полосами высших порядков. Следующие интерференционные полосы окрашены, т.к. эти максимумы для разных длин волн разнесены в пространстве (в данном случае по y). При дальнейшем увеличении порядка интерференции интерференционная картина постепенно пропадает, т.к. дальние полосы накладываются друг на друга и смазываются.

Временная и пространственная когерентность Необходимое условие существования интерференции можно сформировать в следующем виде: для возникновения интерференции необходимо, чтобы разность фаз между интерферирующими волнами (см. 6.4) сохраняла свое значение за время усреднения. Поэтому и вводят понятие когерентных колебаний, для которых разность фаз за время наблюдения остается неизменной. При описании интерференционных явлений часто используют понятия временной и пространственной когерентности. Временную когерентность обычно связывают со степенью монохроматичности волн (например, в интерферометре Майкельсона), а пространственную когерентность – с геометрией эксперимента (как в опыте Юнга или при рассмотрении интерференции от протяженных источников света).


Рис. 6.3
Рассмотрим условие возникновения интерференции с более общих позиций. Пусть две волны одинаковой частоты , распространяющиеся от точечных источников О₁ и О₂ , достигают точку наблюдения Р через различные интервалы времени t₁ и t₂ () (рис.6.3). Тогда

(6.17’)
Функция называется функцией корреляции ( – комплексные в общем случае амплитуды). Ее свойство: если произведение амплитуд волн за время , много большее по сравнению с периодом колебаний, совершает хотя бы одно изменение знака, то она при стремится к нулю, если нет – то к единице. Т.о. эта функция показывает степень сфазированности двух волн с одинаковой частотой за временной отрезок . При различных частотах смысл функции корреляции несколько иной и мы его затрагивать здесь не будем. Чаще употребима нормированная функция корреляции
. (6.17)

Эта функция определяет комплексную (в общем случае) степень когерентности исследуемых волн.

Пусть в интерферометре Майкельсона мы делим одну волну на две с временной задержкой . Тогда функция называется функцией автокорреляции. Ее нормированная форма имеет вид
. (6.18)
Пользуясь понятием функции корреляции, соотношение (6.5) можно записать в виде:
(6.19)
На практике для количественной характеристики качества интерференционной картины вводят понятие ее функции видности:
, (6.20)
где – экспериментально определяемые величины в точке наблюдения:
(6.21)
Если , то . Т.е. в этом случае модуль функции автокорреляции и определяет видность интерференционной картины.


Рис. 6.4
Допустим, что наша волна имеет следующую временную зависимость (рис.6.4):

_i – средние времена смены фазы колебания амплитуды. Величина

(6.22)
является характерным временным масштабом случайных флуктуаций фазы световой волны и называется временем когерентности. Путь, проходимый волной за время когерентности, называется длиной когерентности:
. (6.23)

Размывание полос интерференции в интерферометре Майкельсона обусловлено конечностью времени и длины когерентности света, т.е. обусловлено временной когерентностью.

При рассмотрении пространственной когерентности функция характеризует также интерференционное качество волны, т.е. способность различных участков волнового фронта к взаимной когерентности. В этом случае l – расстояние между соответствующими точками на волновом фронте.

Принцип Фурье-спектроскопии. Пусть излучение немонохроматично и обладает непрерывным спектром. В интервале волновых чисел от k до k+dk интенсивность определяется спектром F(k) и интервалом dk :
. (6.24)
В результате интерференции с учетом разности хода имеем:
. (6.25)
Полная интенсивность определяется интегралом:
(6.26)
Это равенство при =0 примет вид:
. (6.27)

Тогда (6.28)

Второе слагаемое в (6.28) f() называется интерферограммой. Обратное преобразование Фурье имеет вид:
. (6.29)
Подставив интенсивность интерферограммы в виде функции разности хода лучей и вычислив f(), с помощью (6.29) получаем спектральный состав излучения. Такой метод определения спектров называется Фурье-спектроскопией.

Многолучевая интерференция. Рассмотрим многолучевую интерференцию на примере интерферометра Фабри–Перо (ИФП) (рис.6.5). Исследуем сначала интерференцию многих световых волн при прохождении плоской монохроматической волны через плоскопараллельную диэлектрическую пластинку толщиной h и показателем преломления n. Обозначим – амплитудные коэффициенты пропускания и отражения при входе волны внутрь пластины, – амплитудные коэффициенты пропускания и отражения на выходе волны из пластины наружу. При этом справедливы соотношения:


Рис. 6.5
(6.30)
где и – энергетические коэффициенты пропускания и отражения соответственно. Будем считать углы падения и преломления достаточно малыми, что можно считать коэффициенты отражения и пропускания независящими от этих углов. Разность хода между соседними интерферирующими волнами на выходе пластины равна
, (6.31)

а разность фаз равна
. (6.32)
Запаздывание последующей волны относительно предыдущей за счет прохождения волны в пластинке учтем множителем е^-i . Суммарная амплитуда E₂ прошедшей волны определяется суперпозицией всех прошедших пластинку волн:
. (6.33)
Интенсивность света определяется следующим образом:
или
. (6.34)
Эта формула носит название формулы Эйри.
Отметим, что аналогично можно найти суммарную интенсивность света при отражении от плоскопараллельной пластинки:

. (6.35)

Интерференционные картины в проходящем и отраженном свете оказываются дополнительными.

Вид функции Эйри (6.34) для трех различных коэффициентов отражения (1 – =0,04; 2 – =0,4; 3 – =0,8) представлен на рис.6.6. Максимумы функции достигаются при , где m = 0,1,2, ..., а минимумы – при . Т.о. функция видности интерференционной картины равна:
, (6.36)


Рис. 6.6
т.е. при 1 V 1. При минимуме прошедшей проинтерферировавшей волны наблюдается максимальное отражение света от интерферометра тоже за счет интерференционного сложения волн на зеркалах.

Если на ИФП падают пучки света под всевозможными углами, то интерференционные полосы имеют вид колец. Максимальный порядок интерференции соответствует центру интерференционной картины. Интерференционная картина имеет одинаковый вид там, где падающие пучки имеют одинаковый угол падения на ИФП (полосы равного наклона). Интерференционная картина наблюдается или на бесконечности, или (что обычно реализуется в эксперименте) в фокальной плоскости линзы.

В реальных измерительных ИФП интерференция возникает между двумя отполированными с высокой точностью ( ~ 0,01) плоскими строго параллельными (с плоскостностью до 0,005) зеркалами с большими коэффициентами отражения (алюминиевые зеркала – ~75%, посеребренные – ~90%, диэлектрические интерференционные – до 99,9%). Интерферометр с показателем преломления между зеркалами n = 1 называется эталоном Фабри–Перо).

Разрешающая способность интерферометра Фабри–Перо.

Пусть на ИФП падают две волны с близкими длинами и +. Каждая из них создает свою интерференционную картину. При достаточно близких длинах волн возникает проблема разрешения (различения) этих двух длин волн по наложенным интерференционным картинам. Разрешающая способность интерферометра характеризуется минимальной разницей в длинах волн, при которой возможно их разрешение:

. (6.37)

Рис. 6.7
В теории ИФП принимается, что условием разрешения является пересечение кривых, описывающих распределение интенсивности от каждой из волн на половине их максимального значения, т.е. где (рис.6.7). Найдем сначала ширину линии на полувысоте из этого условия:
. (6.38)
При большом коэффициенте отражения достаточно мало, так что . Тогда

. (6.39)

Для эталона Фабри–Перо при достаточно больших коэффициентах отражения от пластин получаем значение разрешающей способности:
. (6.40)
Отсюда видно, что с увеличением разрешающая способность ИФП повышается. Также приводит к увеличению разрешающей способности и увеличение расстояния между пластинами h. Но добиться сколь угодно большой разрешающей способности препятствуют ряд факторов.

Факторы, ограничивающие разрешающую способность:

15. 
    Пластины ИФП не могут быть сделаны абсолютно плоскими.
    
16. 
    Необходимо добиться параллельности пластин с той же точностью, что и для их плоскостности.
    
17. 
    Расстояние между пластинами, умноженное на число эффективных отражений, должно быть меньше, чем длина временной когерентности исследуемого света.
    

Дисперсионная область. При увеличении разности длин падающих волн интерференционные кольца разделяются и при некотором значении этой разности полосы соседних порядков перекрываются. Разность длин волн, при которой наступает перекрытие полос соседних порядков интерференции, называется дисперсионной областью (или областью свободной дисперсии) G. Из определения дисперсионной области следует:
. (6.41)

Отсюда получаем:

. (6.42)
Для ИФП при , поэтому дисперсионная область равна:
. (6.43)
Из сравнения формул для разрешающей способности и дисперсионной области видно, что требование повышения обеих этих величин противоречат друг другу. Для повышения разрешающей способности приходится работать на больших порядках интерференции, т.е. там, где мала дисперсионная область.


Рис. 6.8
Сканирующий интерферометр Фабри–Перо. Формула Эйри объясняет принцип действия широко используемого в оптике и лазерной технике спектрального прибора – сканирующего интерферометра Фабри–Перо. Это своеобразный аналог измерителей частотных характеристик электрических сигналов радиодиапазона, основанных на принципе сканирования резонансной частоты колебательной системы – колебательного контура, коаксиального, полоскового или объемного резонатора. Заметим, что разность фаз линейно зависит от расстояния между пластинами. Если зафиксировать угол , то это соответствует помещению некоторого фотоприемника в любую точку экрана (рис.6.8), где видна интерференционная картина. Оптимальное место для этого – центр картины (точка А), т.к. частотная дисперсия в этой точке максимальна. Поэтому конечность размеров фотоприемника минимально ухудшает разрешение ИФП как раз при таком местоположении. Теперь допустим, что одна из пластин ИФП параллельно перемещается вдоль оптической оси системы с постоянной скоростью v, т.е. h=h₀+vt. Тогда пропускание ИФП становится зависимым от времени, повторяя зависимость функции Эйри. Если на ИФП падает монохроматическая волна, то на осциллографе, развертка которого движется синхронно с пластиной, сигнал от ИФП опишет его аппаратную функцию в соответствии с (6.34). При сложном спектре электрический сигнал опишет исследуемый спектр. На практике перемещение пластин осуществляется или изменением давления газа между пластинами ИФП, или креплением одной из пластин на пьезокерамику. Второй способ предпочтительней, т.к. позволяет осуществить сканирование величины электрическим сигналом.

Двухлучевая интерференция, осуществляемая делением амплитуды. Интерферометр Майкельсона. Причины размывания полос интерференции. Интерференция немонохроматического света. Видность интерференционной картины. Принцип Фурье-спектроскопии. Интерферометр Майкельсона с линейными полосами. Другие интерферометры.

Двухлучевая интерференция, осуществляемая делением волнового фронта.

Принцип Гюйгенса. Схема Юнга. Интерференция при белом свете. Источник конечного размера. Временная и пространственная когерентности.

Многолучевая интерференция, осуществляемая делением амплитуды. Интерферометр Фабри-Перо. Разрешающая способность. Факторы, ограничивающие разрешающую способность. Дис­пер­сионная область. Сканирующий интерферометр Фабри-Перо. Интерференционные фильт­ры. Другие интерферометры.

Интерференция в тонких пленках. Полосы равного наклона и равной толщины. Роль размеров источника, толщины пленки и монохроматичности излучения. Кольца Ньютона. Учет многократных отражений. Слои с нулевой и высокой отражательной способностями. Диэлектрические зеркала. Полупрозрачные материалы.