§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а

§ 30. Линейные операции над векторами
Суммой а + b двух векторов а и b называется вектор, который идёт из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора а (правило треугольника). Построение суммы а + b изобра­жено на черт. 42.

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) п р а в и л о м п а р а л л е л о г р а м м а: если векторы а и b приведены



Черт. 42. Черт. 43.

к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма а + b есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала а и b (черт. 43). Отсюда сразу следует, что а + b = b + а.

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. черт. 44, где изображено построение суммы четырёх векторов а, b, с, d).

Разностью а — b двух векторов a и b называется вектор, который в сумме с вектором b составляет вектор а. Если два вектора а и b приведены к об­щему началу, то разность их а — b есть век­тор, идущий из конца b («вычитаемого») к концу а («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются вза­имно обратными: если один из них обозначен символом а, то другой обозначается симво­лом — а. Легко видеть, что а — b = а + (—b). Таким образом, построение разности равно­сильно прибавлению к «уменьшаемому» век­тора, обратного «вычитаемому».

Произведением αа (или также αа) век­тора а на число α называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора а на модуль числа а; он параллелен век­тору а или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор а, если α — число положительное, и противоположно вектору а, если α — число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линей­ными операциями над векторами. Черт. 44.

Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:

1. Проекция суммы векторов на какую—нибудь ось равна сумме их проек­ций на эту же ось:

пр_u (а₁ + а₂ +... + а_n) = пр_u +пр_ва₂ +... + пр_uа_n.

2. При умножении вектора на число его проекция помножается на то же число: пр_u (αа) = α пр _uа.

В частности, если

а = {Х₁,Y_1, Z₁,}, b = {Х₁,Y_1, Z₁,},

то

а + b = {Х₁ + Х₂ Y₁ + Y₂, Z₁ + Z₂,}

и

а — b = {Х₁—Х₂; Y₁—Y₂, Z₁,—Z₂,}.

Если а = {X; Y; Z}, то для любого числа α

αa = {Х; У; Z}.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, назы­ваются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

а = {Х₁,Y_1, Z₁,}, b = {Х₁,Y_1, Z₁,},

является пропорциональность их координат:

.

Тройка векторов i, j, k называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1) вектор i лежит на оси Ох, вектор j — на оси Оу, вектор k — на оси Ог;

2) каждый из векторов i, j, k направлен на своей оси в положительную сторону;

3) векторы i, j, k — единичные, т. е. |i| = 1, . |j| = 1, |k| = 1. Каким бы ни был вектор а, он всегда может быть разложен по базису i, j, k, т. е. может быть представлен в виде:

a = X_i + Y_j + Z_k;

коэффициенты этого разложения являются координатами вектора а (т. е. X, Y, Z суть проекции вектора а на координатные оси).

761. По данным векторам а и b построить каждый из следую­щих векторов: 1) а + b; 2) а — b; 3) b — а; 4) —а — b.

762. Даны: |а| = 13, |b| = 19 и |а + b| = 24. Вычислить |а — b|.

763. Даны: |а| = 11, |b| = 23 и |а + b| = 30. Определить |а + b|.

764. Векторы а и b взаимно перпендикулярны, причём |а| = 5 и |b| = 12. Определить |a + b| и |а — b |.

765. Векторы а и b образуют угол φ = 60°, причём |а| = 5 и |b| = 8. Определить |а + b| и |а — b|.

766. Векторы а и b образуют угол φ=120°, причём |а| = 3 и |b| = 5. Определить |а + b| и |а — b|.

767. Какому условию должны удовлетворять векторы а и b, чтобы имели место следующие соотношения: 1) |а + b| = |а — b|, 2) |а + b| >|а — b|, 3) |а + b| <|а — b|.

768. Какому условию должны удовлетворять векторы а и b, чтобы вектор а + b делил пополам угол между векторами а и b.

769. По данным векторам а и b построить каждый из следую­щих векторов: 1) 3а; 2) —b; 3) 2а + b; 4) а — 3b.

770. В треугольнике ABC вектор и вектор Построить каждый из следующих векторов: 1) , 2) 3) , 4) -. Принимая в качестве масштабной единицы , построить также векторы: 5) m +n , 6) m -n .

771. Точка О является центром тяжести треугольника ABC. Доказать, что

772. В правильном пятиугольнике ABCDE заданы векторы, совпа­дающие с его сторонами: Построить векторы: 1) m — n + р — q + r; 2) m + 2p + 1/2у r; 3) 2m+ 1/2n — 3р — q + 2r.

773. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' (черт. 45) заданы векторы, совпадающие с его рёбрами: , и . Построить каждый из следующих векторов: 1) m + n + р; 2) m + n + 1/2р; 3) 1/2m —1/2 n +р; 4) m + n - р; 5) —m —n +1/2 р.

774. Три силы М, N и Р, приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей R, если известно, что =2 кГ, = 10 кГ и =11 кГ.

775. Даны два вектора а = {3;—2; 6} и b = {—2; 1; 0}. Определить проекции на координатные оси следующих векторов: 1) а + b; 2) а — b; 3) 2а; 4) —b; 5) 2а + 3b; 6) a — b.

776. Проверить коллинеарность векторов а ={2;—1; 3} и b = {— 6; 3; —9}. Уста­новить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны.

777. Определить, при каких значениях α, β, векторы а = — 2i + 3j + βk и b = α i — 6j + 2k коллинеарны.

778. Проверить, что четыре точки А (3; —1; 2), В(1; 2; —1), С(—1; 1; —3), D (3; —5; 3) служат вершинами трапеции.

779. Даны точки А (—1; 5; —10), В(5; —7;_8), С (2; 2; —7) и D (5; — 4; 2). Проверить, что векторы и коллинеарны; установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны.

780. Найти орт вектора а = {6; —2; —3}.

781. Найти орт вектора а = {3; 4; —12}.

782. Определить модули суммы и разности векторов а = {3; —5; 8} и b = {—1; 1; —4}.

783. Дано разложение вектора с по базису i, j, k: с =16i — 15j+ 12k. Определить разложение по этому же базису вектора d, параллельного вектору с и противоположного с ним направления, при условии, что .

784. Два вектора а = {2; — 3; 6} и b = { — 1; 2; —2} прило­жены к одной точке. Определить координаты вектора с, направлен­ного по биссектрисе угла между векторами а и b, при условии, что .

785. Векторы = {2; 6; —4} и ={4; 2; —2} совпадают со сторонами треугольника ABC. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медиа­нами AM, BN, СР.

786 *). Доказать, что если p и q — какие угодно неколлинеарные векторы, то всякий вектор, лежащий в их плоскости, может быть представлен в виде: .Доказать, что числа и векторами а, р и q определяют-ся однозначно. (Представление вектора а в виде называется разложением его по базису р,

Черт. 46. q; числа и называются коэффициентами этого разложения.)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Приведём векторы а, р и q к общему началу, которое обозна­чим буквой О (черт. 46). Конец вектора а обозначим буквой А. Через точку А проведём прямую, параллельную вектору q. Точку пересечения этой пря­мой с линией действия вектора p, обозначим через А_р. Аналогично, про­водя через точку А прямую, параллельную вектору р, получим в пересече­нии с линией действия вектора q точку A_q.

По правилу параллелограмма получим:

(1)

Так как векторы и р лежат на одной прямой, то вектор может быть получен умножением вектора р на некоторое число :

, (2)

Аналогично

. (3)

Из равенств (1), (2) и (3) получаем: . Тем самым возмож­ность требуемого разложения доказана. Остаётся доказать, что коэффициенты и этого разложения определяются однозначно.

Предположим, что вектор а имеет два разложения:

, ,

и, например, . Вычитая почленно одно из другого, получаем: или

Но это равенство означает коллинеарность векторов р и q, которые, однако, по условию являются неколлинеарными. Следовательно, неравенство , невозможно. Аналогично доказывается, что невозможно неравенство . Таким образом, , , т. е. двух различных разложений один и тот же вектор иметь не может.

*) Задачи 786 и 792 существенны для правильного понимания остальных задач. Решение первой из них здесь приводится полностью.

787. На плоскости даны два вектора р = {2; —3}, q = {1; 2}. Найти разложение вектора а = {9; 4} по базису р, q.

788. На плоскости даны три вектора а = {3;—2}, b ={—2; 1} и с = {7; —4}. Определить разложение каждого из этих трёх векторов, принимая в качестве базиса два других.

789. Даны три вектора а = {3; —1}, b = {1; — 2},с = {— 1; 7}. Определить разложение вектора р = а + b + с по базису а, b.

790. Принимая в качестве базиса векторы = b и = с, совпадающие со сторонами треугольника ABC, определить разло­жение векторов, приложенных в вершинах треугольника и совпа­дающих с его медианами.

791. На плоскости даны четыре точки А (1; —2), B (2; I), C (3; 2) и D (— 2; 3). Определить разложение векторов , , и , принимая в качестве базиса векторы и .

792. Доказать, что если р, q и r — какие угодно некомпланарные векторы *), то всякий вектор а пространства может быть пред­ставлен в виде:

.

Доказать, что числа , , векторами а, р, q и r определяются однозначно. (Представление вектора а в виде называется разложением его по базису р, q, r. Числа , и называются коэффициентами этого разложения.)

*) Три вектора называются некомпланарными, если после приведения к общему началу они не лежат в одной плоскости.

793. Даны три вектора р = {3; —2; 1}, q = { — 1; 1; —2}, r = {2; 1; —3}. Найти разложение вектора с = {11; —Q; 5} по базису р, q, r.

794. Даны четыре вектора а = {2; 1; 0}, b = {1; —1; 2}, с ={2; 2; —1} и d ={3; 7; —7}. Определить разложение каж­дого из этих четырёх векторов, принимая в качестве базиса три остальных.