§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения

§ 9. Понятие уравнения линии.

Задание линии при помощи уравнения

Равенство вида F(x, y) = 0 называется уравнением с двумя переменными x, у, если оно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Говорят, что два числа x = x₀, у=у_0, удовлетворяют некоторому уравнению вида F(х, у)=0, если при подстановке этих чисел вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(х, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия F (х, у) = 0.

Если даны уравнения двух линий F (х, у) = 0 и Ф(х, y) = Q, то совме­стное решение системы



даёт все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся сов­местным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.

*) В тех случаях, когда система координат не названа, подразумевается, что она — декартова прямоугольная.
157. Даны точки *) M₁(2; — 2), M ₂(2; 2), M ₃(2; — 1), M ₄(3; —3), M₅(5; —5), M₆(3; —2). Установить, какие изданных точек лежат на линии, определённой уравнением х + у = 0, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить её на чертеже.)

158. На линии, определённой уравнением х²+y² =25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: а) 0, б) — 3, в) 5, г) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: д) 3, е) — 5, ж) — 8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить её на чертеже.)

159. Установить, какие линии определяются следующими уравне­ниями (построить их на чертеже):

1) х — у = 0; 2) х + у = 0; 3) x — 2 = 0; 4) x + 3 = 0;

5) у — 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x² — xy = 0; 10) xy + y² = 0; 11) x² — y² = 0; 12) xy = 0;

13) y² — 9 = 0; 14) xy² — 8 xy +15 = 0; 15) y²+5y+4 = 0;

16) х²у — 7ху + 10y = 0; 17) у = |x|; 18) х = |у |; 19) y + |x|=0;

20) х + |у |= 0; 21) у = |х— 1|; 22) y = |x + 2|; 23) х² + у² = 16;

24) (x—2)²+(y—1)²=16; 25) (x + 5)²+(y—1)² = 9;

26) (х — 1)² + y² = 4; 27) x² +(y + 3)² = 1; 28) (x —3)² + y² = 0;

29) х² + 2y² = 0; 30) 2 х² + 3y² + 5 = 0

31) ( x— 2)² + (y + 3)² + 1=0.
160. Даны линии:

1) х + у = 0; 2) х — у = 0; 3) x² + y² — 36 = 0;
4) x²+y ²—2x==0; 5) x²+y ²+ 4x—6y—1 =0.

Определить, какие из них проходят через начало координат.

161. Даны линии:

1) x² + y ² = 49; 2) (x — 3)² + (y + 4)² = 25;

3) (x + 6)² + (y — 3)² = 25; 4) (x + 5)² + (y — 4)² = 9;

5) x² + y²— 12х + 16у = 0; 6) x² + y² — 2х + 8у + 7 = 0;

7) x² + y² — 6х + 4у +12 = 0.

Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.

162. Найти точки пересечения двух линий;

1) х²+у² = 8, х—у = 0;

2) х²+у²—16x+4у+18 = 0, х + у = 0;

3) х²+у²—2x+4у —3 = 0, х²+ у² = 25;

4) х²+у² —8x+10у+40 = 0, х²+ у² = 4.

163. В полярной системе координат даны точки

М₁(1; ), М₂(2; 0), М₃(2; )

М₄(; ) и М₅(1; )

Установить, какие из этих точек лежат на линии, определённой уравнением в полярных координатах  = 2 cos , и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить её на чертеже:)

164. На линии, определённой уравнением  = , найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а) ,б) —, в) 0, г) . Какая линия определена данным уравнением?

(Построить её на чертеже.)

165. На линии, определённой уравнением  = , найти точки,полярные радиусы которых равны следующим числам: а) 1, б) 2,в) . Какая линия определена данным уравнением? (Построить её на чертеже.)

166. Установить, какие линии определяются в полярных коор­динатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 9) sin  =

167. Построить на чертеже следующие спирали Архимеда:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)р = -1.

168. Построить на чертеже следующие гиперболические спирали:

1)  = ; 2)  = ; 3)  = ; 4)  = —.

169. Построить на чертеже следующие логарифмические спирали:

, .

170. Определить длины отрезков, на которые рассекает спиральАрхимеда

луч, выходящий из полюса и наклонённый к полярной оси под углом . Сделать чертёж.

171. На спирали Архимедавзята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С, Сделать чертёж.

172. На гиперболической спиралинайти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертёж.

173. На логарифмической спиралинайти точку Q, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертёж.