+ x + Это упражнение 25 на стр. 248

В учебнике М.И. Башмакова «Алгебра» 7 класс есть упражнение, в котором предлагается разложить на 2 множители трехчлен, если известно, что один из множителей равен x² + x + 1. Это упражнение 6.25 на стр.248.

Понятно, что имеется несколько способов разложение многочленов на множители и в данном случае, когда известен один из них, самый простой способ – это деление данного трехчлена на известный множитель.

Предлагаем вам решение этого задания также известным способом, который основывается на следующих соображениях: если два многочлена равны, то коэффициенты у слагаемых одинаковой степени равны.

Итак, например, нужно разложить на множители трехчлен под цифрой 3 из этого упражнения : x⁵ +x⁴ + 1. Один из множителей равен x² + x + 1.

Рассуждаем следующим образом. Если данный трехчлен раскладывается на два множителя, один из них известен, то его можно представить в виде:

x⁵ +x⁴ + 1 = (x² + x + 1)(x³ +ax² +bx + c) = x³(x² + x + 1) + ax²(x² + x + 1) + bx(x² + x + 1) + c(x² + x + 1).

Приравниваем коэффициенты слагаемых, стоящих в правой и левой части равенства при одинаковых степенях и из получаемых равенств находим значение a, b,c.

Слагаемые, содержащие x⁴: слева коэффициент равен 1, в правой части коэффициент у такого слагаемого равен 1 + a. Получаем равенство 1 = a + 1, откуда a = 0.

Рассматривая слагаемые, содержащие х³ в левой и в правой части получим равенство:

0 = 1 + а + в. Зная, что а = 0, получим в = -1.

Для х² получаем равенство: 0 = а + в + с. Откуда с = 1.

Для х¹ получаем равенство 0 = в + с, что не противоречит найденным ранее значениям букв а и в.

Приравнивая свободные коэффициенты в левой и правой части получим 1 = с.

Ответ. x⁵ +x⁴ + 1 = (x² + x + 1)(x³  - x + 1) .

Предлагаем выполнить таким способом другие примеры из этого номера:

1).х⁴ + х² + 1; 5).х⁸ + х + 1;

2).х⁵ + х + 1; 6).х¹⁰ + х² + 1.

4).х⁷ + х² + 1;

Еще раз напоминаем задание: разложить трехчлен на два множителя, один из которых равен x² + x + 1.