Адаптивная коррекция сигналов на основе методов решения некорректных задач

Обработка сигналов в системах телекоммуникаций

АДАПТИВНАЯ КОРРЕКЦИЯ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ

Егоров В.В., Мингалёв А.Н.

ОАО “Российский институт мощного радиостроения”

В работе рассматриваются алгоритмы адаптивной коррекции сигналов во временной и частотной областях с применением методов обратного моделирования.

Передаче данных должен предшествовать период установления связи, в течение которого осуществляется автоматическая настройка корректирующего фильтра. В период настройки передаётся тестовый сигнал, а в приёмнике генерируется синхронизированный вариант этого сигнала. Настроечные последовательности имеют равномерный спектр и автокорреляционные функции с максимальным значением при нулевом временном сдвиге и близким к нулю при других сдвигах, например, псевдослучайные последовательности. По сигналу на выходе канала и по известному настроечному сигналу можно определить импульсную характеристику корректирующего фильтра.

В большинстве практических случаев процесс адаптации направлен на минимизацию среднеквадратического значения или средней мощности сигнала ошибки и осуществляется чаще всего либо методом наименьших квадратов, либо градиентным методом. Недостатком этих методов является необходимость усреднения квадрата сигнала ошибки за некоторый период времени, поэтому на практике чаще всего применяется метод наименьших квадратов, в котором вместо градиента функции используется его несмещённая оценка. Если не приводится усреднение, то компоненты градиента обязательно содержат большую составляющую шума. На практике часто возникают ситуации, когда эти методы не позволяют реализовать обработку сигнала с требуемой точностью. Поэтому приобретает интерес концепция адаптивной коррекции, основанная не на прямом вычислении импульсной характеристики корректирующего фильтра, а на идентификации канала связи.

Задача отыскания импульсной характеристики канала осложняется тем, что идентификация системы по известному переданному сигналу и сигналу на выходе (т.е. решение интегрального уравнения первого рода) относится к классу так называемых некорректных задач, поскольку уравнения этого класса являются неустойчивыми к малым возмущениям правой части [5].

Особый интерес представляет поиск решения на классах функций, z-преобразование которых не имеет полюсов вне единичной окружности, потому что такое решение можно реализовать в виде рекурсивного фильтра. То есть возникает задача нахождения приближённого решения в заранее заданном классе функций, имеющих обобщенные производные первого порядка, интегрируемые с квадратом на области определения.

Уравнение для идентификации канала имеет вид: где – конечный промежуток интегрирования, в котором ядро K(x,s)= K(x-s) непрерывно по совокупности переменных (x,s) в замкнутой области , - искомая импульсная характеристика, - зашумлённый выходной сигнал.

Приближённое решение ищется в классе функций, для которых среднеквадратичное отклонение не превосходит наперёд заданной величины, т.е. в множестве возможных решений уравнения, сопоставимых по точности с исходными данными.

Разобьем промежуток [a,b] на n равных частей: .

Тогда уравнение примет вид , где , .

Систему уравнений относительно вектора z с компонентами можно записать в виде , где g – вектор с компонентами , а - симметричная матрица вида



Задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Полученная матрица вещественна, симметрична и положительно определена [2], поэтому для её решения можно применить экономичный метод квадратного корня. Таким образом, решена задача нахождения импульсной характеристики канала. Полученное решение зависит от параметра регуляризации .

Затем решается задача нахождения импульсной характеристики корректирующего устройства, исходя из условия , где – неизвестная импульсная характеристика корректирующего фильтра, её длина полагается равной длине импульсной характеристики канала, – цифровая функция Дирака.

После определения импульсных характеристик канала связи и корректирующего фильтра исходя из условия , возникает вопрос об определении структуры фильтра, т.е. количестве нулей и полюсов передаточной функции и, следовательно, количестве коэффициентов фильтра, а также расчёта значений коэффициентов передаточной функции исходя из определённой структуры и заданной импульсной характеристики.

Для начала определимся с общим видом фильтра. Передаточная функция многолучёвого канала связи может быть представлена в виде: H₁(z) = b₀ + b₁z^-1 + b₂z^-2 + … + b_mz^-m, где b₀, b₁, b₂, …b_m – отсчёты импульсной характеристики канала. Тогда передаточная функция корректора будет иметь вид: . Поэтому в дальнейшем решение будем искать именно в виде всеполюсного фильтра. Лучше всего для решения такой задачи подходят следующие алгоритмы: метод линейного предсказания и метод Прони.

Метод линейного предсказания предполагает, что каждый отсчёт сигнала является линейной комбинацией предыдущих отсчётов сигнала [3], и, следовательно, значения сигнала могут быть предсказаны на основании уже известных значений. Этот метод находит коэффициенты, минимизирующие среднеквадратичную ошибку предсказания, следующим образом: сначала вычисляется автокорреляционная функция заданной ИХ, а затем из вычисленной автокорреляционной последовательности формируется тёплицева матрица системы уравнений, решаемой методом Левинсона - Дурбина. Рекурсия Левинсона - Дурбина является быстрым методом решения систем симметричных тёплицевых уравнений [3].

Метод Прони является разновидностью авторегрессионной модели случайного процесса со скользящим средним, и позволяет по заданной импульсной характеристике и определённому количеству нулей и полюсов определить передаточную функцию фильтра. Этот метод использует ковариационный метод авторегрессионого моделирования для нахождения коэффициентов знаменателя передаточной функции, после чего коэффициенты числителя подбираются таким образом, чтобы импульсная характеристика фильтра равнялась заданной характеристике [3].

Из [4] известно, что в случаях, когда количество отсчётов импульсной характеристике сравнимо по порядку с количеством отсчётов наблюдаемого сигнала наиболее эффективным способом нахождения импульсной характеристики является обработка сигнала в частотной области. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть алгоритм адаптивной коррекции с применением обратного моделирования в частотной области.

Алгоритмы обработки сигнала в частотной области предусматривают последовательное выполнение следующих процедур: синтез передаточной функции восстанавливающего фильтра согласно расчётным формулам используемого метода восстановления (инверсная фильтрация, регуляризация по методу решения по методу А.Н. Тихонова), вычисление преобразования Фурье от наблюдаемой функции, умножение спектра наблюдаемой функции на передаточную функцию восстанавливающего фильтра, вычисление обратного преобразования Фурье от восстановленного спектра сигнала [4]. При использовании метода регуляризации А. Н. Тихонова в задаче восстановления сигналов, уравнение системы приводится к уравнению типа свертки [2] . Импульсная характеристика которой находится с помощью спектральных методов, а оценка переданного сигнала определяется с помощью преобразования Фурье: , где и - спектральные плотности наблюдаемого сигнала и ИХ канала, соответственно.

Если не ограничивать полосу частот инверсного фильтра, то при стремлении частоты к граничной частоте, функция стремится к бесконечности, если в спектральной функции имеются нули. Это приводит к бесконечному усилению помехи и, как следствие, возникает неустойчивость решения [4].

Можно регулировать степень приближения к точному восстановлению умножением в подынтегральном выражении на некоторую функцию К(ω,α), достаточно быстро убывающую при увеличении ω, такую, что интеграл не расходится при стремлении частоты к граничному значению. Умножение передаточной функции инверсного фильтра на соответствует отысканию «сглаженного» решения [4].

Как правило, регуляризующий множитель имеет вид [2]: ,
где - спектральная плотность мощности ИХ системы, α – параметр регуляризации, а - заданная неотрицательная четная функция, кусочно-непрерывная на любом конечном отрезке оси частот. Наиболее часто используется .

Однако в нашем случае удобнее чтобы в используемой полосе частот была равна некоторой константе. Снять противоречие с условиями, изложенными в [2] можно, положив , где α имеет такой порядок малости, что в заданной полосе частот , и, следовательно, и . В дальнейшем эту константу будем обозначать как alpha2.

Тогда можно записать регуляризующий множитель в виде , тогда выражение для выходного сигнала запишется следующим образом:

Результаты вычислительного эксперимента показали, что порядок корректирующего фильтра не должен превышать 7, а оптимальный выбор параметров и позволяет снизить вероятность ошибки до значений, близких к потенциально достижимым.

Коррекция сигналов в частотной области требует для реализации незначительных вычислительных затрат, поскольку для вычисления прямого и обратного преобразований Фурье могут быть использованы быстрые алгоритмы, что позволяет осуществлять адаптивную коррекцию сигналов в реальном масштабе времени.

Литература

1. 
   Б. Уидроу, С. Стирнз Адаптивная обработка сигналов. М.: "Радио и связь", 1989
   
2. 
   А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач, М.: "Наука", 1979.
   
3. 
   С.Л. Марпл мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990
   
4. 
   Г. И. Василенко Теория восстановления сигналов М.: "Советское радио", 1979
   

ADAPTIVE Signal CORRECTION by means of ill-conditioned problem solution methods

Egorov V., Mingalev A.

“Russian Institute for Power Radiobuilding” JSC

In this paper, the method is proposed to determine the channel impulse response by means of ill-conditioned problem solution methods.

There are two approaches to adaptive correction filter construction problem. The first of them represents the minimization of root-mean-square value or error signal mean power.

In practice, a situation usually arises when nonrecursive nature of adaptive filter can lead to great computation amounts. The direct advantage of feedback filter compared with finite-duration impulse-response filter type is substantial reducing of computation amount. However the feedback availability makes the filter stability problematic enough. Therefore, the adaptive correction concept based on preliminary link identification assumes an interest. This approach represents the link impulse response finding. The task of link impulse response finding is complicated by the fact that the system identification by known transmitted signal and output signal is relevant to so-called incorrect task class, because the response to test signal is observed on noise background, which does not permit to decide directly the integral equation to determine a link impulse response. Amongst known methods of deciding the incorrect tasks, the frequency method that allows to determine the link impulse response and correction filter impulse response in single (common) computational scheme is represented as prospective one. The complication of using this method is the fact that the input signal spectrum samples may be close to zero, which may result in unstable found decision. The incorrect task decision methods based on employing of smoothing functionals are also used to solve this problem.

The simulation modeling results show that the correction filter synthesis algorithms based on incorrect task decision methods in frequency domain give better noise-immunity indices compared with the methods based on direct computation of correction filter impulse response. In addition, the correction in frequency domain requires lesser computation amount because the FFT algorithms can be used for spectrum conversions. All mentioned operations can be real-time implemented on up-to-date signal processors.



ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАСШИРЕНИЯ СТАНДАРТА H.264/AVC ДЛЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭНЕРГОПОТРЕБЛЕНИЯ ПРИЕМНЫХ МОБИЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ В СИСТЕМАХ ЦИФРОВОГО ТЕЛЕВИЗИОННОГО ВЕЩАНИЯ
Беляев Е.А., Гринко В.Г., Уханова А.С.
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Одной из приоритетных задач в системах цифрового телевизионного вещания является задача усовершенствования методов передачи видеоинформации, направленных на минимизацию энергопотребления приемных мобильных устройств. В европейской системе цифрового телевизионного вещания DVB-H минимизация энергопотребления достигается следующим образом [1]. Мобильное устройство в течение интервала времени (burst time) принимает пакет видеоданных объемом бит, после чего в течение интервала времени (off-time) находится в «спящем» режиме. При таком подходе приемное устройство большую часть времени находится в «спящем» режиме, за счет чего и достигается энергосбережение.

Обозначим скорость кодирования источника видеоинформации за (кбит/c), а скорость передачи в канале связи за . Тогда в соответствии со стандартом DVB-H [2] степень энергосбережения (power saving) определяется следующим образом: (1), где - время синхронизации, - величина джиттера.

В описанном подходе принимающее устройство не имеет возможности изменять величины входящие в (1). Поэтому степень энергосбережения и визуальное качество изображения для всех устройств, принимающих один и тот же видеоканал, является фиксированной величиной, что не всегда удобно для пользователя.

В связи с этим возникает задача разработки алгоритмов, которые позволяют регулировать уровень энергопотребления в зависимости, например, от текущей степени заряженности батареи принимающего устройства или от желаемого визуального качества принимаемого видеосигнала.

В настоящей работе предлагается решение поставленной задачи на основе использования расширения стандарта H.264/AVC [3,4] (Scalable Video Coding Extension of the H.264/AVC Standard). В соответствии с данным расширением кодер видеоинформации формирует иерархический поток видеоданных. Каждый уровень иерархии потока характеризуется своим соотношением скорости кодирования и визуального качества. При этом для декодирования уровня иерархии с номером необходимо декодировать уровни иерархии .

Существуют следующие способы формирования потока видеоданных, обладающего описанными выше свойствами:

1. Повышение кадровой скорости от уровня к уровню (temporal scalability).

2. Повышение кадрового разрешения от уровня к уровню (spatial scalability).

3. Повышение отношения сигнал/шум от уровня к уровню (SNR scalability).

4. Гибридный способ формирования (hybrid scalability).

Первый способ формирования заключается в отбрасывании части кадров из передаваемого потока видеоданных. В стандарте H.264/AVC кадры подразделяются на три основных типа: I-кадры, P-кадры и B-кадры. I кадры кодируются независимо от остальных кадров. При кодировании P-кадров используются предыдущие в порядке воспроизведения восстановленные I и P-кадры. При кодировании B-кадров, как правило, используются предыдущие и следующие в порядке воспроизведения восстановленные I и P-кадры. Типичная последовательность типов кадров выглядит как IBBPBBPBBP…. Для уменьшения кадровой скорости можно отбросить некоторые B-кадры, так как при этом сохранится возможность декодировать остальные кадры. В этом случае уровень иерархии потока видеоданных с номером выглядит как I_ _P_ _P_ _P…, где «_» означает, что соответствующий кадр отброшен. Уровень иерархии выглядит как IB_P_ _PB _P… и так далее до IBBPBBPBBP.

При втором способе исходные кадры уменьшается, например, в четыре и восемь раз. Уровень иерархии с номером формируется путем кодирования уменьшенных в восемь раз кадров как определено в основной части стандарта H.264/AVC. При формировании уровня иерархии с номером кодируются уменьшенные в четыре раза кадры с использованием восстановленных кадров из уровня с номером . Аналогичным образом формируется уровень иерархии с номером .

При третьем способе формирования иерархического потока видеоданных для каждого уровня иерархии используются различные значения шага квантования. Например, для формирования уровня иерархии с номером используется номер шага квантования QP=36. При формировании уровня иерархии с номером исходные кадры кодируются с использованием восстановленных кадров из уровня с номером и номера шага квантования QP=30. 

При гибридном способе используется более одного из вышеописанных способов формирования.

Таким образом, при широковещательной передаче иерархического потока видеоданных каждое мобильное устройство может принимать один и тот же телеканал на нескольких скоростях кодирования.

Рис. 1 Сравнение режимов кодирования стандарта H.264/AVC для тестовой видеопоследовательности «foreman»

Рис. 2 Соотношение степени энергосбережения и качества принимаемого видеосигнала при кбит/c для тестовой видеопоследовательности «foreman»

Следует отметить, что соотношение скорости кодирования и качества восстановленного видеосигнала для каждого уровня иерархии оказывается несколько хуже (см. рис 1) чем при использовании только основной части стандарта H.264/AVC (Single-layer mode). Однако при передаче иерархического потока видеоданных по каналу связи с ошибками может быть более эффективно использовано неравномерное помехоустойчивое кодирование данных, в результате чего качество принимаемого видеосигнала будет лучше, чем при передаче потока видеоданных сформированного при использовании основной части стандарта.

Для получения практических результатов был использован открытый JSVM кодек [5], версии 9.15, который поддерживает расширение стандарта H.264/AVC. В приведенном на рис. 2 примере прием видеосигнала может осуществляться на скоростях кодирования =120, 190, 330 и 640 кбит/c соответственно. В случае необходимости экономии ресурса батареи мобильного устройства может быть выбран режим приема со степенью энергосбережения 95% и качеством приема видеосигнала 29 дБ. Если необходимости в экономии ресурса батареи нет, то может быть выбран режим приема со степенью энергосбережения 70% и качеством приема видеосигнала 38 дБ.

Таким образом, предложенный подход позволяет обеспечить для каждого пользователя необходимое соотношение между уровнем энергопотребления и качеством принимаемого видеосигнала.
Работа выполнена при поддержке Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере.

Литература

1. G. Faria, J. A. Henriksson, E. Stare, and P. Talmola, DVB-H: digital broadcast services to handheld devices // Proceedings of IEEE, vol. 94, no. 1, pp. 194-209, 2006.

2. ETSI EN 302 304 v1.1.1: “Digital Video Broadcasting (DVB): Transmission System for Handheld Terminals (DVB-H)”, European Telecommunication Standard, 2004.

3. Advanced video coding for generic audiovisual services. ITU-T Recommendation H.264 and ISO/IEC 14496-10 (AVC), 2007.

4. H. Schwarz, D.Marpe, and T.Wiegand, Overview of the Scalable Video Coding Extension of the H.264 / AVC Standard // IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video Technology, vol. 17, No. 9, pp. 1103-1120, 2007.

5. JSVM 9.15 Software Package, CVS server for the JSVM software.
THE UTILIZATION OF THE SCALABLE EXTENSION OF H.264/AVC STANRARD FOR THE CONTROL OVER THE POWER CONSUMPTION OF THE MOBILE RECEIVERS IN THE SYSTEMS OF DIGITAL VIDEO BRADCASTING

Belyaev E., Grinko V., Ukhanova A.
Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation
This paper discusses the utilization of scalable extension of H.264/AVC Standard in digital video broadcasting for handheld devices. In this area the problem of mobile receiver power consumption is critically important. This paper develops the well-known idea of the time-slicing and allows the receiver to control the trade-off between video quality and power saving in the receiver depending on the priorities.



вероятность ошибки передачи информации в беспроводных системах связи с антенными решетками

Лысяков Д.Н.

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Перспективные системы сотовой связи и беспроводного Интернета должны обеспечивать значительное увеличение скорости передачи информации при высоком качестве обслуживания абонентов (низкой вероятности ошибки). Эти цели необходимо достигнуть в сложных условиях многолучевого пространственного канала, в котором возможны глубокие замирания (фединги) сигналов, а также при жестких ограничениях на частотную полосу и мощность передающих устройств.

Наиболее эффективным является использование систем связи с разнесенными передающими и приемными антеннами (так называемые MIMO-системы), в которых на приемном конце линии производится оценка канальной матрицы H, и затем эта матрица становится известной передатчику (MIMO-системы с обратной связью) [1-4]. Знание матрицы H позволяет адаптивным способом формировать независимые параллельные пространственные подканалы для передачи и приема информации. Коэффициент усиления i-го подканала равен собственному числу _i матрицы HH^H или H^HH, где (.)^H знак эрмитового сопряжения. Поэтому для нахождения вероятности битовой ошибки в MIMO-системе необходимо знать плотности вероятности ранжированных собственных чисел _i. Соответствующие выражения в общем случае произвольной конфигурации системы (числа M передающих и N приемных антенн) являются неизвестными. В [5,6] получены плотности вероятности собственных чисел _i в условиях релеевских замираний сигналов для трех конфигураций: 1) M=2, N=2; 2) M=3, N=2; 3) M=4, N=2.

В настоящей работе результаты [5,6] для плотности вероятности собственных чисел канальной матрицы обобщены на MIMO-системы с конфигурациями M2 и 2N. Затем на основе сделанного обобщения получены точные аналитические выражения для вероятности битовой ошибки в собственных подканалах таких MIMO-систем.

Рассмотрим MIMO-систему, состоящую из M передающих и N приемных антенн, и предположим, что многолучевой пространственный канал является частотно неселективным. Вероятность битовой ошибки (bit error rate) BER_i в i-ом собственном подканале такой системы зависит только от статистических свойств выходного ОСШ , где _i=ρ_k/P₀ – относительная часть полной мощности P₀, распределяемой в этот подканал, . При равномерном распределении мощности между подканалами _i=1/K, где K – число параллельных потоков равное минимальному числу передающих или приемных антенн, то есть K=min{M, N}. Далее будем считать распределение мощности между подканалами произвольным, но не зависящим от собственных чисел _i. Тогда плотность вероятности ОСШ _i зависит только от плотности вероятности собственного числа _i.

Обозначим f_i() - плотность вероятности ОСШ _i. Тогда вероятность битовой ошибки BER_i можно найти с помощью следующего интеграла: , (1), где BER₀ - вероятность ошибки в гауссовском шумовом канале без замираний сигналов.

Выражения для плотности вероятности известны только в частном случае, когда число передающих антенн M=2, 3 или 4, а число приемных антенн N=2. При этом имеется только два собственных числа ₁ и ₂.

Найдем плотности вероятности в случае произвольного числа M передающих и двух приемных антенн (N=2). С этой целью воспользуемся результатами работы [8], в которой найдены интегральные функции распределения максимального и минимального собственных чисел выборочной корреляционной матрицы собственных шумов в N-элементной адаптивной антенной решетке. Как известно [9], ij-ый элемент матрицы равен , (2), где x_iq – q-ая выборка шума в i-ой антенне, Q – число выборочных векторов.

Нетрудно получить, что ij-ый элемент (KK)-размерной матрицы HH^H равен . (3)

В случае релеевского некоррелированного канала на каждую приемную антенну приходит достаточно большое число рассеянных (переотраженных) сигналов. Поэтому реальные и мнимые части коэффициентов передачи h_ip являются случайными гауссовскими величинами с нулевым средним. Дисперсию флуктуаций коэффициентов h_iq без ограничения общности будем считать равной единице (<|h_iq|²>=1). Следовательно, статистические свойства матриц и HH^H совпадают, если считать дисперсию шумов при оценке матрицы в (2) единичной, а число выборок в (2) заменить числом передающих антенн M.

В случае MIMO-системы с конфигурацией (M2) имеем следующие выражения для интегральных функций распределения ранжированных собственных чисел ₁ и ₂ (₁>₂):

, (4)

(5),

где – гамма-функция и – неполная гамма-функция.

Найдем плотности вероятности и собственных чисел ₁ и ₂ путем дифференцирования интегральных функций распределения (4) и (5). При этом учтем, что производная от неполной гамма-функции равна , а ее разложение в ряд при целых n имеет вид:

(6)

Выделяя слагаемые с разными показателями экспонент, получим, что

, (7)

. (8)

Выражения (7) и (8) при M=2,3,4 совпадают с известными результатами, приведенными в [5,6]. Далее получим точные выражения для вероятности ошибки в случае наиболее часто используемых фазовых модуляций.

Входящая в (1) вероятность битовой ошибки BER₀ в гауссовском шумовом канале равна [11]

, , (9),

где =2 и =1 для бинарной и квадратурной фазовых модуляций, соответственно.

ОСШ в i-ом собственном подканале . Учитывая нормировку плотности вероятности и вводя в параметр , формулу (1) представим в виде . (10)

Подставляя сюда выражения (7)-(8) и производя необходимые вычисления в итоге для вероятности битовой ошибки в сильном (первом) и слабом (втором) собственных каналах MIMO-системы с произвольным числом M передающих антенн будем иметь

, (11)

, (12)

где коэффициенты _k и _mk равны

, (13)

. (14)

Представляют интерес асимптотики кривых для BER в области больших ОСШ (>>1). В случае, когда M=2, 3 или 4, будем иметь, что

, (15), , (16),

, (17), где верхние индексы BER^(MN) показывают конфигурацию MIMO-системы.

Отсюда следует, что вероятность битовой ошибки в первом собственном подканале , то есть обратно пропорциональна ОСШ в степени равной произведению MN числа антенн или числу некоррелированных коэффициентов передачи (ветвей разнесения). Вероятность битовой ошибки во втором собственном подканале , то есть уменьшается с ростом ОСШ значительно медленнее.

На рис. 1 показана вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в сильном и слабом собственных подканалах MIMO-системы с разным числом передающих антенн (M=2, 4 и 8) и двух (N=2) приемных антеннах для релеевских некоррелированных замираний сигналов. Кривые соответствуют теоретическим формулам (11)-(12), а кружочки – результатам моделирования, полученным на основе метода Монте-Карло. Из рисунка видно, что аналитические результаты совпадают с численными.

Таким образом, в настоящей работе найдены плотности вероятности собственных чисел канальной матрицы в MIMO-системах с конфигурациями (M2) и (2N) для многолучевого пространственного канала с некоррелированными релеевскими замираниями сигналов. На основе этих плотностей вероятности получены точные аналитические выражения для вероятности битовой ошибки в собственных подканалах MIMO-систем.



Рис 1

Литература

1. 
   Space-Time Processing for MIMO Communications. Editors A.B. Gershman and N.D. Sidoropoulos. Wiley&Sons;, 2005. 370 p.
   
2. 
   A. Paylraj, R. Nabar and D. Gore, Introduction to Space-Time Wireless Communications. Cambridge University Press, 2003.
   
3. 
   M. Jankiraman. Space-Time Codes and MIMO Systems. Artech House, Inc., 2004.
   
4. 
   Ермолаев В.Т., Мальцев А.А., Флаксман А.Г. и др. Применение адаптивных антенных решеток для повышения скорости передачи информации в беспроводных компьютерных сетях // Труды (шестой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения М.Т. Греховой. 7 мая 2002 г. / Ред. А.В. Якимов. Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2002. С. 22-28.
   
5. 
   R. Vaughan, J.B. Andersen. Channels, propagation and antennas for mobile communications. IEE, London, 2003.
   
6. 
   B.N. Getu, J.B. Andersen. BER and spectral efficiency of a MIMO system. // Proc. of the 5^th International Symposium on Wireless Personal Multimedia Communications (WPMC’02), Hawaii, 2002, P. 397-401.
   
7. 
   Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.
   
8. 
   Ермолаев В.Т., Родюшкин К.В. Функция распределения максимального собственного числа выборочной корреляционной матрицы собственного шума элементов антенной решетки // Изв. Вузов. Радиофизика. 1999, Т.42, № 5. С. 494.
   
9. 
   Ширман Я. Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.
   
10. 
    Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука. 1971.
    
11. 
    Прокис Д. Цифровая связь. Пер. с англ. – М: Радио и связь, 2000. 800 с.
    

BIT ERror rate of data transmission in wireless communications systems with antenna arrays

Lysyakov D.

N.I. Lobachevski State University of Nizhni Novgorod

Perspective systems of mobile communications and wireless Internet should provide significant increase the system capacity (date rate) saving the high reliability of user service (low bit error rate). General radiophysical effect distorted the signal and prevented to attain these purposes is multipath propagation of signals in random dispersive medium, which is mostly specified for communications systems operating in urban environment. The multipathing makes the deep fading of signals. Moreover the spatial channel can vary highly fast due to increasing of the user speed. This fact makes the using of different spatial-time algorithms of signal processing more complex.

One of possible methods for increasing the date rate and the number of serving users is the frequency bandwidth extension. The date rate grows also due to raise the transmitted power. However these recourses have limits because of finite frequency bandwidths and ecology requirements. Thus the tasks of increasing the wireless communications systems effectiveness should be solved with strict conditions on available resources.

Mostly perspective approach of data rate increasing is using of so-called MIMO (Multiple-Inputs Multiple-Outputs) systems with transmit and receive antenna arrays and forming independent parallel spatial sub-channels for data transmission. Creation of these sub-channels should provide with the help of the adaptation transmit and receive antenna arrays to random propagation channel. For that the channel matrix H must be estimated at the receiving link end, after that the transmitter should get the knowledge of this matrix (MIMO systems with spatial feedback).

The gain of i-th sub-channel equal to eigenvalue _i of matrix HH^H or H^HH, where (.)^H is the Hermitian conjugate. Therefore for finding of bit error rate in MIMO system it is necessary to know the probability density functions of ranged eigenvalues _i. Corresponding formulas for the common case of system configuration (arbitrary numbers M and N of transmitting and receiving antennas) are unknown. Some papers present the expressions for probability density functions of eigenvalues _i in conditions of non-correlated Rayleigh fading for next three MIMO system configurations: 1) M=2, N=2; 2) M=3, N=2; 3) M=4, N=2. However the expressions for bit error rate stay unknown even for these cases.

In this paper the results for the probability density functions of channel matrix eigenvalues are generalized to the case of MIMO systems with (M2) и (2N) configurations for multipath channel with non-correlated Rayleigh fading. Two spatial sub-channels (so-called eigenchannels) can be formed in such systems for parallel data transmission. Based on above generalization the exact analytical formulas are derived for bit error rates in both (maximal and minimal) eigenvalues. These formulas are true for arbitrary signal to noise ratio (SNR) values and for the binary and quadrature phase modulations that used in mobile communications systems and wireless Internet mostly often. Also the asymptotical expressions of the bit error rate under high SNRs are obtained. It is shown that the bit error rate in second (weak) eigenchannel decreased with the SNR raising slower considerably than in first (strong) eigenchannel.



Генерирование марковских последовательностей произвольного порядка

Гирина Н.В., Воробьев С.Н.

«Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения»

Любая гауссова последовательность описывается многомерным нормальным распределением. Если поделить последовательность на две части, то это разбиение будет соответствовать разбиению корреляционной матрицы на блоки (1), , - корреляционные матрицы первых и последних отсчетов. Условная плотность распределения описывается условными математическим ожиданием и корреляционной матрицей [1] (2), (3), (4).

Марковская последовательность - го порядка (сложная последовательность [2]) определяется условной плотностью распределения то есть ограничивается зависимостью от предыдущих значений. Такая зависимость задает общий вид матрицы связи (4): в ней отличен от нуля хотя бы один элемент каждого из последних столбцов:

(5).

Например, при наблюдении семи значений процесса третьего порядка с нулевыми средними условное среднее (2) шестого и седьмого значений равно

так как матрица связи (5) имеет вид (6).

Матрица точности последовательности - го порядка имеет - диагональный вид, т.е. отличны от нуля только элементы главных диагоналей. Например, матрица точности последовательности второго порядка имеет вид . Звездочками обозначены ненулевые элементы матрицы. Матрица точности может быть разбита на блоки (1) подобно корреляционной матрице. Необходимость - диагональности матрицы точности следует из того, что ее блок при имеет первых нулевых и ненулевых столбцов, следовательно, матрица связи имеет вид (5). Произведение (6) матрица связи двух последних значений с пятью предыдущими значениями марковской последовательности третьего порядка.

Матрица связи (6) условная корреляционная матрица - положительно определенная матрица: . Пусть элементы первого столбца матрицы равны нулю (фиксированы первые из значений последовательности k-ого порядка, - элементы матрицы ):



(7).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



При заданных (7) - система однородных линейных уравнений относительно , . Определитель не равен нулю, следовательно, система (7) имеет нулевое решение. Система уравнений вида (7) существует для второго, третьего и т. д. столбца матрицы связи, если он равен нулю. Таким образом, столбец матрицы (5) равен нулю только в том случае, если равен нулю соответствующий столбец матрицы , что определяет достаточность условия - диагональности матрицы точности.

Разбиение матрицы точности на блоки, подобные блокам корреляционной матрицы, позволяет получить некоторые дополнительные расчетные соотношения для условных математических ожиданий и условных корреляционных матриц:

(8)

Марковское приближение отсчетов немарковского гауссова процесса с корреляционной матрицей реализуется приведением его матрицы точности к многодиагональному виду заменой нулями всех элементов за исключением элементов главных диагоналей. Матрица есть матрица точности марковской последовательности k-ого порядка, в общем случае нестационарной. Если обнуляются элементы можно ожидать, что погрешность такого представления невелика, то есть . На базе корреляционной матрицы можно построить программу – генератор марковской последовательности , близкой к последовательности по корреляционным свойствам. Условные матрицы (6), (8) позволяют генерировать траектории точка за точкой, парами, триадами и т. д. точек [3].

Пример 1. Матрицы точности отсчетов и процессов с функциями корреляции





Элементы , , , , , матрицы по абсолютной величине значительно меньше предыдущих, следовательно, можно, обнуляя их и оставляя пять или три ненулевых диагонали, пытаться аппроксимировать марковской последовательностью второго или первого порядка. Результаты аппроксимации показаны в табл. 1 и на рис.1-а: 1 - функция корреляции исходной немарковской последовательности ( в табл. 1), 2 и 3 - функции корреляции аппроксимирующих последовательностей второго и первого порядков ( и ). Нестационарность аппроксимирующей последовательности первого порядка иллюстрируется табл.2, в которой приведены диагональные элементы корреляционной матрицы.

Применение той же процедуры к матрице приводит к неудовлетворительным результатам: аппроксимация последовательностью третьего порядка сопровождается заметными погрешностями воспроизведения корреляционных свойств (рис.1-б - 2). Если увеличить протяженность до , то удовлетворительной становится аппроксимация последовательностью четвертого порядка (рис.1-б - 3).

Табл. 1

	1.0000	0.4872	0.2516	0.1365	0.0768
	0.9962	0.4822	0.2438	0.1218	0.0616
	0.9857	0.4674	0.2188	0.1031	0.0493

Табл. 2

diag(B1)

0.9857

0.9780

0.9717

0.9780

0.9857

Свойство многодиагональности матриц точности распространяется на нестационарные последовательности. Например, матрица точности последовательности первого порядка трехдиагональна. Пусть корреляционная матрица стационарной последовательности трансформируется в матрицу последовательности с переменной дисперсией: матрица точности по-прежнему трехдиагональна:



Рис.1. Аппроксимация марковскими последовательностями

Аппроксимация дает возможность генерировать гауссовы последовательности как марковские, что может оказаться полезным при моделировании систем. Алгоритмы генерирования гауссовых траекторий базируются на соответствующих многомерных нормальных плотностях распределения. Генератор значений траектории – линейная система, окрашивающая дискретный белый шум с единичной дисперсией в заданную последовательность Окрашивание – линейное преобразование - собственные векторы, - собственные значения матрицы .

Процедуры генерирования точка за точной, парами точек, триадами и т.д. просто реализуются, например, в системе Matlab.