Цифровая обработка многомерных сигналов

Разработка специализированного АЛУ для эквализации сигнала в OFDM системах радиосвязи

Мальцев А.А., Пестрецов В.А., Масленников Р.О., Хоряев А.В.

Нижегородский государственный университет

Введение

В настоящее время наиболее перспективные системы беспроводной связи, предназначенные для работы в каналах с сильной частотной селективностью, используют метод ортогонального частотного уплотнения (Orthogonal Frequency Division Multiplexing – OFDM) для модуляции сигнала. В OFDM системах связи [1] применение многих поднесущих, циклического префикса и быстрого преобразования Фурье позволяют эффективного выполнить эквализацию принимаемого сигнала в частотной области. При этом алгоритм эквализации сигнала заключается в простом умножении принятого сигнала на данной поднесущей на комплексный коэффициент эквалайзера для этой поднесущей. Для инициализации эквалайзера, требуется измерение комплексной функции передачи канала связи H_i на каждой i-ой поднесущей и вычисление коэффициентов, обратных к соответствующим канальным коэффициентам. Чтобы не внести значительных задержек в приемный тракт обработки сигнала, вычисление коэффициентов эквалайзера для всех поднесущих должно выполняться за достаточно малое время меньше длительности одного OFDM символа (~10^-4-10^-6 c.). Число поднесущих в различных OFDM системах обычно изменяется в пределах от нескольких десятков до нескольких тысяч. Поэтому для удовлетворения таким жестким требованиям необходимо использовать специализированный аппаратный вычислительный блок, выполняющий операцию нахождения коэффициентов OFDM эквалайзера в реальном масштабе времени.

В данной статье рассматривается разработка специализированного арифметико-логического устройства (АЛУ) выполняющего операцию вычисления обратных значений к заданным комплексным числам и предназначенного для применения в OFDM системах связи. Рассматриваемое АЛУ использует целочисленную арифметику с фиксированной точкой, и, в соответствии с исходными требованиями, мощность шума квантования, вносимого АЛУ не должна превышать -40 дБ от уровня полезного сигнала. Входные и выходные значения АЛУ представлены двумя 14-разрядными двоичными числами для действительной и мнимой компонент. АЛУ обладает достаточной скоростью выполнения вычислений для удовлетворения требованиям спецификации IEEE 802.16e-2005 (“mobile WiMAX”), т.е. иметь возможность выполнять 10³ комплексных обращений за время порядка 10^-4 с.

Структура специализированного АЛУ для эквализации OFDM сигнала

Как было отмечено во введении, для нахождения коэффициентов OFDM эквалайзера необходимо использование специализированного блока для вычисления обратных значений к заданным комплексным числам. На рис. 1 показана общая блок-схема предлагаемого АЛУ для нахождения обратных комплексных чисел.

EMBED Visio.Drawing.11

Рис.1. Блок-схема специализированного АЛУ для вычисления обратных значений

Видно, что операция вычисления обратного значения комплексного числа выполняется в несколько этапов. Сначала коэффициент передаточной функции канала связи H_i используется для вычисления квадрата модуля этого отсчета . Далее находится обратное значение к положительному действительному числу , и полученный результат умножается на сопряженное значение входного сигнала для получения значения коэффициента эквалайзера . Таким образом, при реализации АЛУ используется соотношение .

Наиболее важной при разработке подобного АЛУ является эффективная реализация операции обращения действительных чисел. В настоящей работе был выбран вариант реализации, когда нахождения обратного значения выполняется в две стадии.

На первой стадии происходит нормализация отсчетов . Эта операция производится путем сдвига битов целочисленного положительного значения влево, до появления в старшем разряде этого числа единицы. Таким образом, в результате выполнения данной операции, нормализованные отсчеты будут принимать значения в диапазоне от максимально возможного (соответствующего двоичному представлению из единиц во всех разрядах этого числа) до половины от максимально возможного (соответствующей двоичному представлению из единицы в старшем разряде и остальных нулей). Число выполненных сдвигов l учитывается при приведении результата (отбрасывании лишних бит) после умножения на комплексно-сопряженное значение , и, таким образом, обеспечивается сохранение единого целочисленного масштаба получаемых коэффициентов эквалайзера C_i.

Использование рассмотренного алгоритма нормализации позволяет в дальнейшем строить аппроксимацию функции 1/x лишь для ограниченного диапазона входных значений, что приводит к значительно более простой и эффективной реализации этого блока. Также, следует отметить, что реализация рассмотренной процедуры нормализации в системах, использующих двоичную целочисленную арифметику, требует минимальных дополнительных аппаратных ресурсов.

Для нахождения обратных действительных значений была использована аппроксимация функции 1/x методом Ньютона [2, 3]. Как известно, метод Ньютона позволяет найти решение уравнения f(x) = 0, используя итеративную процедуру: , (1), где - производная функции f(x) вычисленная в точке x(j) и j – номер шага рекурсии. Для рассматриваемой системы искалось решение уравнения , корнем которого является значение , где d – нормализованное значение . Для этого уравнения рекурсивная аппроксимация решения методом Ньютона может быть записана как:

, (2), где по сравнению с уравнением (1) был введен дополнительный коэффициент k(j), зависящий от номера шага и позволяющий получить более точную аппроксимацию. Критерии выбора коэффициентов k(j) более подробно описаны при рассмотрении результатов численного моделирования.

Число шагов алгоритма Ньютона было выбрано равным двум. В этом случае уравнение аппроксимации может быть записано как: . (3)

Легко видеть, что путем выбора параметра кратным степени двойки 2ⁿ полученное выражение (3) может быть преобразовано к виду удобному для вычислений: , (4)

где и .

Выражение (4) позволяет вычислить функцию 1/x с использованием только двух операций умножения, обеспечивая при этом необходимую точность в заданном диапазоне входных значений. Таким образом, блок-схема предложенного алгоритма обращения действительного числа принимает вид, показанный на рис. 2.



Рис.2. Блок-схема алгоритма нахождения обратного действительного значения

Результаты численного моделирования

Для измерения мощности шума квантования, вносимого АЛУ в обрабатываемый сигнал, а также для нахождения оптимальных параметров a, b и n было проведено численное моделирование рассматриваемой системы. Как было отмечено во введении, исходным требованием к разрабатываемому АЛУ являлось обеспечение мощности шума квантования на уровне не более чем -40 дБ по отношению к мощности выходных отсчетов обрабатываемого сигнала. Следует отметить, что под шумом квантования подразумевается шум, связанный с использованием целочисленной арифметики с фиксированной точкой, а также шум, связанный с неидеальностью аппроксимации функции 1/x.

Было проведено численное моделирование нескольких вариантов рассматриваемой системы. Результаты моделирования представлены на рис. 3(а)-(г). В качестве отсчетов входного сигнала для всех случаев был использован набор комплексных чисел , имеющих различные значения модуля сигнала. На рис. 3(а)-(г) значения модуля сигнала отложено по оси абсцисс. По оси ординат отложено отношение мощности сигнала на выходе АЛУ к мощности внесенного шума квантования.

В первом случае, показанном на рис. 3(а), все операции, за исключением вычисления функции 1/x, выполнялись в арифметике с фиксированной точкой, а операция 1/x выполнялась в арифметике с плавающей точкой, используя встроенную операцию деления. Результаты моделирования для данного случая позволяют оценить мощность шума квантования вносимого всеми блоками системы, за исключением блока 1/x.

На рис.3 (б) и рис.3(в) показаны случаи, когда по сравнению с рис. 3(а) вычисление функции 1/x выполнялось, используя аппроксимацию (4) и применяя арифметику с плавающей точкой. Рассмотрение этих случаев позволяет оценить мощность ошибки, вносимой неточностью аппроксимации функции 1/x выражением (4). Варианты, представленные на рис. 3(б) и рис. 3(в) отличаются выбором параметров a, b и n. Для случая, показанного на рис. 3(б) выбор параметров осуществлялся таким образом, чтобы минимизировать суммарную среднеквадратическую ошибку вычислений для всего диапазона входных значений. Из рисунка видно, что получаемая мощность шума квантования является неоднородной и существенно зависит от величины модуля входного отсчета . Для уменьшения этого эффекта был найден другой набор параметров a, b и n, который был оптимизирован для минимизации максимальной ошибки каждого из входных отсчетов. Результаты моделирования для этого случая представлены на рис. 3(в). Как можно видеть из рис. 3(в), при этом было получено значительно более равномерное распределение мощности шума квантования в рассматриваемом диапазоне входных значений. Параметры a, b и n использованные для случая, показанного на рис. 3(в) были использованы в разработанном АЛУ.

На рис. 3(г) показано отношение мощности входного сигнала к мощности шума квантования для окончательного варианта АЛУ. По сравнению со случаем, представленном на рис. 3(в), где аппроксимация функции 1/x вычислялась в арифметике с плавающей точкой, для случая, показанного на рис. 3(г), вычисление этой аппроксимации, как и всех остальных операций, происходило с использованием арифметики с фиксированной точкой. Из рис. 3(г) видно, что требование обеспечения мощности шума квантования на уровне -40 дБ от мощности выходного сигнала удалось выполнить для широкого диапазона входных значений.

(а)	(б)
(в)	(г)

Рис. 3. Отношение мощности сигнала к мощности шума квантования для различных вариантов рассматриваемой системы

Заключение

В работе предложена архитектура специализированного АЛУ, выполняющего операцию вычисления коэффициентов эквалайзера для OFDM системы связи. АЛУ предназначено для использования в качестве специализированного аппаратного блока и разработано с учетом требования минимизации используемых аппаратных ресурсов. Параметры АЛУ оптимизированы для обеспечения мощности шума квантования на уровне -40 дБ от уровня выходного сигнала, что является достаточным для большинства современных OFDM систем связи.

Литература

1. 
   van Nee, R. OFDM for Wireless Multimedia Communications / R. van Nee, R. Prasad. – Boston-London: Artech House, 2000. – 280 p.
   
2. 
   Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. – М.: Мир, 1998. – 575с.
   
3. 
   Ercegovac, M. D. Digital arithmetic / M. D. Ercegovac, T. Lang. – San Francisco: Morgan Kaufman Publishers, 2004.–709p.
   



Design of equalizer for wireless OFDM systems
Maltsev A., Pestretsov V., Maslennikov R., Khoryaev A.
Nizhny Novgorod State University
The modern wireless communication systems using Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) are now considered as the most perspective for data transmission in the propagation channels with strong frequency selectivity as they allow efficient signal equalization in the frequency domain by using multiple subcarriers, cyclic prefix and fast Fourier transform. The realization of the OFDM system equalizer requires calculation of the reciprocal value for every used subcarrier of the OFDM symbol and this leads to the necessity of using dedicated hardware block to perform computations in the real-time.

The paper considers a design of the arithmetic logic unit (ALU) for equalization of signals in OFDM wireless communication system, which performs the operations of reciprocal calculation for given complex numbers. The fixed-point arithmetic is used for the ALU and the design provides a power of the quantization noise at the level of -40 dB relatively to the power of the output signal. Input and output values of the ALU are two 14-bit binary numbers for real and imaginary parts correspondingly.

The reciprocal calculation is done in several stages. At the first step the channel transfer function coefficient H_i is used to obtain a squared absolute value |H_i|². After that reciprocal for the positive real number |H_i|² is found and the result is multiplied by the complex conjugate of the input value H_i^* to obtain an equalizer coefficient C_i = 1/H_i.

The most important part of the equalizer ALU design is an effective implementation of the reciprocal calculation for the real number |H_i|². For the considered ALU realization the reciprocal was found using a two-stage procedure.

At the first stage of the reciprocal calculation the normalization of the values |H_i|² is done by shifting of its bits to the left until the most significant bit of the obtained value is one. The number of the left shifts is taken into account after the multiplication by H_i^* during the multiplication result truncation. So the same scale is kept for equalizer coefficients C_i. The application of the normalization algorithm allows finding of an approximation of the reciprocal function only for the limited interval of the input values, which leads to more simple and efficient hardware implementation of this block.

At the second stage the reciprocal calculation for the real number from the limited interval is done using a Newton method, which allows a successive approximation of the solution of the equation using an iterative procedure. For the considered system the Newton method was applied to find a solution of the equation f(R) = 1/R – d, which root is R = 1/d, where d – is a normalized value of the |H_i|². Number of iterations for Newton algorithm was taken equal to two. The analytical expression for the reciprocal approximation was obtained and it was brought to the form which requires only two multiplication and two additions to calculate an approximation of the 1/x function while providing required accuracy for the given interval of input values.

To measure the power of the quantization noise introduced by the equalizer the numerical simulations have been performed. The results of the numerical simulations confirmed that the level of the quantization noise is below the -40 dB limit relatively the power of the output signal for all input values of interest.

So the design of the OFDM equalizer ALU presented in this paper meets all the requirements of the modern wireless OFDM communication systems and thus can be recommended for implementation in such systems like Wi-Fi and WiMAX.

