Доклады Академии Наук СССР. 1935. Том IV (1Х), №4-5 (73-74)

<sup>Доклады Академии Наук СССР.

1935. Том IV (1Х), № 4-5 (73-74)</sup>

А.Н. Тихонов

Математическая теория термопары

( Представлено академиком С. Н. Бернштейном 21 VIII 1935)

Всякий прибор, внесенный в физическое поле для измерения его величины, вносит с собой изменение поля. Показания прибора дают нам, вообще говоря, действительную величину измененного поля, а не ту, которая нас должна интересовать, т. е. которая была бы, если бы естественный ход поля не нарушался внесенным в него прибором.

При измерении температуры поля термопарой происходит отток тепла из поля в термопару, что и вызывает изменение температурного поля (отмеченное обстоятельство имеет тем большее влияние, чем меньше теплопроводность измеряемого тела). Это явление чистой теплопровод­ности осложняется тем обстоятельством, что при прохождении возни­кающего в термопаре электрического тока через спай (явление Peltier), а также и вдоль всей проволоки (джоулево тепло) происходит выде­ление тепла.

Нашей задачей является установить соотношение между наблюдаемой температурой в точке измерения и температурой , которая была бы в этой точке, если бы температура поля не подвергалась из­менению, зависящему от перечисленных обстоятельств: 1) начальное тепловое состояние термопары и теплоотток в термопару, 2) явление Peltier, 3) выделение в термопаре джоулева тепла .

Будем считать, что измеряется температура однородной проволоки бесконечной длины. Термопару будем представлять в виде двух спаян­ных на концах однородных (но различных) проволок бесконечной длины, причем один спай (находящийся в бесконечности) поддерживается при постоянной (нулевой) температуре, а другой в некоторый момент соприкасается с точкой проволоки, температуру которой измеряем. Относительно термопары мы сделаем следующие предположения.

1. Если разность температур равна u , то в термопаре возникает электрический ток силы .

2. Если через спай проходит электрический ток силы i в течение промежутка времени , то в нем выделяется количество тепла (явление Peltier).

3. Если через термопару проходит электрический ток силы i в те­чение промежутка времени , то на единицу длины первой проволоки выделяется количество тепла, равное , а на единицу длины вто­рой проволоки .

Обычно считают, что такие функции имеют вид



где постоянны, но нам нет в этом никакой необходимости, и мы будем принимать, что они являются некоторыми непрерывными функциями своих аргументов.

Уравнения распределения температур в проволоках термопары будут:

(1),(2)

где - соответствующие физические постоянные.

Пусть - температура проволоки без изменений, вносимых тер­мопарой. Эта функция могла бы быть определена при помощи значений (т. е. в момент начала измерений) и уравнения теплопровод­ности

(3)

- константы изучаемой проволоки.

, действительная температура проволоки, удовлетворяет тому же уравнению (3) для всех; при , т. е. в точке измерения, имеет место отток тепла.

Пусть - поток тепла через точку; тогда

(4)

Условия, связывающие температуры проволоки и термопары, состоят из двух частей. Во-первых, мы должны приравнять температуры про­волоки и термопары в точке измерения. Во-вторых, подсчитать тепло­вые потоки в этой точке, притекающие и вытекающие.

Эти условия дают

(5)

(6)

где

(7), (8)
тепловые потоки в проволоке термопары и
(9)

тепло, возникающее в спае.

Кроме того, должны быть удовлетворены начальные условия

(10)
где и - заданные функции, представляющие начальное тепло­вое состояние термопары.

Таким образом, мы должны решить систему уравнений (1), (2), (З)
(A)
с условиями (5), (6)
(B)

где определяются формулами (4), (7), (8), (9) и начальными условиями (10):

(C)

Нетрудно видеть, что

(11)
так как в этом случае удовлетворяет уравнению (3), условию (4) и имеет начальное значение .

Функции ) и берутся в виде



(12)

где неизвестные функции, причем для того, чтобы удовлетворя­лось условие (5), нужно, чтобы

(13)


Вычислим



(14)

Таким образом, уравнение (5) может быть записано в виде

(15)


Исключим из уравнений (13) и (15) все неизвестные функции .

Установим предварительно некоторые соотношения
(a)
(b) Если некоторая ограниченная функция удовлетворяет уравнению теплопроводности



то


Положим



Эта функция ограничена и удовлетворяет уравнению теплопроводно­сти, следовательно



В частности, при



Отсюда заключаем, что



Пользуясь последним звеном равенства (13) и (а) и (b), непосред- ственно получаем

Как уже упоминалось, функции имеют вид



В таком случае





Это и есть выражение функции , представляющей искомую тем­пературу через , температуру наблюдаемую. Первое слагаемое в этом выражении представляет поправку на чистый отток тепла, если начальная температура термопары равна нулю, т. е. температуре конца, поддерживаемого при постоянной температуре, второе - поправку на джоулево тепло, третье - на явление Peltier и, наконец, четвертое - на начальное распределение тепла в термопаре.

В частности, если проволока, температура которой измеряется, оди­накового качества с термопарой, т. е. их константы и одинаковы, начальные распределения



т. е. равны той температуре, при которой поддерживается второй ко­нец, и мы пренебрегаем эффектом джоулева тепла и явления Peltier, то



Итак, при указанных условиях мгновенно устанавливается постоян­ная температура, равная 50 % той, которую мы определяем.
Научно-исследовательский институт математики

при Московском государственном университете.

Поступило

27. 07. 1935