скачать doc
ГЛАВА 2. СТАТИЧЕСКИЕ И АСТАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ.
2.1 Понятие об ошибке управления. Передаточная функция по ошибке
2.2 Установившаяся ошибка
2.3 Статическая ошибка и статизм системы
2.4 Условие астатизма первого порядка
2.5 Условие астатизма произвольного порядка
2.6 Ошибка по возмущению
2.1 Понятие об ошибке управления. Передаточная функция по ошибке
Здесь мы будем изучать свойство установившегося режима в устойчивых системах. Пусть имеется система с заданной передаточной функцией W(p), и эта система охвачена единичной обратной связью, как это показано на рис 2.1. Нас будет интересовать условие отсутствия или малости рассогласования между выходным сигналом x(t) системы и его входным сигналом u(t). Этот вопрос имеет большое практическое значение, потому что во всех следящих системах эта величина и определяет точность работы, которая является основным показателем качества системы. Например, чем выше класс точности станка, тем более сложные изделия станок способен обрабатывать.
Рис 2.1.
Разность (t) между входным и выходным сигналами называется ошибкой управления. То есть,
(t) = u(t) - x(t). (2.1)
Пусть L{(t)} = E(p). Тогда, E(p) = U(p) - X(p)
Но X(p) можно найти по передаточной функции:
Поэтому,
. (2.2)Функция
(2.3)называется передаточной функцией по ошибке. Зная входной сигнал, можно найти передаточную функцию ошибки по этой функции по формуле
E(p) =
U(p). (2.4)2.2 Установившаяся ошибка
Целесообразно характеризовать точность системы не с помощью функции времени, а числом, пусть, даже идя на определенные упрощения наших представлений о точности. В большинстве случаев, когда система управления достаточно быстродействующая, позволительно считать точностью управления установившееся значение ошибки (t). Эту величину обозначают ().
Пользуясь предельной теоремой Лапласа можно вычислить установившуюся ошибку по следующей формуле:
(2.5)Заметим, что вычисления ошибки является несложным делом и не связано с применением формул для обратного преобразования Лапласа.
2.3 Статическая ошибка и статизм системы
Рассмотрим случай, когда на вход системы подается единичный скачок. В этом случае U(p) =
и по формуле (2.5) получим
. (2.6)Последняя величина называется статизмом линейной системы. Если же на вход подан скачок со значением А, то статическая ошибка будет равной
(2.7)Анализируя последнюю формулу можно сказать, что чем больше статический коэффициент усиления разомкнутой системы
, тем меньше ошибка. К сожалению, обычно нет возможности неограниченно увеличивать этот коэффициент усиления. Этому препятствует условие устойчивости. Поэтому, одной из целей проектирования систем управления является достижение достойного компромисса между требованиями к устойчивости и к малости установившейся ошибки. Пример 2.1. Найти установившуюся ошибку в системе, которая представляет собой объект, описывающийся передаточной функцией
и охваченной единичной обратной связью, считая при этом, что входной сигнал равен 10.Решение. По формуле (2.7) получим:
Замечание 2.1. Если входной сигнал имеет установившееся значение D, то выходной сигнал будет иметь установившееся значение K(0)D. Действительно
Поэтому,
Пример 2.2. Найти установившуюся ошибку в системе, которая представляет собой объект, описывающийся передаточной функцией
и охваченной единичной обратной связью, считая при этом, что входной сигнал равен 10+129
.Решение. Исходя из Замечания 1, отбросим затухающий до нуля член 129
и вновь получим:
2.4. Условие астатизма первого порядка
Представляет определенный интерес нахождения условия полного отсутствия установившейся ошибки (равенство ее нулю). Такие системы называются астатическими. Из формулы (2.7) видно, что последнее возможно лишь при условии W(0)=
. которое в свою очередь означает для исследуемого класса систем, что
, (2.8)или, другими словами, что передаточная функция разомкнутой системы содержит по крайней мере одно интегрирующее звено. Условие (2.8) называется условием существования астатизма. В этом случае при подаче на вход скачкообразного сигнала (и тем более, любого затухающего) в установившемся режиме ошибка будет равняться нулю.
2.5. Условие астатизма произвольного порядка
Однако это не означает, что при подаче на вход произвольного сигнала, установившаяся ошибка станет нулевой. Пусть, на вход астатической системы подается линейная функция времени с изображением по Лапласу
. Тогда, по формуле (2.5) получим:
(2.9)Такая ошибка называется скоростной. Видно, что при отсутствии в знаменателе бесконечных величин, она будет ненулевой. Однако, если и N(p) содержит интегрирующие звенья, а это значит, что передаточная функция разомкнутой системы содержит более одного интегрирующего звена, то скоростная ошибка окажется равной нулю.
Перейдем к рассмотрению общего случая, когда передаточная функция содержит ровно n интегрирующих звеньев, а на вход системы подается сигнал вида u(t) = tm.
В этом случае
По формуле (2.6) получим, что
(2.10) Из (2.10) видно, что при n > m -1 установившаяся ошибка равна нулю. Это означает, что замкнутая единичной обратной связью система, разомкнутая часть которой содержит n интегрирующих звеньев, безошибочно отрабатывает любой входной многочлен вплоть до n-1-го порядка и дает конечную ошибку при подаче на вход многочлена n-го порядка. Такая система с n интегрирующими звеньями в прямой ветви контура обратной связи называется астатической n-го порядка.
2.6 Ошибка по возмущению
Помимо управляющего, у системы могут быть и другие входы. Часто на эти входы попадают помехи, искажающие выходной сигнал.
Такие входы называют возмущающими. Например, можно полагать, что ветер, дующий на самолет в полете и отклоняющий его от курса, является возмущающим воздействием на систему автопилота. Чтобы учесть составляющую общей ошибки, возникшую от воздействия возмущения, следует найти возмущающий сигнал и его изображение умножить на передаточную функцию по возмущающему входу. Затем, следует с помощью предельной теоремы преобразования Лапласа найти установившуюся ошибку по возмущению, как взятое с минусом установившееся значение выходного сигнала от одного возмущающего входа. Для того чтобы по возмущению система обладала астатизмом n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы передаточная функция по возмущению имела в своем составе n+1 дифференцирующее звено.
Действительно, в этом случае ее передаточная функция
Kв(p) = pn+1 D(p) (2.11)
Поэтому, сигнал на выходе по возмущению выражается следующим образом:
и по предельной теореме преобразование Лапласа получим, что
