Экзаменационные вопросы по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии

1. 
   Определение линейных операций с матрицами. Свойства линейных операций с матрицами.
   
2. 
   Определение определителя квадратной матрицы.
   
3. 
   Свойства определителя: умножения определителя на число. Пример.
   
4. 
   Свойства определителя: транспонированная матрица и её определитель. Пример.
   
5. 
   Определение алгебраического дополнения элемента квадратной матрицы. Пример.
   
6. 
   Свойства определителя: разложение определителя квадратной матрицы по элементам какой-либо строки или столбца.
   
7. 
   Определение произведения матриц. Пример. Свойства операции умножения матриц.
   
8. 
   Определение обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы.
   
9. 
   Определитель произведения квадратных матриц. Пример.
   
10. 
    Теорема Крамера для линейных алгебраических систем. Пример.
    
11. 
    Определение ранга матрицы. Пример.
    
12. 
    Элементарное преобразование матрицы.
    
13. 
    Теорема Кронекера-Капелли для линейных алгебраических систем.
    
14. 
    Определение линейных операций над векторами.
    
15. 
    Свойства линейных операций над векторами.
    
16. 
    Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов.
    
17. 
    Определение базисной системы векторов.
    
18. 
    Определение скалярного произведения векторов. Свойства скалярного произведения векторов.
    
19. 
    Определение векторного произведения векторов. Свойства векторного произведения векторов.
    
20. 
    Общее уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов.
    
21. 
    Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов.
    
22. 
    Уравнение прямой на плоскости в отрезках.
    
23. 
    Общее уравнение плоскости в пространстве. Геометрический смысл коэффициентов.
    
24. 
    Каноническое уравнение прямой в пространстве. Геометрический смысл коэффициентов.
    
25. 
    Параметрическое уравнение прямой в пространстве. Геометрический смысл коэффициентов.
    
26. 
    Определение линейного преобразования на плоскости.
    
27. 
    Определение собственного вектора и собственного значения матрицы.
    
28. 
    Определение квадратичной формы и её запись в векторно-матричном виде.
    
29. 
    Определение линейного пространства.
    
30. 
    Определение нормированного пространства.
    
31. 
    Определение линейного евклидова пространства.
    

1. 
   Получить формулу скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе.
   
2. 
   Получить формулу векторного произведения в ортонормированном базисе.
   
3. 
   Получить формулу для обратной матрицы на матрице 3-го порядка.
   
4. 
   Ортогональная матрица и её свойства.
   
5. 
   Получить матрицу линейного преобразования на плоскости.
   
6. 
   Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы.
   
7. 
   Преобразование общего алгебраического уравнения второй степени.
   
8. 
   Канонический вид алгебраического уравнения второй степени и классификация кривых второго порядка.
   
9. 
   Следствия из аксиом линейного пространства.
   
10. 
    Неравенство Коши-Буняковского.