Графические задачи по кинематике

Графические задачи по кинематике
Основное требование, которое предъявляется при решении задач с использованием графиков, — это твердое знание графиков простейших элементарных функций и умение их исследовать. В частности, нужно хорошо знать графики уравнений скорости и перемещения при равномерном и равнопеременном движении.

Первую группу графических задач составляют задачи, в которых дается график зависимости между одними кинематическими величинами и по нему нужно построить график зависимости между другими. Приступая к решению таких задач, необходимо, прежде всего, внимательно проанализировать предложенный график, установить характер заданного движения и представить данную зависимость в виде уравнения. Поэтому уравнению необходимо установить искомую зависимость и, исследовав её, построить нужный график. При достаточном навыке в решении подобных задач искомый график можно строить сразу, не прибегая к алгебраическим выкладкам.

Вторую группу составляют задачи, решение которых предполагает отображение условий на одном из графиков зависимости кинематических величин от времени. Как только условия такой задачи записаны графически, её дальнейшее решение состоит в том, чтобы найти ту или иную величину на вычерченном графике, что, как правило, особого труда не представляет. Большое внимание, в задачах подобного типа следует обращать на рациональный выбор графика, на котором будет удобнее всего представить условия задачи и на котором легче всего указать искомую величину.




Пример: на рисунке приведён график зависимости _x(t) для материальной точки, движущейся вдоль оси х. Написать зависимости от времени x(t), v_x(t), a_x(t), r_x(t) и s(t). Построить графики этих зависимостей, приняв х₀ = 3 м.
Решение. Согласно графику при = 0 проекция = 4 м/с, при = 2 с проекция = 0, при = 3 с проекция = 2 м/с, при = 5 с проекция = = 2м/с, при = 7 с проекция = 0. Первые 2 с (интервал -) материальная точка двигалась в положительном направлении оси х ( > 0) с постоянным ускорением проекция которого = (-)/ = - 2 м/с². Движение в этом интервале времени замедленное, так как проекции скорости и ускорения на ось х имеют разные знаки: > 0, < 0. Начиная со второй секунды (интервал - ), точка после остановки двигалась в направлении, противоположном оси х (< 0). На протяжении третьей секунды (интервал ) она двигалась с тем же ускорением, причем с возрастанием скорости, так как знаки проекций и одинаковы (<0 и < 0). Следующие две секунды (интервал) точка двигалась с постоянной скоростью , а последние две секунды (интервал ) - с постоянным ускорением, проекция которого = 1 м/с². Движение в последнем интервале времени замедленное (< 0, > 0) до остановки в момент = 7 с.

Для написания искомых зависимостей участки движения, соответствующие интервалам времени от 0 до 3 с, от 3 до 5 с и от 5 до 7 с, обозначим I, II и III соответственно. Зависимости a_x(t) в этих интервалах времени будут выглядеть следующим образом: м/с² = const, = 0, = 1 м/с² = const.

Аналогично запишем зависимости для 0  t  3 с, = const, для 5  t  7 с.

Зависимость x(t) для указанных интервалов времени будет иметь вид: 0  t  3с, где при = 3с координата = 6м; для 3  t  5 с, где при для 5  t  7 с, где при координата = 0.

На основании проделанного анализа движения материальной точки и полученных зависимостей (t), (t) и x(t) можно построить требуемые графики. График a_x(t) представлен на рис. 1. Графики x(t), r_x(t) и s(t) для наглядности выполнены на одном рисунке 2. Поскольку r_x = x = x(t) -, то графики x(t) и r_x(t) будут лишь смещены относительно друг друга на величину. Так как путь - положительная неуменьшающаяся величина, то для построения графика s(t) убывающие участки r_x(t) необходимо симметрично отразить вверх. Надо отметить, что при t₂ = 3 с и t₃ = 5 с графики x(t), r_x(t) и s(t) не имеют изломов, т.е. не происходит изменение угла наклона касательной к графику в указанных точках. Это обусловлено непрерывностью зависимости (t) при переходе от равноускоренного движения к равномерному, и наоборот.




Рис. 1




Рис. 2

1. 
   График зависимости (t) движущегося тела изображен на рисунке. Чему равны модуль перемещения тела и пройденный путь за первые 12 с движения? Начертить графики зависимостей координаты и пути от
   времени, если начальная координата = 8 м.
   

2. 
   На рисунке представлен график зависимости координаты движущегося тела от времени. Какова средняя путевая скорость за 9 с движения? Построить графики зависимостей t), x(t) и s(t).
   

3. 
   График зависимости проекции ускорения тела от времени a_x(t) изображен на рисунке. Написать уравнения для проекции скорости и координаты х тела в зависимости от времени для интервалов 0  t  и t₂, где = 4 с; t₂ = 8 с. Построить графики этих зависимостей, если = 0, 0.