Ii- введение в интеллектуальные машины Пример конструирования регулятора

2.3. Пример конструирования регулятора
Возьмём в качестве объекта управления классический пример, рассматриваемый в ТАУ, механическую систему, показанную на рис.2.8. Механическая система описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

, (2.44)

где – масса тела;

– коэффициент жесткости пружины;

– коэффициент демпфирования;

– перемещение тела;

– сила, приложенная к телу.

Допустим, что система подвержена возмущающим воздействиям. Пусть помеха изменяет силу , действующую на тело следующим образом

,

где (2.45)


Рис.2.8. Механическая система
На первом этапе синтеза регулятора необходимо построить его структурную схему. В соответствии с рекомендациями п.2.2.1 выделим структурные элементы (звенья), графически изобразим их прямоугольниками и соединим стрелками выходы и входы звеньев согласно связям.

Напомним, что звенья обладают направленностью действия: значение выхода звена не влияет на его вход. При соединении принимаем во внимание тип соединения звеньев в систему: последовательное, параллельное или с обратной связью.

Вначале выделяют звенья основной части схемы. Для рассматриваемого примера это три последовательно связанных звена: 1)звено «исполнительный механизм», которое моделирует преобразование кода управляющего сигнала в непосредственное воздействие - в силу, приложенную к телу; 2) звено «объект», которое моделирует изменение положения тела под воздействием силы и 3) звено «датчик», которое моделирует процесс получения информации о перемещении тела. Полученная структурная схема основной части системы приведена на рис.2.9

На рис.2.9 обозначено: – передаточная функция звена исполнительного механизма; – передаточная функция звена объекта управления; – передаточная функция звена датчик выходного параметра; – передаточная функция звена возмущающего воздействия; - сила, действующая на объект управления и представляющая собой сумму сил, создаваемых исполнительным механизмом и возмущением, соответственно.


Рис.2.9. Структурная схема первой фазы проекта
Выполним преобразования структурной схемы – вынесем звено возмущающего воздействия – по правилам, описанным в п.2.2.3. На рис.2.10 приведена структурная схема после вынесения звена возмущения.

Варьируемая часть структурной схемы включает корректирующие звенья, которые выбираются в соответствии с рекомендациями п.п. 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7.


Рис.2.10. Структурная схема второй фазы проекта
Введём два таких звена: компенсирующее по возмущению (звено КПС) и звено обратной связи (звено КОС). На рис.2.11 после введения звеньев варьируемой части приведена полная структурная схема САУ, на которой обозначены: – передаточная функция звена компенсирующего возмущающее воздействие; - передаточная функция звена обратной связи.



Рис.2.11. Структурная схема третьей фазы проекта
Необходимыми работами на этапе построения структурной схемы является математическое описание каждого звена, либо в виде алгебраических, дифференциальных или интегральных уравнений, либо в виде передаточных функций.

Объект управления описывается дифференциальным уравнением (2.34) из которого можно получить передаточную функцию звена. Преобразуем (2.34) с учётом рекомендаций п.2.2.2 к виду:

.

Откуда передаточная функция ОУ примет вид:

. (2.46)

Передаточные функции звена исполнительного механизма и звена датчика находятся по динамическим характеристикам этих устройств. Последние берутся либо из технической документации, либо получают их экспериментально. Положим, что эти устройства относятся к статическим звеньям первого порядка.

; (2.47)

.

Передаточная функция звена компенсирующего возмущающие воздействия рассчитывается по методике, изложенной в п.2.2.2.

Вначале находится выражение, аналогичное (2.33), для структурной схемы, показанной на рис.2.11.

, (2.48)

где .

Затем для статического режима, когда p=0 из условия в (2.48) получаем

. (2.49)

Откуда выводим окончательное выражение

. (2.50)

Для окончательного расчёта структурной схемы осталось определить звено обратной связи. В п.2.2.5.1 предлагается использовать интегрирующий закон с передаточной функцией, например, (2.19) для обеспечения хороших показателей системы в статическом стационарном режиме.

Проведём компьютерный эксперимент с целью исследования свойств разработанной системы автоматического управления и определения параметров закона управления звена обратной связи. Для этого в среде Matlab 6.1 с помощью инструмента Simulink создадим модель разработанной САУ.
Среда моделирования.

Инструмент Simulink в среде MatLab позволяет создавать имитационные модели на основе реального или модельного времени, содержит обширную библиотеку компонент.

Инструмент Simulink вызывается из командной строки MatLab командой simulink. По этой команде открывается окно Simulink Library Browser, представляющее собой библиотеку для имитационного моделирования. Все компоненты разбиты на отдельные библиотеки и собраны в группы компонент.

В проекте понадобится только библиотека Simulink – библиотека базовых компонент моделирования. Она содержит такие группы компонент:

Continuous – компоненты для моделирования систем реального (сплошного) времени. Содержит такие компоненты как derivative (дифференциатор), integrator (интегратор), memory (задержка), transfer fcn (передаточная функция) и другие. Из этой группы нам понадобится компонент memory – задержка сигнала на один такт времени.

Discrete – компоненты для моделирования систем реального (дискретного) времени. Содержит такие компоненты как discrete transfer fcn (передаточная функция), discrete filter (фильтр), discrete-time integrator (интегратор) и другие. Из этой группы нам понадобится компонент discrete transfer fcn для задания передаточной функции звена.

Functions & Tables – компоненты для преобразования сигнала с помощью функций заданных аналитически, таблично или с помощью функции MatLab. Из этой группы нам понадобится компонент fcn для изменения задающего сигнала и сигнала помехи. С помощью этого компонента изменяющая функция задается аналитически с помощью синтаксиса MatLab.

Math –группа компонент, имитирующие математическое преобразование сигналов. Содержит такие компоненты:

• 
  Abs – модуль сигнала;
  
• 
  Algebraic Constraint – итерационное решение уравнения;
  
• 
  Bitwise Logical Operator – маскирование сигнала;
  
• 
  Combinatorial Logic – битовая матрица смежности;
  
• 
  Complex to Magnitude-Angle, Complex to Real-Imag, Magnitude-Angle to Complex, Real-Imag to Complex – преобразование комплексных сигналов;
  
• 
  Product, Dot Product, MinMax, Logical Operator – умножение простое, матричное, взятие минимума/максимума, логические операции.
  
• 
  Gain, Matrix Gain, Slider Gain – блоки для усиления сигнала;
  
• 
  Math function, Trigonometric Function – задание простой аналитической/тригонометрической функции;
  
• 
  Relational Operator, Rounding Function, Sign – операции отношения, округления, взятия знака;
  
• 
  Sum – блок суммирования сигналов.
  

Из этой группы мы будем активно пользоваться компонентой Sum.

Nonlinear – компоненты нелинейного преобразования.

Signals & Systems – компоненты разбиения, выбора и хранения сигналов.

Sinks – группа компонент приемников данных. Содержит такие компоненты как display (вывод данных на экран), scope, floating scope, XY graph (вывод данных на график), out (выход), stop simulation (остановка моделирования), terminator (заглушка), to file (вывод в файл), to workspace (вывод в переменную). В этой группе нам понадобятся компоненты scope и to workspace.

Sources – группа компонент источников данных. В этой группе нам будут полезны компоненты constant – генерация постоянного сигнала, in – блок входа, pulse generator – генератор импульсов, digital clock – счетчик тактов, sine wave – генератор синусоидального импульса.

Subsystems – набор стандартных подсистем. Удобный механизм для моделирования отдельных структурных звеньев модели.
Последовательность действий при создании модели следующая.

Шаг 1. Вызываем инструмент Simulink и создаем новую модель (File  New  Model).

Шаг 2. Задаем параметры имитации. Поскольку рассматривается динамическая модель – объект управления и другие звенья структурной схемы функционируют во времени – то, в первую очередь, надо определиться с временными характеристиками моделирующей системы. Выбираем временной интервал, на котором исследуется функционирование системы, тип модели (изменения параметров системы выполняется непрерывно или в дискретные моменты времени), шаг дискретизации времени и режим расчётов (пошаговый или автоматический для всего интервала моделирования). Это выполняется в окошке Simulation Parameters (Simulation  Simulation Parameters). На рис.2.12 приведены выбранные параметры. Выбор интервала моделирования осуществлён из следующих соображений. Расчёт передаточной функции (2.50) для стационарного статического режима осуществлён для определённого временного участка времени в (2.45) на котором помеха стационарна. Пусть .

Рис. 2.12. Параметры моделирования
Шаг 3. На этой фазе создания модели, отражающей структурную схему, показанную на рис.2.11, создаётся набор подсистем, каждая из которых моделирует либо звено структурной схемы, либо внешние воздействия на систему. Для этого помещаем в созданную модель Model девять компонент subsystem из группы subsystems. Шесть подсистем будут использованы для моделирования звеньев системы, два – для создания задающего сигнала и сигнала помехи и одна подсистема будет вычислять критерий качества управления. Также поместим четыре дополнительных блока: два блока sum, блок memory и scope. Двойным щелчком мыши откроем блок scope и в диалоговом окне parameters зададим количество выводимых графиков: number of axes=5.

Шаг 4. На этом шаге введенные подсистемы соединяются в соответствии с логикой передачи информации, как показано на структурной схеме на рисунке 2.11.
Для соединения двух подсистем (блоков в дальнейшем) выделяем первый блок и с зажатой клавишей Ctrl указываем на второй блок. Для того, чтобы создать разветвление – с зажатой клавишей Ctrl ставим точку разветвления и протягиваем соединительную линию к входу в блок. Для поворота и вращения графического изображения блока нужно выбрать пункт Format  Rotate block и Format  Flip block. Для подписи блока: одинарный щелчок на подписи, для подписи соединительной линии – двойной щелчок на линии. Для удаления блоков и соединительных линий необходимо выделить элемент и нажать клавишу Del.
Полученная схема приведена на рис.2.13. На рисунке обозначены:

IM – исполнительный механизм;

1/IM – звено, обратное к исполнительному механизму;

KUS – звено компенсации (КПС);

OU – объект управления;

Dx – датчик выхода;

H – блок, имитирующий передаточную функцию помехи;

Xz – задающее воздействие;

OS – звено обратной связи (КОС);

Kriteria – блок вычисления критерия качества модели;

Memory – блок задержки на один такт;

Scope – блок вывода результатов в виде графиков;

X – выход объекта моделирования;

Ez –ошибка управления.



Рис. 2.13. Общая схема имитационной модели
Шаг 5. В блоки, обозначенные на рис.2.13, как IM, 1/IM, KUS, OU, Dx, OS помещаем инструмент discrete transfer fcn. С помощью этого инструмента задаём передаточную функцию, связывающую вход и выход звена, как показано на рис.2.14 (цифрой 1 показаны номера входов и выходов).
Для редактирования блока – двойной щелчок мыши на блоке. Параметры передаточной функции задаются в форме где р – символ дифференцирования по времени, а num(p) и den(p) задаются как вектора коэффициентов.


Рис.2.14. Схема задания передаточной функции звена
Шаг 6. В блоках H и Xz удалим элемент in и поместим элемент fcn. Так же следует поместить компоненту из группы Sources для создания модели сигнала. Расположим блоки как показано на рис.2.15.



Рис.2.15. Схема определения задающих звеньев
Шаг 7. В блок Kriteria помещаем элементы in из группы sources, sum и abs из группы math. Соединяем помещенные элементы, как указано на рисунке 2.16.



Рис.2.16. Схема для звена критерия
Шаг 8. Зададим параметры для блоков.

Блок IM: Numerator=[3 2], Denominator=[2 1].

Блок 1/IM: Numerator=[2 1], Denominator=[3 2].

Блок KUS: Numerator=[-1], Denominator=[2].

Блок OU: Numerator=[1], Denominator=[3 2 1].

Блок Dx: Numerator=[0.5], Denominator=[1.4 1].

Блок OS: Numerator=[2.45], Denominator=[-1.15 1].

Блок H: Fcn/Expression=u.

Блок Xz: Fcn/Expression=u.

Шаг 9. Запуск имитации: Simulation  Start.

Исследуем разработанную САУ в разных режимах. Для этого необходимо для каждого режима сформировать функции задающего воздействия, возмущающего воздействия и критерия.

Стационарный статический режим.

Как уже отмечалось, возмущающее воздействие есть функция (2.45) на интервале , соответственно передаточная функция и в качестве задающего воздействия . Введём эту информацию в модель. Добавляем в блоки H и Xz компоненту constant из группы sources и ставим на место блока signal на рисунке 2.15. Результат моделирования приведен на рис.2.17. На верхнем рисунке показан график выходного параметра ОУ, а именно , на следующих внизу рисунках показаны графики задающего и возмущающего воздействий, а на двух самых нижних рисунках приведены графики управляющего воздействия и ошибки управления . Критерий качества – статизм – находится по формуле (2.30). Поскольку значение внешнего воздействия в (2.30) равно 1, так как , а статическое приращение равно ошибке управления , то статизм, как функция времени, для рассматриваемого примера совпадает с графиком ошибки, приведенном на нижнем рисунке (см. рис.2.17). Из рисунков видно, что САУ выполняет задачу регулирования: начиная с 300 отсчёта времени выходной параметр практически равен задающему воздействию.

Рис.2.17. Результаты моделирования.

Стационарный статический режим
Стационарный динамический режим.

Возьмём возмущающее воздействие, как и раньше, (2.45) в виде кусочно-постоянной периодической функции, а задающее воздействие – в виде синусоидальной функции. Введём эту информацию в модель путём редактирования блоков H и Xz.

Помещаем в блок H компоненту pulse generator из группы sources и задаем следующие параметры:

Pulse Generator/Pulse type=sample-based.

Pulse Generator/Amplitude=2,

Pulse Generator/Period=2000,

Pulse Generator/Pulse width=1000,

Pulse Generator/Phase delay=0,

Pulse Generator/Sample time=1,

Fcn/Expression=2*u+1.

В блок Xz аналогично помещаем компоненту sine wave из группы sources и задаем такие параметры:

Sine Wave/Sine type=sample-based,

Sine Wave /Amplitude=3,

Sine Wave /Bias=0,

Sine Wave /Samples per period=1000,

Sine Wave /Number of offset samples=0,

Sine Wave /Sample time=1.

Результат моделирования приведен на рис.2.18. Как и для предыдущего режима на верхнем рисунке показан график выходного параметра ОУ, а именно , на следующих двух нижних рисунках показаны графики задающего и возмущающего воздействий и на двух самых нижних рисунках приведены графики управляющего воздействия и ошибки управления. Критерий качества – добротность – находится по формуле (2.31). Для рассматриваемого примера ограничились добротностью по скорости в (2.31) и добротность по ускорению .

Для вычисления добротности создадим схему, показанную на рис.2.19. Компоненты dXz и d2Xz – это компоненты Sine Wave с такими же параметрами как в задающем воздействии, за исключением того, что в блоке dXz значение поля Number of offset samples равно половине значения поля Samples per period. Это обусловлено тем, что блок dXz имитирует первую производную по времени задающего воздействия, что соответствует для гармонической функции сдвигу по времени на полпериода.


Рис.2.18. Результаты моделирования.

Стационарный динамический режим



Рис.2.19. Схема определения критерия - добротность
Графики добротности приведены на рис.2.20.


Рис.2.20. Графики добротности
Переходной режим.

Для исследования переходного режима функцию возмущающего воздействия оставляем без изменения, как в предыдущем случае. В качестве задающего воздействия примем вначале единичное ступенчатое воздействие, а затем единичное импульсное воздействие, формулы которых были рассмотрены в п.2.2.2.

Единичная ступенчатая функция в среде Simulink задаётся следующими параметрами в блоке Xz:

Pulse Generator/Period=500,

Pulse Generator/Pulse width=450,

Pulse Generator/Phase delay=100,

Pulse Generator/Amplitude=1.

Таким образом, получаем единичную функцию на сотом отсчете времени. После запуска моделирования получим результаты, представленные на рис.2.21.

Единичная импульсная функция задаётся следующими параметрами в блоке Xz:

Pulse Generator/Period=500,

Pulse Generator/Pulse width=1,

Pulse Generator/Phase delay=100,

Pulse Generator/Amplitude=1e10.


Рис.2.21. Результат моделирования переходного процесса для единичного ступенчатого воздействия
Таким образом получаем одиночный импульс на сотом отсчете времени. Результаты моделирования представлены на рис.2.22.

Из графиков, приведенных на рис.2.21 и рис.2.22, можно найти значения критериев переходного процесса.

Во-первых, видно, что САУ устойчива, так как значение выхода ОУ со временем стабилизируется возле значения задающего воздействия. Таким образом, устойчивость определена на качественном уровне.

Во-вторых, время переходного процесса, согласно п.2.2.4, составляет 300 единиц времени для единичного ступенчатого воздействия и 450 единиц импульсного воздействия времени (определяется графически).

В третьих, максимальное отклонение в переходной период составляет 100% (определяется графически).


Рис.2.22. Результат моделирования переходного процесса для единичного импульсного воздействия
В заключении отметим, во-первых, что в настоящем параграфе изложен идеальный вариант компьютерной технологии синтеза САУ, когда и структура системы (количество варьируемых звеньев и типы передаточных функций) и значения параметров передаточных функций варьируемых звеньев изначально подобраны такими, при которых критерии качества управления приемлемы. На самом деле компьютерная технология синтеза – итерационная: на основании анализа критериев качества, полученных моделированием определённой структуры и для определённых параметров звеньев, с использованием опыта разработчика принимается решение об изменении тех, либо иных значений параметров.