Исходным является понятие величины

Ответ 1. Исходным является понятие величины.

Значения величины могут быть различными. Наиболее часто встречаются величины, принимающие числовые значения (скалярные величины) или векторные значения (векторные величины).

Если величина принимает одно и то же значение, то ее называют постоянной величиной, или постоянной. Пример: отношение длины окружности к радиусу является постоянной величиной (2  6,28), не зависящей от выбора окружности.

Если величина принимает различные значения, ее называют переменной величиной, или просто переменной. Переменная обычно обозначается одной буквой и при этом указывается, какие значения может принимать эта переменная, т. е. что можно подставлять вместо буквы, обозначающей переменную.

Когда есть несколько переменных, описывающих данное явление, то между ними могут быть зависимости, связывающие между собой значения переменных. Например, если R – радиус переменной окружности, l – ее длина, то переменные R и l зависимы – их отношение равно постоянному числу: = 2.

Среди зависимостей выделяется особый их вид, который называется функциональной зависимостью, или просто функцией. В этом случае выделяется одна из переменных (например, обозначенная y). Говорят, что данная зависимость определяет y как функцию остальных переменных, если каждый набор значений этих переменных позволяет однозначно определить значение y.

Если переменных всего две, и они обозначены x и y, то yсчитается функцией от x, если зависимость между x и y позволяет для каждого значения x однозначно найти связанное с ним значение y.

Ответ 2. Пусть y есть функция от x: y = f(x). Область определения функции – это множество значений переменной x (независимой переменной). Если правило вычисления значений функции записано в виде формулы, использующей известные нам операции, то считают, что область определения функции – это множество тех значений x, при которых можно последовательно применять эти операции. Например, чтобы найти область определения функции y = , надо посмотреть на последовательность применяемых операций: чтобы вычислить lg x, надо, чтобы выполнялось условие x > 0. Чтобы можно было поделить на x – 2, надо, чтобы x был отличен от 2. Чтобы можно было извлечь квадратный корень, надо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Оно является дробью, которая ≥ 0, если знаки lg x и x – 2 совпадают. Соберем вместе все условия, учтя, что lg 1 = 0 и при 0 < x < 1 логарифм отрицателен, а при x > 1 положителен.

1) 0 < x ≤ 1: lg x ≤ 0; x – 2 < 0;

2) 1 < x < 2: lg x > 0; x – 2 < 0;

3) 2 < x: lg x > 0; x – 2 > 0.

Ответ: (0; 1]  (2; +) (или 0 < x ≤ 1 и x > 2).

Область определения функции f будем в дальнейшем обозначать D(f).

Ответ 3. Множество значений функции – это совокупность всех значений y. Чтобы убедиться, что число y является значением функции, надо проверить, чтобы уравнение y = f(x) имело корни на области определения. Так, все значения функции y = x² являются действительными числами, но множество ее значений – это не R, а только подмножество R, состоящее из неотрицательных чисел.

Множество значений функции f мы в дальнейшем будем обозначать через E(f).