Исследование на устойчивость задачи винеровской фильтрации для дискретных сигналов липшица казарян М. Л

Теория и методы цифровой обработки сигналов


ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧИ ВИНЕРОВСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ ЛИПШИЦА

Казарян М.Л.

Северо-Осетинский государственный университет

Для уменьшения влияния помех при работе системы управления целесообразно в качестве одного из методов цифровой обработки сигналов рассмотреть задачу фильтрации. Задачу восстановления сигнала после применения фильтрации можно рассматривать как обратную (некорректно поставленную) задачу [1]. Отсюда естественным образом возникает задача использования метода регуляризации при использовании фильтрации исходного вектора. Проблемам теории некорректных задач посвящено много работ, из которых отметим монографии А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина [1], М.М. Лаврентьева и др. [2]. В данной работе рассматривается модификация известных обобщенных винеровских фильтров и применение метода регуляризации Тихонова к данной задаче предварительной обработки сигналов.

На рис. 1 приводится структурная схема одномерной модифицированной обобщенной системы винеровской фильтрации с регуляризацией.

а)

б)

Рис. 1. а) – модифицированная обобщенная модель винеровской фильтрации

б) - модифицированная обобщенная модель винеровской фильтрации с регуляризацией
Через обозначен входной N – вектор, который представляет собой сумму вектора данных и шумового вектора . Модифицированный винеровский фильтр А и модифицированный винеровский фильтр с регуляризацией представлены в виде матриц размерности . Ортогональное преобразование Т и обратное преобразование также записываются в виде матриц. Вектор представляет собой оценку х в задаче модифицированной винеровской фильтрации, вектор оценку в задаче модифицированной винеровской фильтрации с регуляризацией.

Основная задача заключается в создании такого регуляризирующего винеровского фильтра , чтобы математическое ожидание среднеквадратического отклонения от х было намного меньше математического ожидания среднеквадратического отклонения от х. При использовании винеровской фильтрации как одного из методов предварительной обработки сигнала, важное место занимает определение матрицы фильтра для различных ортогональных дискретных преобразований. Введем следующее обозначение: где - действительные числа, .

Утверждение 1:

При фильтрации сигнала наименее информативными являются:

- центральные компоненты спектра для преобразований Фурье и Хартли;

-последние компоненты спектра для дискретного косинусного преобразования (ДКП), дискретного синусного преобразования (ДСП), дискретного преобразования Уолша – Пэли (ДПУП), дискретного преобразования Уолша (ДПУ);

- компоненты спектра с номерами , где - длина сигнала, - отношение сигнал / шум для дискретного преобразования Уолша – Адамара (ДПУА).

С учетом утверждения 1 определим матрицу фильтра с регуляризацией и без регуляризации. Обозначим вектора ошибок: , т.е. среднеквадратические ошибки соответственно имеют вид: и . После необходимых выкладок имеем следующую матрицу оптимального фильтра: или , где .

В данном случае матрица R определяется следующим образом: , где - регуляризирующие множители, - регуляризирующий параметр.

Для каждого из ортогональных преобразований регуляризирующий множитель определяется соответственно следующим образом.

Для преобразования Фурье: .

Для преобразований Уолша: .

Для преобразования Хаара: .

Для расчета минимальной среднеквадратичной ошибки удобно представить ее в виде . (1). Проводя простейшие выкладки можно получить следующие соотношения: или (2)

Рассмотрим задачу расчета субоптимального фильтра как задачу оптимизации, в которой матрица фильтра выбирается исходя из минимизации (1), а также с учетом утверждения 1. Искомый скалярный фильтр получается, если на матрицу накладывать ограничение диагональности, т.е. если (3) является матрицей скалярного фильтра. После несложных выкладок получим вид субоптимального фильтра с регуляризацией с учетом результатов утверждения 1:

(4).

Среднеквадратическая ошибка субоптимального фильтра имеет вид:

(5).

Несложные выкладки позволят получить среднеквадратическую ошибку субоптимального фильтра с регуляризацией: (6).

Сравнивая выражения (5) и (6) можно заключить, что (7)

Перейдем к оцениванию погрешностей восстановления отфильтрованного сигнала посредством ДОП с регуляризацией и без регул яризации. Пусть T – матрица дискретного преобразования Фурье, х₁ , х₂ – исходные сигналы. Тогда в силу равенства Парсеваля и линейности преобразования Фурье, имеем , (8), где , - среднеквадратическая метрика. Если х – исходный сигнал, а - восстановленный после фильтрации сигнал, то имеет место равенство: Следовательно, для оценки погрешности при фильтрации сигналов достаточно иметь оценку вида . (9).

Если спектр сигнала рассматривать как исходный сигнал f = Tz, то после фильтрации, передачи и экстраполяции этот сигнал отличается от исходного сигнала (спектра), и это отличие можно с некоторой точностью устранить при помощи регуляризации исходного сигнала. Ошибка восстановления с регуляризацией имеет вид: (10), где k – заданное отношение сигнал/шум, f_r – исходный регуляризированный сигнал, - соответствующий отфильтрованный сигнал, α параметр регуляризации. Возникает задача нахождения оценки погрешности восстановления исходного сигнала х без регуляризации и с регуляризацией, т.е. сравнение (9) с равенством , (11), где - отфильтрованный и восстановленный сигнал, что согласно (8) эквивалентно задаче определения .Последующее утверждение посвящено получению оценок вида (9) – (11) для различных дискретных ортогональных преобразований и их сравнению.

Утверждение 2.

Справедливы следующие оценки для:

- дискретного преобразования Фурье (ДПФ)

- для дискретного преобразования Хартли (ДПХ)

- для дискретного косинусного преобразования (ДКП)

- для дискретного синусного преобразования (ДСП)

- для дискретного преобразования Уолша-Адамара (ДПУА), Уолша – Пэли (ДПУП), Уолша (ДПУ) (здесь отношение сигнал/шум равен 2^t)

Литература

1. А.Н. Тихонов. О регуляризации некорректно поставленных задач. // Докл. АН СССР, 1963, т.153, №1, с.49-52.

2. А.Н. Тихонов. Об устойчивых методах суммирования рядов Фурье. // Докл. АН СССР, 1964, т.156, №2, с.268-271.
RESEARCH ON STABILITY OF THE WIENER FILTRATION TASK FOR DISCRETE LIPSCHITZ SIGNALS

Kazaryan M.

Notrh-Osetian State University

In article application of the regularization method in a problem modified wiener filtrations of signals by means of discrete orthogonal transformations is investigated. There are parameters of the regularization for various discrete orthogonal transformations. In work features the filter of wiener are determined depending on spectral a component for different discrete orthogonal conversions. Estimations of errors of restoration of the filtered signal with regularization and without regularization are received. From the given estimations follows, that the signal restored with application of a method regularization of Tikhonov is closer to an initial signal rather than a signal restored without application of a method regularization .



Линейно-ограниченный алгоритм аффинных проекций с переменным шагом сходимости для адаптивных антенных решеток систем цифровой связи

Джиган В.И.

Государственное унитарное предприятие г. Москвы Научно-производственный центр

«Электронные вычислительно-информационные системы» (ГУП НПЦ «ЭЛВИС»)

а/я 19, Зеленоград, г. Москва, Россия 124460

Тел.: +7-499-731-1961. Эл. почта: [email protected] . Интернет: http://multicore.ru

С

Рис. 1. Адаптивная антенная решетка
егодня в системах связи все чаще в качестве антенн используются антенные решетки [1], что обусловлено рядом их преимуществ перед традиционными антеннами. Одним из этих преимуществ является способность антенных решеток подавлять сигналы источников внешних помех, находящихся в одной полосе частот с полезным сигналом. Антенные решетки, решающие эту задачу в условиях отсутствия информации о помехах, называются адаптивными (ААР). Подавление помех в ААР осуществляется за счет формирования провалов в диаграмме направленности (ДН) в направлениях на их источники. В основе функционирования ААР находятся алгоритмы адаптивной фильтрации, с помощью которых постоянно ведется расчет весовых коэффициентов и выходного сигнала антенной решетки.

В ААР систем связи (рис. 1) часто отсутствует возможность формирования так называемого опорного сигнала, используемого в большинстве алгоритмов адаптивной фильтрации. В таких случаях могут применяться алгоритмы, не требующие этого сигнала: с линейными ограничениями (Linearly Constrained, LC), если направление на источник полезного сигнала известно, или алгоритмы на основе критерия постоянства модуля огибающей полезного сигнала (Constant Modulus, CM), если принимаемые ААР сигналы обладают указанным свойством.

В [2] были представлены рекурсивные адаптивные алгоритмы по критерию наименьших квадратов (Recursive Least Squares, RLS) без опорного сигнала, одновременно использующие линейные ограничения и СМ-свойства обрабатываемых сигналов. Ограничения устраняют явление захвата помех, свойственное CM-алгоритмам, а также компенсируют фазовый сдвиг в выходном сигнале решетки, определяемый угловой ориентацией источника полезного сигнала и значениями весовых коэффициентов ААР.

Несмотря на то, что в системах связи, как правило, используются антенные решетки с небольшим числом антенн [2], при заданных и вычислительной мощности устройства, реализующего цифровую ААР, не всегда удается обеспечить требуемые скорости обработки сигналов и приема информации, что обусловлено квадратичной вычислительной сложностью RLS-алгоритмов . Увеличить эти скорости можно путем уменьшения вычислительной сложности алгоритмов управления ААР при условии, что качество функционирования ААР (длительность переходного процесса, уровень подавления помех в установившемся режиме и др.) остается приемлемым. Одним из таких алгоритмов является многоканальный LC алгоритм аффинных проекций (Affine Projection, AP) [3]. Вычислительная процедура этого алгоритма, модифицированного применительно к рассматриваемой задаче, приведена в табл. 1.

Таблица 1. LC СМ(2,2) AP-алгоритм

Вычисления	Ссылки
	(1.0)
	(1.1)
	(1.2)
	(1.3)
	(1.4)
	(1.5)
	(1.6)
	(1.7)
	(1.8)

Здесь – вектор входных сигналов ААР, – вектор весовых коэффициентов, – выходной сигнал, – индекс дискретного времени (номер отсчета обрабатываемых сигналов, совпадающий с номером итерации алгоритма), – шаг сходимости (в общем случае переменный), – параметр регуляризации обращения матрицы в уравнении (1.7), – размер проекции (длина скользящего окна, определяющая размер матрицы ), – ограничиваемый параметр (значение ДН в направлении на источник полезного сигнала : , – вектор искусственных сигналов ограничения , – пространственный набег фаз в элементах решетки (рис. 1), – расстояние между антеннами, – длина волны , – модуль огибающей информационных символов (постоянная величина для CM-сигналов, известная на приемной стороне).

Вычислительная сложность алгоритма (табл. 1) равна операциям умножения и операциям сложения. Арифметические операции являются комплексными. Здесь не учитывается сложность формирования и обращения матрицы . Обращение этой матрицы на каждой итерации может быть выполнено различными способами, например, рекурсивно в течение шагов с помощью леммы об обращении клеточных матриц [4]. Эта вычислительная процедура требует около умножений, сложений и делений.

Таким образом, по сравнению с LC RLS-алгоритмами [2] со сложностью, в алгоритме (табл. 1) достигается линейная вычислительная сложность . Это, например, при реализации алгоритма (табл. 1) на базе одной СБИС отечественного цифрового сигнального процессора 1892ВМ3Т для , позволяет строить цифровую ААР для приема сигналов PSK-4 со скоростью до 70 кбит/с, в то время как при реализации алгоритма [2] – только до 40 кбит/с.

а)	б)
в)	г)

Рис. 2. Результаты моделирования
На рис. 2 представлены результаты численного моделирования процессов подавления сигналов 2-х источников помех в линейной ААР с и . Антенные элементы решетки предполагались всенаправленными. В качестве полезного сигнала использовался сигнал PSK-4 с . Уровень этого сигнала был принят за 0 дБ. Направление его источник было выбрано как , а направления на источники помех были выбраны как и . Направления на источники помех совпадали с максимумами двух боковых лепестков антенной решетки, а направление основного лепестка совпадало с . Отношение сигнал-помеха для каждой из помех, моделируемых белым шумом, равнялось –20 дБ. Число отсчетов обрабатываемых сигналов на длительности информационного символа равнялось двум. На рис. 2 горизонтальная линия обозначает уровень ДН ААР в направлении на источник полезного сигнала (0 дБ, обеспечиваемый линейным ограничением), а кривые линии – уровни ДН в направлениях на источники помех на каждой итерации работы алгоритмов.

Параметр был выбран равным постоянному значению 0.0001. При этой величине алгоритмом (табл. 1) обеспечиваются примерно такие же значения провалов в ДН в направлениях на источники помех (рис. 2а – рис. 2в) как и в случае использования LC RLS-алгоритма [2] (рис. 2г). При (рис. 2а) алгоритм (табл. 1) соответствует LC нормализованному алгоритму по критерию наименьшего среднеквадратичного отклонения и характеризуется примерно в 8 раз большим по длительности переходным процессом по сравнению с LC RLS-алгоритмом. Значения позволяют уменьшить длительность LC AP-алгоритма примерно в 2 раза, причем значения практически не влияют на качество адаптации. Таким образом, при можно достичь меньшей вычислительной сложности LC AP-алгоритма по сравнению с LC RLS-алгоритмом.

Улучшить алгоритм (табл. 1) можно за счет использования переменного шага сходимости . Одним из возможных способов изменения в AP-алгоритмах является градиентный поиск [5]. Градиентное уравнение вычисления для алгоритма (табл. 1) формулируется как: , где – шаг сходимости. Вычислительная сложность этого уравнения примерно равна операциям умножения и операциям сложения на одну итерацию .

Таким образом, использование LC CM(2,2) AP-алгоритма (табл. 1) с изменяемым по градиентному закону шагом сходимости обеспечивает качество ААР, близкое к качеству LC CM(2,2) RLS-алгоритма [2], при меньшем числе арифметических операций, что при заданной вычислительной производительности устройства, реализующего алгоритмы, позволяет повысить скорость приема данных.

Литература

1. Godara L.C. Application of antenna arrays to mobile communications. II. Beam-forming and direction-of-arrival considerations // Proceedings of the IEEE. – 1997. – Vol. 85. – №8. – P. 1195–1245.

2. Джиган В.И. Одновременное использование нескольких критериев в адаптивных антенных решетках // Доклады 10-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения (DSPA-2008)» (Российская академия наук: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова, 26 – 28 марта 2008 г.). – Москва, 2008. – Том 1. – С. 168–172.

3. Джиган В.И. Уменьшение вычислительных затрат в линейно-ограниченном алгоритме аффинных проекций // Труды 60-й научной сессии, посвященной Дню Радио (Московский технический университет связи и информатики, 17 – 19 мая 2005 г.). – Москва, 2005. – Том 1. – С. 99–102.

4. Giordano A.A., Hsu F.M. Least square estimation with application to digital signal processing. – Canada, Toronto: John Wiley and Sons, Inc., 1985. – 412 p.

5. Djigan V.I. Improved fast affine projection algorithm with gradient adaptive step-size // Proceedings of the 3-rd International Conference on Antennas, Radiocommunication Systems & Means (ICARSM-97) (Voronezh Bureau of Antenna Design, 26 – 29 May 1997). – Voronezh, 1997. – Vol. 3. – P. 23–32.
Linearly constrained affine projection algorithm with variable step-size in adaptive arrays for digital communication

Djigan V.

Electronic VLSI Engineering & Embedded Systems (ELVEES) R&D; Center of Microelectronics

POB 19, Zelenograd, Moscow, Russia 124460

Tel.: +7-499-731-1961. E-mail: [email protected] . URL: http://multicore.ru

The using of Linear Constraints (LC) in Recursive Least Squares (RLS) algorithms for the processing of Constant Modulus (CM) signals in Adaptive Arrays (AA) was demonstrated in [1]. The algorithms provide efficient suppression of interferences, including ones correlated with desired CM signal, prevent tone capture phenomenon, which often arises in CM adaptive filtering algorithms, and due to a proper constraint remove a fixed phase shift in array output signal (constellation). It avoids the using of phase-locked loop for the phase removing. However, the LC CM RLS algorithms complexity is , where is the number of weights (antennas). So, if a DSP that implements a digital AA has a limited computational power, it is impossible to provide a required data-rate for some . The problem solution is to use adaptive filtering algorithms with less arithmetic complexity if their performance is satisfactory.

The paper considers a modified version of LC Affine Projection (AP) algorithm [2] as an alternative one to the algorithm [1]. Computation procedure of the LC AP algorithm is presented in Table 1. Here we refer to the Table and Figures, available in the extended Russian version of the paper.

Fig. 2 shows how AA with suppresses two white-noise interferences at and locations with signal-to-interference rations of –20 dB for each interference. Desired signal is PSK-4. The Directional Pattern (DP) dips toward the interferences in LC AP algorithm, Fig. 2a – Fig. 2c, are achieved about the same as those in LC RLS algorithm (Fig. 2d) by the proper selection of step-size. Transient response of LC AP algorithm can be decreased about 2 times comparing with case, if , where is projection size. Value does not effect on the improving of the algorithm efficiency.

The LC AP algorithm is improved by means of a variable step-size procedure [3]. Simulation shows that the transient response in variable step-size LC AP algorithm approaches to that of LC RLS algorithm (Fig. 2d), with DP dips decreasing of about 3-8 dB only.

References

1. Djigan V.I. “Adaptive arrays, simultaneously based on a few criteria”, Proceedings of the 10-th International Conference on Digital Signal Processing and its Applications (DSPA-2008). Russian Academy of Science: The Institute of Control Problems, Moscow, Russia, March 26 – 28, 2008, vol. 1, pp. 168–172.

2. Djigan V.I. “Computational complexity reducing in linearly-constrained affine projection algorithm”, Proceedings of the 60-th Radio Day Conference. Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, May 17 – 19, 2005, vol. 1, pp. 99–102.

3. Djigan V.I. “Improved fast affine projection algorithm with gradient adaptive step-size”, Proceedings of the 3-rd International Conference on Antennas, Radiocommunication Systems & Means (ICARSM-97). Voronezh Construction Bureau of Antenna Design, Voronezh, Russia, May 1997, vol. 3, pp. 23–32.



Модификации вейвлет-методов очистки от шума сигналов с особенностями и данных с нестационарным шумом

Князева Т.Н.

Институт аналитического приборостроения РАН

Введение. Многочисленные методы очистки от шума, предложенные в регрессионном анализе и вейвлет-анализе эффективны лишь для стационарного шума или предполагают стандартные нестационарные модели описания дисперсии шума, представляющие собой достаточно гладкую и, кроме того, известную кривую [1]. Однако результаты измерений многих физических процессов представляют собой аддитивную смесь квазидетерминированного сигнала и нестационарного шума, дисперсия которого изменяется в случайные моменты времени (гетероскедастический шум).

Реальные сигналы, например, медицинские, нередко содержат резкие изменения или особенности, которые необходимо восстановить из зашумленных данных. Чаще всего эти особенности содержат главную информацию о сигнале. При очистке от шума таких сигналов стандартными методами информация о тонких деталях пиков теряется, и в итоге мы получаем совершенно другой тип сигналов. Шумовая составляющая сосредоточена в основном на самых тонких уровнях вейвлет-разложения. При увеличении числа уровней скорость спадания вейвлет-коэффициентов (ВК) зависит от гладкости исходного сигнала. Если особенности представляются малым количеством отсчетов, то в вейвлет-области им соответствуют наибольшие ВК. Однако после обратного вейвлет-преобразования (ВП) модифицированных ВК в результате подавления шума наблюдается эффект Гиббса. Кроме того, если пик в исходном сигнале представляется большим количеством отсчетов, то в вейвлет-области на тонких уровнях соответствующие ему ВК будут на порядок меньше шума, то есть пик обнаружить нельзя. С увеличением числа уровней картина меняется, шумовые коэффициенты уменьшаются, а резкие изменения сигнала выделяются более отчетливо. Существующие методы не учитывают эти особенности. Для приведенных случаев необходимы некоторые модификации, основанные на ВП, изначально предназначенном для исследования нестационарных процессов, но с учетом нестационарности шума и наличия особенностей.

Для случая кусочно-постоянного уровня шума был разработан двухступенчатый способ очистки от шума [2], где на первом этапе на основе кластеризации ВК определяются все параметры модели погрешности с кусочно-постоянной дисперсией, а затем на втором этапе производится расчет модифицированных порогов для ВК по оцененным кластерам.

Очистка от шума сигналов с особенностями включает этап обнаружения резких пиков (с помощью максимально накладывающегося дискретного ВП [3] или анализа максимальных кривизн) и этап очистки от шума, основанный на сегментной очистке с фиксированными узлами. Данный метод позволяет уйти от эффекта Гиббса.

1. Удаление нестационарного шума из экспериментальных данных. ВП широко используется в задачах непараметрической регрессии для оценивания функции на основе наблюдений в дискретные моменты времени , , где - истинное значение сигнала, – объем выборки, - шумовая составляющая, распределенная по нормальному закону с параметрами , - среднеквадратическое отклонение (СКО) шума (в дальнейшем для простоты полагаем ). При этом стандартные гетероскедастические модели описания дисперсии погрешности измерений (шума) представляют собой достаточно гладкую и известную кривую.

При использовании вейвлетов, пороговое значение в алгоритмах удаления шума формируется на основании оценки СКО, вычисленной по всей выборке [4]. Однако это приводит к заметному снижению качества очистки на участках, где шум значительно отличается по СКО от глобально вычисленного значения.

В данном случае рассматривается задача удаления шума, дисперсия которого изменяется скачком в случайные моменты времени, т. е. - кусочно-постоянная функция: при значениях из некоторого замкнутого интервала, образующего -ый кластер, , - число кластеров, . Для этого в работе предлагается двухступенчатый способ очистки от шума, где на первом этапе на основе кластеризации (разбиения отсчетов на группы с близкими свойствами) ВК каждого уровня декомпозиции определяются группы данных с постоянной дисперсией, а затем на втором этапе производится расчет порогов для каждого кластера и пороговое удаление шума. При этом используется предложенное в [3] максимально накладывающееся дискретное вейвлет-преобразование (МНДВП) - “maximal overlap discrete wavelet transform”.

1.1 МНДВП. МНДВП является избыточным неортогональным преобразованием. Несмотря на это оно обеспечивает более качественную очистку от шума и обладает рядом преимуществ, в частности, инвариантностью относительно сдвига и способностью работать с выборками произвольного объема.

На первом уровне вейвлет-преобразования ВК и аппроксимирующие коэффициенты рассчитываются по формулам: , , (1),

где , - коэффициенты высокочастотного и низкочастотного фильтров соответственно. Они могут быть получены из фильтров Добеши , например, путем нормирования на , т.е. и , таким образом, что и , где - длина фильтра.

ВК и аппроксимирующие коэффициенты -го уровня вычисляются по формулам

, , (2),

при этом . Здесь замена аппроксимирующих коэффициентов начального уровня исходным сигналом имеет некоторую погрешность. Величина этой погрешности зависит от длины носителя вейвлета и частоты дискретизации сигнала. Эти два соотношения составляют пирамидальный алгоритм МНДВП. Обратное МНДВП вычисляется с помощью обратного пирамидального алгоритма по следующей формуле: . (3).

1.2. Алгоритм удаления нестационарного шума. На начальном этапе производится проверка данных на наличие в них шума с кусочно-постоянной дисперсией по ВК первого уровня декомпозиции (определенным по формуле (1)), соответствующим высокочастотной шумовой составляющей. Для этого ВК разбиваются на одинаковых интервалов с помощью окна выбранной длины, соблюдая компромисс между точностью оценивания дисперсии и возможностью отслеживания локальных изменений дисперсии. По каждому интервалу определяется выборочная дисперсия .

Затем проверяется гипотеза об однородности полученной последовательности из выборочных дисперсий . Известны способы проверки этой гипотезы: с использованием критериев Бартлетта [5], Кохрана или на основе вычисления нормализованной суммы квадратов дисперсий ВК первого уровня декомпозиции [3]. Если гипотеза отвергается, то шум гетероскедастический.

Традиционная схема удаления шума включает этапы ДВП, пороговую обработку ВК с вычислением порогов по глобальной дисперсии и обратного ДВП. Предлагается следующий модифицированный алгоритм удаления шума, который применяется в случае выполнения гипотезы о его гетероскедастичности.

Сначала выполняется прямое ДВП по формулам (2). Для снижения граничных эффектов на каждом уровне декомпозиции необходимо увеличивать выборку на длину фильтра слева и справа. Для этого можно использовать, например, полиномиальное или симметрическое продолжение в зависимости от вида сигнала [6].

На разных уровнях декомпозиции вследствие особенностей МНДВП границы кластеров сдвигаются, поэтому для корректной очистки сигнала от шума необходимо проводить кластеризацию на каждом уровне декомпозиции, вычисляя границы кластеров с одинаковой дисперсией. Предлагается использовать алгоритм, основанный на сравнении дисперсий с применением F-распределения Фишера [5] и дальнейшим уточнении границ. Преимущества этого алгоритма состоят в том, что, во-первых, он не требует априорного знания числа кластеров, которое автоматически определяется в процессе кластеризации, во-вторых, алгоритм обеспечивает высокую точность разделения выборки на кластеры за счет разработанной процедуры уточнения границ.

Сначала проводится предварительная кластеризация. На каждом уровне декомпозиции последовательность ВК разбивается на интервалов заданной длины (например, по 10 коэффициентов). Далее на каждом интервале определяется выборочная дисперсия (), где - номер интервала. Определяются все дисперсии, попадающие в доверительный интервал при заданном уровне значимости : , где - распределение Фишера с числом степеней свободы , - медиана из дисперсий. Из отобранных таким образом дисперсий вычисляется новая медиана и, в соответствии с приведенным неравенством, уточняются границы кластера. Удаляем из последовательности дисперсий те значения, которые вошли в сформированный кластер и затем процедура повторяется до тех пор, пока множество дисперсий не станет пустым. Соседние интервалы с дисперсиями, входящими в один кластер, объединяются и пересчитываются границы кластеров.

В результате выполнения алгоритма на разных уровнях декомпозиции может оказаться неодинаковое число кластеров , каждый из которых объединяет ВК с индексами, образующими не перекрывающиеся подмножества . В этих обозначениях ВК, входящие в – ый кластер – го уровня декомпозиции имеют индексы , т.е. . Это означает, в частности, что каждый кластер может включать в себя несколько участков коэффициентов с индексами, например, и т.п.

Так как начальная кластеризация проводилась по выборочным дисперсиям, рассчитанным на определенных интервалах, то на границах этих интервалов некоторые ВК могли попасть не в свой кластер, поэтому необходимо уточнение границ кластеров. Уточнение границ участков кластеров осуществляется путем минимизации или максимизации локальных дисперсий двух соседних кластеров при перемещении границы, которая их разделяет.

По полученным кластерам на каждом уровне декомпозиции пересчитываются дисперсии и вычисляются пороги. Формула расчета СКО для - го кластера на -ом уровне декомпозиции имеет вид

, где – среднее значение ВК, входящих в кластер , – число ВК в -ом кластере.

Пороговые значения рассчитываются в зависимости от выбранного типа порога. Например, если порог многоуровневый универсальный, то пороговые значения определяются для каждого уровня вейвлет-преобразования и для каждого кластера по формуле .

На следующем этапе, с учетом рассчитанных пороговых значений и выбранного правила усечения (сравнения с порогом) производится корректировка ВК. Например, если правило усечения жесткое [4], то вейвлет-коэффициенты, прошедшие пороговую обработку , вычисляются по формуле

где при .

На заключительном этапе выполняется обратное МНДВП, обеспечивающее восстановление исходного сигнала, используя измененные ВК всех уровней разложения и аппроксимирующие коэффициенты последнего уровня по формуле (3).

Рис. 1. Модель сигнала гауссовой формы: (а) полезный сигнал, (б) наблюдаемый сигнал. Подавление шума в наблюдаемом сигнале рис.1(б): (в) классическим методом, (г) предлагаемым методом.

На рис.1 приведены оценки функции , полученные двумя способами: путем удаления шума классическим методом с помощью общего порога (рис.1в) и предлагаемым методом с помощью порога, вычисленного по кластерам (рис.1г). Из рис. 1в видно, что участки сигнала, соответствующие самым зашумленным кластерам не очистились, поскольку общий порог оказался для данных кластеров ниже необходимого уровня. Рис. 1г показывает, что за счет вычисленного порога для каждого кластера удалось значительно подавить шум.

2. Сегментная очистка с фиксированными узлами от шума сигналов с особенностями.

Можно выделить две основные группы сигналов с особенностями:

1. 
   сигналы, имеющие значимые ВК на каждом масштабе разложения, то есть сигналы типа Step, Blocks (рис.2а), HeaviSine. ВК для сигнала Blocks показаны на рис.2б. Они принадлежат пространству Бесова, являются гладкими в пространственно неоднородном смысле, то есть имеют несколько особенностей, которые характеризуются узкой локализацией.
   
2. 
   сигналы, принадлежащие пространству Бесова, но при наложении шума на тонких уровнях не имеющие значительно отличающиеся по амплитуде ВК вблизи резких изменений. Данная группа включает сигналы Cusp (рис.2б) и Corner.
   

Рис. 2. Модель сигнала Blocks: (а) наблюдаемый сигнал, (б) ВК первого уровня сигнал рис.1(а),

(в) результаты очистки от шума предлагаемым методом.
Для первой группы сигналов сначала определяются резкие изменения на самом тонком уровне ВП. Положения особенностей будут соответствовать абсциссам наибольших ВК. При этом необходимо использовать фильтр Хаара, так как для других фильтров за счет их несимметричной формы положения максимумов могут сместиться. Затем производится очистка от шума с использованием стандартных методов для каждого сегмента в отдельности. Результаты очистки от шума представлены на рис.2в.

Рис. 3. Определение точки с максимальной кривизной сигнала Cusp и очищаемые сегменты.
Для второй группы сигналов абсцисса резкого изменения определяется по максимальной кривизне наблюдаемого сигнала, которая рассчитывается по формуле (для определения максимальных кривизн можно использовать и максимальные по модулю аппроксимирующие ВК, полученные в результате МНДВП). Далее массив кривизн для каждой точки сортируется по убыванию, и отображаются наибольшие кривизн, из которых выбирается необходимая позиция особенности для ее восстановления. Далее очистка от шума выполняется для каждого сегмента в отдельности. Если тренд оцениваемого сегмента имеет небольшой порядок (до 10 степени), то для очистки от шума можно использовать обычный метод наименьших квадратов (МНК). Например, на рис.3 абсцисса с максимальной кривизной точно соответствует особенности (на рис. выделена кружком), которая разбивает сигнал на два сегмента. Первый сегмент имеет тренд 2-го порядка (порядок тренда можно определить, используя информационные критерии AIC, BIC [7] и др.) и можно применить МНК. Далее последняя точка очищенного сегмента задается в виде ограничения при очистке от шума второго сегмента, в этом случае применяется МНК с ограничением. Результаты очистки от шума показаны на рис.4. В том случае, если оцениваемый сегмент имеет тренд высокого порядка, для него применяется очистка от шума с использованием МНДВП с учетом граничных эффектов, как было описано выше.

Рис. 4. Модель сигнала Cusp: (а) полезный сигнал, (б) наблюдаемый сигнал. Подавление шума в наблюдаемом сигнале рис.1(б): (в) предлагаемым методом, (г) классическим методом.

Заключение. Предложенные модификации методов очистки от шума расширяют возможности порогового удаления шума, позволяют практически полностью удалить локальный шум по сравнению с традиционными методами, восстановить особенности и избежать эффекта Гиббса.

Литература

1. 
   Rawlings J., Pantula S., Dickey D. Applied Regression Analysis. Spinger 1989. 658 p.
   
2. 
   Князева Т.Н., Новиков Л.В., Орешко Н.И. Удаление нестационарного шума из экспериментальных данных. Журнал «Научное приборостроение», 2008, том 18, №2, с.61-65.
   
3. 
   Percival D., Walden A. Wavelet methods for time series analysis. London: Cambridge University Press, 2000, 594 p.
   
4. 
   Donoho D., Johnstone I. Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage// J. Amer. Statist. Assoc. 1995. V.90. P. 1200-1224.
   
5. 
   Кобзарь. А.И. Прикладная математическая статистика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 816 с.
   
6. 
   Strang G., Nguyen T. Wavelets and Filter Banks. Boston: Wellesley-Cambridge Press, 1996. 512 p.
   
7. 
   McQuarrie A., Chin-Ling Tsai. Regression and time Series Model Selection. London: World Scientific Publishing, 1998. 455 p.
   

Modification of wavelet denosing of signals with singularities and data with non-stationary noise

Knyazeva T.

Institute of Analytic Instrument-making of the Russian Academy of Sciences

In real situations of data processing we often encounter the conditions when there are changes in the process of measurements. It leads to the fact that in various segments of observation the measurement errors belong to normal distribution, but with various dispersions. That is, we deal with the so-called heteroskedastic models. In this case, methods of denoising, based on standard wavelet technology, do not show good results. The two-level way of denoising has been developed in order to decide this problem (for a case of piecewise constant noise level). First of all, the parameters of error with piecewise constant dispersion on the basis of clusterization of wavelet coefficients are defined. Then, the calculation of the modified thresholds is made for wavelet coefficients on estimated clusters. Thus, for clusterization of wavelet coefficients the algorithm based on comparing the variances of calculated errors with application of F-distribution of Fisher and the further specification of borders is used. Advantages of this algorithm are that the number of clusters is not set a priori, and is automatically defined in clusterization process and the algorithm provides high accuracy of division of sample on clusters at the expense of the developed procedure of specification of borders.

Among real signals, for example, medical, there may be signals with sharp peaks, the so-called multipeak processes. When denoising such signals by standard methods the information about fine details of peaks is lost. As a result, we receive absolutely other type of signals, than it would be desirable. The noise component is concentrated basically at the most fine levels of wavelet decomposition. With the increase in the number of levels the speed of falling off of wavelet coefficients depends on smoothness of the original signal. Thus, if the peak in the original signal is represented a considerable number of counts then in wavelet domain at fine levels, wavelet coefficient corresponding to it will be one order lower then noise. Therefore, it is impossible to find the peak. With the increase in a number of levels the picture varies, noise coefficients decrease, and sharp changes of a signal are separated more distinctly. Therefore, modification including a stage of detection of sharp peaks (by means of maximal overlap discrete wavelet transform and analysis maximum curvature) and algorithm of denoising, based on segment denoising with the fixed knots, has been developed. Thus, the given method allows to avoid from Gibbs phenomenon.

Note that preliminary definition of singularities positions has important advantages for signal denoising with features. It allows us to perform denoising of difficult signals at each segment between singularities separately.



ЛИНЕАРИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНЫХ СИСТЕМ ИТЕРАЦИОННО-ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

Соловьева Е.Б., Дегтярев С.А.

Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет

Во многих областях техники решается задача линеаризации моделей устройств для подавления возникающих в них нелинейных искажений сигналов. Одним из эффективных способов линеаризации является нелинейная компенсация. Задача синтеза компенсатора состоит в построении его нелинейного оператора, действующего на операторное уравнение модели исходного нелинейного устройства таким образом, чтобы оператор результирующего устройства (каскадного соединения нелинейного устройства и компенсатора) был линейным.

Среди известных методов компенсации можно выделить большой класс методов «слепой» линеаризации моделей нелинейных устройств, выполняемой без «обучения» компенсатора: инверсия высокого порядка [1], метод фиксированной точки [2], метод корней уравнения Вольтерры [3], итерационно-операторный метод [4, 5].

В докладе представлены результаты применения итерационно-операторного метода для борьбы с нелинейными искажениями сигналов в рекурсивной модели электродинамического громкоговорителя. Отмечаются преимущества данного метода по сравнению с его аналогами. Даются рекомендации для упрощения выполняемой итерационно-операторной процедуры.

Операторная модель нелинейной рекурсивной системы и итерационно-операторная процедура ее линеаризации. Полагаем, что исходное устройство описано нелинейным рекурсивным уравнением , (1), где ,  входной и выходной сигналы устройства соответственно,  – нормированное дискретное время,   оператор смещения.

В уравнении (1) линейные операторы имеют вид , ,

нелинейные полиномиальные операторы:

, .

В рассматриваемом случае задача компенсации состоит в восстановлении сигнала из операторного уравнения (1) с заданной точностью.

Для формирования соотношения вход-выход компенсатора, действующего при разных способах его подключения к исходному нелинейному объекту (предкомпенсатор или посткомпенсатор), введем в рассмотрение входной и выходной сигналы компенсирующей цепи.

На основе равенства (1) и соотношений , запишем следующее нелинейное операторное уравнение исходного устройства: . (2)

Перенесем слагаемые из правой части равенства (2) в его левую часть, выполним инверсию полученного выражения и далее прибавим к его обеим частям сигнал . В результате преобразований выражение (2) переходит в равенство

, (3)

где – оператор линейной устойчивой внутренней подсистемы компенсатора, реализующий линейную свертку сигнала с бесконечной импульсной характеристикой, определяемой данным оператором. Очевидно, что операторному уравнению (3) соответствует разностное уравнение с бесконечным числом слагаемых.

На практике для перехода к конечному разностному уравнению инверсный оператор приближенно описывается выражением , (4), где , – отсчеты инверсной импульсной характеристики.

Решение нелинейного операторного уравнения (3) может быть получено методом последовательных приближений [6], который с учетом аппроксимации (4) дает следующую итерационную процедуру:

 1-я итерация , ;

 -я итерация

, . (5).

Приближенное нахождение решения нелинейного операторного уравнения (3) указанной итерационной процедурой, а также введение приближенного равенства (4) (усечение бесконечной импульсной характеристики подсистемы с оператором ) приводит к погрешности компенсации, которая отражается в замене выходного сигнала компенсатора на приближенный сигнал .

На рис. 1, а, б показаны схемы каскадного соединения нелинейного объекта с предкомпенсатором и посткомпенсатором соответственно.

Равенство (5) содержит две составляющие: 1  результат компенсации нелинейности исходного устройства, 2  погрешность линейной инверсии линейной нерекурсивной составляющей модели исходного устройства, обусловленная приближенным описанием инверсного оператора в выражении (4).

В силу того что уравнение (5) включает составляющую «2», влияние погрешности аппроксимации инверсного оператора на общую погрешность нелинейной компенсации существенно уменьшается. Следовательно, при нахождении решения нелинейного операторного уравнения (3) можно уменьшить величину памяти внутренней линейной инверсной подсистемы компенсатора, тем самым сократив вычислительные затраты на определение .

В работе [5] рассмотрено условие сходимости итерационно-операторной процедуры линеаризации рекурсивной модели нелинейного устройства, а также предложена укороченная итерационная процедура, согласно которой на -й итерации (5) вместо вычисления всех слагаемых оператора -й степени можно ограничиться вычислением слагаемых степени не выше .

Линеаризация рекурсивной модели электродинамического громкоговорителя. Нелинейная модель громкоговорителя имеет вид рекурсивного операторного уравнения (1), параметры которого указаны в [7]. Итерационно-операторным методом выполнена предкомпенсация (рис. 1, a) нелинейности громкоговорителя

при гармоническом воздействии ,  Гц, частота дискретизации  кГц;

при бигармоническом воздействии , где  Гц,  Гц, кГц.

Число отсчетов импульсной характеристики инверсной линейной подсистемы компенсатора равно 100.

Таблица 1

, Гц	, кГц	Метод фиксированной точки			Итерационно-операторный метод
300	8			2			7
	32			2			13
	64			11			21
900	8			2			9
	32			2			8
	64			1			9
	128			11			18

Для оценки точности компенсации вычислены равномерная и среднеквадратичная погрешности по формулам: , , где – точка начала расчета погрешностей в установившемся процессе выходного сигнала (рис. 1, а); – число отсчетов на периоде сигнала; – номер итерации.

В табл. 1, 2 указаны погрешности , в конце итерационного процесса при гармоническом и бигармоническом воздействиях соответственно.

Таблица 2

, кГц	Метод фиксированной точки			Итерационно-операторный метод
64			2			13
128			6			15
256			7			22
512			11			26

Из анализа табл. 1, 2 , а также в результате проведенных исследований установлено:

– итерационно-операторный метод обеспечивает существенно меньшие равномерную и среднеквадратичную погрешности компенсации по сравнению с методом фиксированной точки;

– при фиксированных частотах и равномерная и среднеквадратичная погрешности итерационно-операторной линеаризации не зависят от порядка линейной инверсной подсистемы компенсатора, что позволяет сократить вычислительные затраты без потери точности компенсации;

– несмотря на разные погрешности компенсации внутри итерационных процессов, усеченная и полная процедуры сходятся к решению операторного уравнения (3) с одинаковой погрешностью за одинаковое число итераций. При этом усеченная итерационно-операторная процедура реализуется с меньшими вычислительными затратами по сравнению с полной итерационной процедурой (в рассматриваемом примере сокращение составило 54 операции на отсчет сигнала).

Литература

1. On the convergence of Volterra filter equalizers using a pth-order inverse approach / Y. W. Fang, L. C. Jiao, X. D. Zhang, J. Pan // IEEE Trans. SP. 2001. Vol. 49, № 8. P. 17341744.

2. Nowak R.D., Van Veen B.D. Volterra filter equalization: a fixed point approach // IEEE Trans. SP. 1997. Vol. 45, № 2. P. 377388.

3. Redfern A.L., Zhou G.T. A root method for Volterra systems equalization // IEEE Signal Processing Letters. 1998. Vol. 5, № 11. P. 285288.

4. Соловьева Е.Б. Итерационный метод компенсации нелинейных искажений в каналах связи // Цифровая обработка сигналов. 2005. № 1. С. 2–8.