Министерство образования и науки РФ новосибирский государственный университет физический факультет Кафедра радиофизики М. Г. Федотов преобразование фурье и анализ линейных цепей и систем (учебное пособие)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет

Кафедра радиофизики

М.Г. Федотов

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И АНАЛИЗ

ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ И СИСТЕМ

(учебное пособие)

Часть I

Новосибирск

2010

Федотов М.Г.

Преобразование Фурье и анализ линейных цепей и систем. Часть 1

В пособии рассмотрены методы анализа распространения сигналов и возмущений через линейные инвариантные по времени и пространственно-инвариантные системы. Кроме того, на примерах простейшей электрической цепи и полупроводникового детектора рентгеновских изображений проиллюстрирована пригодность рассмотренных методов для расчета совершенно разных физических систем.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности "физика"
.
Учебно-методическое пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на 2009–2018 г. г.

 Новосибирский государственный университет, 2010

Введение
Данное пособие является, фактически, расширенным материалом одной лекции, читаемой на физическом факультете НГУ в рамках курса "Основы электротехники и радиоэлектроники".

А причиной, обусловившей выбор темы, стало не совсем удачное (на взгляд автора) представление преобразования Фурье в курсе математического анализа. Этот курс, отличаясь строгостью и последовательностью изложения, заостряет внимание на доказательствах и условиях применимости преобразования. Однако при этом в значительной мере "остаются за бортом" вопросы собственно применения - во всяком случае, оставались во времена студенчества автора.

Вероятно, сейчас ситуация изменилась не сильно - поскольку на очередной консультации перед экзаменом был задан вопрос: "Скажите - вот в программе преобразование Фурье. Да зачем оно вообще надо?".

Автор должен честно признаться, что "зачем" сам он понял только при попытке рассчитать искажения, возникающие в полупроводниковых детекторах рентгеновских изображений. Как оказалось, получавшиеся интегралы не могли быть выражены через простые функции времени или координат - однако они удивительным образом сводились к простейшим функциям при переходе к пространственным и временным частотам. Но поскольку автор не являлся (в значительной мере не является и сейчас) специалистом по работе в частотной области, существенно облегчила ему жизнь и сделала возможным дальнейшее продвижение замечательная книга - двухтомник "У. Прэтт. Цифровая обработка изображений"[1].

Эта книга - нечто среднее между учебником и обзором по методам обработки, и в значительной степени лишена математической строгости и полноты - за что - как признавались автору пособия в частной беседе математики - они ее не очень любят. В то же время изложенный математический аппарат ясно показывает связь между преобразованиями, их свойствами и практическими применениями, что делает книгу популярной у физиков. Во всяком случае, при попытке взять оригинал - "W.K. Pratt. Digital Image Processing" - в билиотеках ЦЕРН'а (Европейского центра ядерных исследований) выяснилось, что все экземпляры уже "куда-то пропали".

Действительно, эта книга сейчас - практически раритет, и может быть найдена разве что в Сети в виде нелицензионной (по нынешнему российскому законодательству) электронной копии. Кроме того, не смотря на широту применений рассматриваемых методов, книга посвящена, прежде всего, узкоспециальной теме - обработке изображений.

Поэтому в предлагаемом пособии предполагается в максимально понятной форме (т.е., как правило, без доказательств) изложить основные вопросы применения преобразования Фурье при анализе линейных инвариантных систем - в том числе, прохождения сигналов в линейных электрических цепях. Пособие будет опираться на математический аппарат и стиль изложения книги У. Прэтта и, от части, ряда других изданий - прежде всего, "У.М. Сиберт. Цепи Сигналы Системы"[2] и "П. Рабинер, Б. Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов"[3].

Предполагается, что данный "труд" будет последовательно написан в виде пяти блоков. Первый (предлагаемый в настоящее время вниманию читателей) блок посвящен методам расчета прохождения непрерывных сигналов через линейные системы.

Глава 1

Линейные системы с непрерывными сигналами.
1.1. Математическое представление непрерывных сигналов.
Большинство наблюдаемых процессов и объектов описываются как изменение в пространстве и времени каких-либо величин. Соответственно, таким процессам (объектам) могут быть сопоставлены некоторые функции F(x,y,z,t) трех пространственных координат x,y,z и времени t . В зависимости от конкретного процесса и способа его описания, функция F может быть как скаляром, так и вектором, функцией каких-либо дополнительных переменных или более сложной математической конструкцией.

Если в функции F(x,y,z,t) переменные x,y,z,t можно изменять независимо друг от друга и от других параметров процесса, то о них говорят как о независимых переменных. Если же какие-либо переменные оказываются функциями других переменных или параметров, их называют зависимыми переменными.

Диапазоны значений, в пределах которых могут изменяться переменные, на практике всегда ограничены - размерами объекта, длительностью процесса и временем его наблюдения или, в крайнем случае, величиной вселенной и временем ее жизни. Однако при математическом описании процесса переменные во многих случаях удобно рассматривать как неограниченные (например, изменяющиеся от - до +).

Сигналы и изображения
Сами процессы часто являются распространением каких-либо возмущений (изменений) - температуры, концентрации частиц, напряженности поля, т.д. - и, соответственно, могут описываться как распространение (изменение) некоторых сигналов.

При этом во многих случаях нет необходимости в описании процесса в трехмерном пространстве (т.к. часть переменных - либо зависимы, либо избыточны), и число пространственных переменных функции F(x,y,z,t) может быть уменьшено.

Например, формируемое объективом оптическое изображение есть распределение интенсивности потока излучения I(x,y,t) как функция двух пространственных координат и времени; ток i(t) в ветви электрической цепи есть функция только времени (число пространственных переменных сокращено до нуля).

Кроме того, во многих случаях интерес представляют (или могут регистрироваться) только пространственные распределения некоторых величин. В частности, фотография есть результат регистрации двумерного распределения световой энергии , полученной фотопленкой (или многоэлементным приемником изображения) за время экспозиции t=t₂-t₁.

В дальнейшем изложении под термином "сигналы" будут подразумеваться функции времени - в первую очередь, как отклик (реакция) F_o(t) физической системы на внешнее воздействие (возмущение) F_i(t).

При этом, в силу действия принципа причинности, в момент времени t₁ выходной сигнал F_o(t₁) системы может зависеть от сигнала F_i(t) в моменты времени - т.е. от входного сигнала в настоящий момент времени и в прошлом, но не может зависеть от будущих значений F_i(t).

Под "изображением" в дальнейшем, как правило, будет подразумеваться двумерное распределение F(x,y) ("яркость"), соответствующее пространственному распределению мощности какого-либо регистрируемого излучения. Аргумент t обычно будет опускаться, т.к. большинство систем регистрации и воспроизведения изображений работают либо с фиксированным (неизменным) изображением (фотография), либо с дискретным временем (кинематограф, телевидение).

Поскольку регистрируемая мощность всегда положительна¹, значение интенсивности (яркости) идеального изображения также всегда положительно. Как следствие, среднее значение яркости идеального изображения, определяемое как

(1.1.1)

(где S - площадь изображения), всегда >0.

На практике, правда, электронные системы регистрации иногда могут приписывать каким-либо зонам изображения отрицательные значения яркости (из-за действия шумов, ошибок передачи, т.д.).

Если изображение пространственно не ограничено (например, периодически продолжено по обеим координатам), то средним значением будет

. (1.1.2)

Но поскольку часто полагают, что F(x,y) интегрируема в бесконечных пределах и на бесконечности яркость обращается в ноль, то в этом случае и удобнее использовать интеграл изображения (его условный "заряд"):

. (1.1.3)

Кроме того, под условной ("математической") энергией такого изображения обычно понимают интеграл от квадрата модуля яркости

. (1.1.4)

Аналогичные средние значения могут быть введены и для сигналов (как функций времени). Соответственно, среднее значение сигнала на интервале его существования (регистрации) [t₁,t₂] (T=t₂-t₁):

. (1.1.5)

Или, для неограниченного (например, периодического сигнала)

. (1.1.6)

Если F(t) интегрируема в бесконечных пределах, то ее интеграл (условный "заряд")

(1.1.7)

действительно будет физическим зарядом в случае, когда сигнал - это ток в ветви электрической цепи.

Аналогично, если сигнал - это ток в омической нагрузке r, то его "энергия"

(1.1.8)

при домножении на r соответствует тепловой энергии, выделившейся в нагрузке.

Для заданных (детерминированных) сигналов и изображений их автокорреляционные функции определяются как

(1.1.9)

и

, (1.1.10)

где знак ^* обозначает комплексное сопряжение (в общем случае значения F могут быть комплексными). Сами функции R(t) и R(x,y) четные. При нулевом значении аргументов автокорреляционные функции переходят в соответствующие энергии (1.1.4) и (1.1.8).

1.2. Передающая система.
В том случае, когда развитие в системе какого-либо процесса является следствием внешнего воздействия, то эту систему можно представить как некий "черный ящик" - на вход которого поступает внешнее воздействие F_i(x,y,z,t), а на выходе появляется отклик (реакция системы) F_o(x,y,z,t) (рис.1).

Рис. 1. Представление искажающей (передающей) системы в виде "черного ящика", имеющего один вход и один выход.

Наличие у этой передающей системы только одного входа и одного выхода не ограничивает общности, поскольку функции F_i(x,y,z,t) и F_o(x,y,z,t) могут быть как скалярами, так и векторами либо матрицами.

В частности, при анализе электрической цепи F_i может быть вектором, элементами которого являются e_j(t) - значения действующих в цепи источников ЭДС. Как отклик системы в таком случае можно рассматривать вектор F_o, составленный из функций i_k(t), описывающих токи в ветвях этой цепи (здесь индексы j и k - номера источника и ветви).

Тем не менее, в дальнейшем изложении будет предполагаться, что F_i и F_o - скаляры и коммутативны в операциях умножения. Если F_i и F_o - вектора или матрицы, то все последующие рассуждения остаются в силе, однако порядок сомножителей при выводе всех соотношений необходимо специально отслеживать.

Появление под действием входного сигнала отклика на выходе системы можно рассматривать как результат действия на функцию F_i(x,y,z,t) некоторого математического оператора² Q{} , соответствующего данной физической системе:
. (1.2.1)
Характер действия оператора определяется исследуемой системой и может быть чрезвычайно сложным; не существует математических методов, позволяющих в общем случае аналитически находить связь F_i и F_o , даже если точная модель системы задана.

Но есть класс систем, для которых общий аналитический метод построения Q{} существует. Это - линейные инвариантные по времени и пространственно-инвариантные системы.

Линейные системы и линейные операторы.
Система является линейной, если для нее выполняется принцип суперпозиции (₁, ₂ - весовые коэффициенты - возможно комплексные - и не зависящие от переменных x,y,z,t):

. (1.2.2)
- т.е. сигнал, получаемый на выходе системы при воздействии на ее вход суммы нескольких сигналов, есть сумма выходных сигналов, получаемых при воздействии каждого из входных сигналов по отдельности. Кроме того, оператор системы коммутативен с операцией умножения на константу.

Очевидным примером линейной системы являются линейные электрические цепи, описываемые системами линейных интегро-дифференциальных уравнений, причем коэффициенты уравнений (а значит, параметры элементов цепи) ни явно, ни косвенно не зависят от значений токов и напряжений.

Линейными являются так же системы, описываемые уравнениями диффузии или системой уравнений Максвелла - естественно, при условии независимости коэффициентов уравнений от концентрации соответствующих частиц или напряженности полей.

Кроме того, многие нелинейные системы при распространении малых возмущений могут рассматриваться как линейные (например, нелинейные уравнения газовой динамики переходят в линейные уравнения акустики).

Обобщенные линейные системы
Обобщенная линейная система - нелинейная в общем случае система, действие которой каким-то преобразованием можно свести к действию линейной системы.

Наиболее известный тип обобщенных линейных систем - системы мультипликативные.

Например, если выходной сигнал системы есть произведение степеней входных воздействий
, (1.2.3)
то логарифмирование превращает эту систему в линейную с входными воздействиями и и весовыми множителями a и b :
. (1.2.4)
Восстановление свойств исходной системы осуществляется экспоненциальной функцией:
. (1.2.5)
Мультипликативностью обладает, например, действие набора нейтральных (не окрашенных) оптических фильтров на проходящий через них световой пучок. Действительно, если коэффициенты пропускания фильтров K₁ , K₂ ... K_n , то регистрируемая на выходе интенсивность света I_o будет связана с входной интенсивностью I_i как
, (1.2.6)
что после логарифмирования дает сумму
. (1.2.7)
Как мультипликативные часто можно рассматривать системы теневой рентгенографии. В них параллельный (или близкий к параллельному) пучок рентгеновского излучения проходит через исследуемый объект и создает на детекторе или фотопластинке теневое изображение этого объекта.

Если излучение монохроматическое, то его спектр в образце остается постоянным. Тогда линейный коэффициент ослабления излучения  в любой точке образца определяется ее элементным составом:
, (1.2.8)
где _j - содержание в данной точке j-того элемента (масса в единице объема), а _j - его массовый коэффициент ослабления (для излучения заданной длины волны). При этом каждый тонкий слой объекта будет действовать как отдельный ослабляющий фильтр в (1.2.6).

Соответственно, для какого-либо выделенного луча (тонкого пучка излучения) интенсивность I_o , регистрируемая детектором, связана с интенсивностью перед образцом I_i , как:

, (1.2.9)

где x - координата в объекте вдоль рассматриваемого луча.

Очевидно, что логарифмирование так же переводит эту систему в линейную относительно содержания входящих в образец элементов:
. (1.2.10)

Инвариантные по времени и пространственно-инвариантные системы
Инвариантность системы по времени (иначе - во времени) означает, что результат действия системы на входной сигнал не зависит от конкретного момента времени. Соответственно, при сдвиге входного сигнала по времени на интервал t выходной сигнал так же сдвинется на этот интервал, оставаясь в остальном неизменным. Т.е. если и , то .

Аналогично, для пространственно-инвариантной системы сдвиг входного воздействия в пространстве только вызывает такой же пространственный сдвиг отклика.

Часто пространственная инвариантность в системе может существовать вдоль одних направлений (координат) и не выполняться для других. Например, оптическое волокно, как передающая световой сигнал среда, будет обладать пространственной инвариантностью вдоль волокна и не будет - в поперечном направлении.

Как правило, если искажающая система описывается системой интегро-дифференциальных уравнений, то коэффициенты уравнений ни явно, ни косвенно не зависят от времени в случае инвариантности по времени и не зависят от соответствующих координат в случае пространственной инвариантности.

В частности, электрическая цепь будет инвариантной по времени, если параметры элементов цепи не изменяются со временем (значения сопротивлений, емкостей и индуктивностей не являются функциями времени).

1.3. Дельта-функция Дирака.
При анализе линейных систем удобно использовать математическую конструкцию (x), называемую -функцией. Эта конструкция была введена в употребление в 1927г. Полем Дираком, и в настоящий момент в математике ее относят либо к сингулярным операторам (т.е. к операторам, действующим в точке), либо к т. н. обобщенным функция.

-функция принимает значение 0 при любом ненулевом аргументе, и неограниченно возрастает в нуле:

, . (1.3.1)

При этом интеграл (x) по любой -окрестности нуля равен единице:

. (1.3.2)

Из выполнения этого соотношения при 0 следует наиболее важное свойство³ -функции - способность выносить непрерывную функцию A(x) из-под знака интеграла:

,

. (1.3.3)

Сама -функция является интегрируемой и дифференцируемой. Но обычно подчеркивают, что она не должна входить в окончательные выражения для реальных значений каких-либо физических величин, а все выражения, содержащие -функцию, либо должны стоять под знаком интеграла, либо должны быть проинтегрированы в дальнейшем.

Строят -функцию, как правило, в виде предела обычных функций, имеющих форму импульса ("колокола") единичной площади при неограниченных уменьшении ширины и увеличении амплитуды. Например, как предел функции Гаусса:
. (1.3.4)

Или пределы функции sinc(x)=sin(x)/(x) или функции Бесселя J₁:
(1.3.5)

. (1.3.6)

Наиболее простым оказывается представление в виде предела функции прямоугольного импульса единичной площади (рис.2):

(1.3.7)
, (1.3.8)

Рис.2. Функция прямоугольного импульса, переходящая при  в -функцию

и -функцию часто называют единичной импульсной функцией (функцией единичного импульса).

Аналогично одномерной вводятся многомерные -функции. Они являются разделимыми, т.е. могут быть представлены в виде произведения одномерных -функций. Так -функция от трех пространственных и временной координат будет:
. (1.3.9)


1.4. Импульсный отклик и функция рассеяния точки. Интеграл свертки. Выходной сигнал как наложение взвешенных импульсных откликов.
Введя вспомогательную переменную  представим входной сигнал F_i(t) линейной системы как "взвешенную сумму" -функций:

. (1.4.1)

В такой записи F_i() уже не является функцией времени, а выступает в роли "весового множителя" -функции в точке t= .

Если действие этой линейной системы описывается оператором Q{}, то ее выходной сигнал

. (1.4.2)

Поскольку интеграл является суммированием по бесконечно малым, а F_i() не зависит от времени, то оператор Q{} (в силу его линейности) можно внести под знак интеграла, где он действует на единственную функцию времени:

. (1.4.3)

Причем результат действия оператора системы на (t) :
(1.4.4)
есть выходной сигнал системы в момент времени t , вызванный поступлением на ее вход в момент времени  сигнала в виде -функции.

Интеграл (1.4.3) (интеграл суперпозиции) отражает тот факт, что через линейную систему сигналы проходят независимо (не взаимодействуя друг с другом). Поэтому, представив входной сигнал в виде суммы смещенных по времени -функций, можно получить сигнал на выходе системы как сумму смещенных выходных сигналов, вызываемых каждой из -функций по отдельности.

В общем случае H(t,) есть функция двух переменных t и . Однако, если искажающая система является линейной и инвариантной по времени (т.н. ЛИВ-системой), то H(t,) будет зависеть только от разности этих переменных (поскольку не должна изменяться при любом одинаковом смещении обеих переменных).

Отсюда следует, что для ЛИВ-системы H(t,)= H(t) и
(1.4.5)
- выходной сигнал системы при подаче на вход -импульса - называется импульсным откликом системы.

В этом случае интеграл (1.4.3) преобразуется в особую форму, называемую интегралом свертки (здесь - функций F_i(t) и H(t)):

, (1.4.6)

где знак  используется для обозначения операции свертки.

Таким образом, выходной сигнал линейной инвариантной во времени системы равен интегралу свертки входного воздействия F_i(t) с ее импульсным откликом .

Интеграл свертки симметричен:

. (1.4.7)

Можно так же отметить, что автокорреляционные функции детерминированных процессов (1.1.9) и (1.1.10) есть интегралы свертки сигналов с их комплексным сопряжением (с обращенными знаками переменных).

Приведенные выше соотношения легко распространить на системы с большей размерностью. В частности, в случае изображения интеграл суперпозиции примет вид

, (1.4.8)

где

. (1.4.9)
Если система обладает пространственной инвариантностью, то выражение (1.4.9) переходит в
, (1.4.10)
а (1.4.8) - в двумерный интеграл свертки:
. (1.4.11)
Функцию H(x,y) - результат преобразования системой изображения бесконечно яркого точечного источника (единичной интенсивности) - в оптике принято называть функцией рассеяния точки.

Аналогичным образом может быть построен интеграл суперпозиции и для линейной системы с тремя пространственными переменными и переменной времени. При наличии пространственной и временной инвариантности этот интеграл суперпозиции превратится в интеграл четырехмерной свертки.

Если линейная система инвариантна только по части переменных, то только соответствующая часть кратных интегралов в интеграле суперпозиции переходит в интегралы свертки. Например, если передающая изображение F_i(x,y) система инвариантна только по координате x, то интеграл (1.4.8) перейдет в
, (1.4.12)
где вместо функции рассеяния точки (1.4.10) стоит функция трех переменных
. (1.4.13)