«приближенные методы вычисления интегралов»

ПРИКЛАДНАЯ ПРОГРАММА

«ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ»
Автор: Уренцев Артем, 11 класс

Руководитель: Титова Людмила Ивановна, учитель информатики и ИКТ

Образовательное учреждение: лицей «Серпухов», г. Серпухов
Applied programmes “Approximate methods of counting definite integrals”

Urentsev A.
Изучая, интегральное исчисление в рамках школьного курса математики мне стало ясно, что задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики и физики.

В большинстве случаев при вычислении значения определенного интеграла не удается найти аналитической формулы. Даже если аналитическая формула находится, то она получается настолько сложной, что вычислять интеграл с ее помощью очень трудно. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений.

В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью.

У меня возник интерес и желание самостоятельно познакомиться с этими методами, и я поставил перед собой следующие задачи:

1. 
   Изучить приближенные методы численного интегрирования;
   
2. 
   Составить программу вычисления определенных интегралов в среде программирования Delphi
   
3. 
   С помощью программы оценить влияние числа разбиений интервала интегрирования на точность вычислений.
   

В рамках данной работы я самостоятельно познакомился с интерполяционными методами Ньютона-Котеса, а именно: методами левых, правых, средних прямоугольников, трапеций и методом Симпсона.

Первоначально расчет приближенных значений интегралов выполнял с использованием электронной таблицы Excel.

Ниже приведены результаты расчета интеграла

Количество отрезков Метод	N=10	N=20	N=30
Левых прямоугольников	0,2160	0,2141	0,2135
Правых прямоугольников	0,2087	0,2105	0,2111
Средних прямоугольников	0,2123	0,2123	0,2123
Трапеций	0,2124	0,2123	0,2123
Симпсона	0,2123	0,2123	0,2123

Таблица 1
Из Таблицы 1 видно, чем больше отрезков интегрирования (N), тем точнее рассчитывается значение интеграла. Для получения значения интеграла с большей точностью необходимо увеличение количества отрезков интегрирования, что значительно увеличит время поиска решения и повысится вероятность возникновения ошибок в расчетах. Следовательно, целесообразна разработка программы, предназначенной для расчета значений интегралов с заданной точностью.

Такую программу я написал в среде программирования Delphi. Она позволила просчитать значение интеграла при больших значениях N всеми упомянутыми методами. После небольшой доработки получилась программа, которую можно использовать на уроках математики (вычисление определенных интегралов) и информатики (математическое моделирование) в качестве электронного пособия. Данная программа содержит краткие теоретические сведения по численным методам вычисления интегралов, варианты заданий для самостоятельного решения учащимися. Программа содержит примеры выполнения заданий разными методами с помощью электронной таблицы Excel. В качестве вспомогательного материала программа содержит блок-схемы и программные коды методов. Для удобства проверки правильности выполнения учениками заданий предусмотрена программная проверка результата вычислений любым из методов. Ниже приведена структурная схема программы.


Численное интегрирование




Теория

Практика

Проверка

О программе

Выход




Методы Ньютона-Котеса


Метод прямоугольников





Погрешности методов

Метод трапеций




Метод Симпсона


Рис. 1 Структурная диаграмма программы

Заключение и выводы

Исследовав различные приближенные методы вычисления определенных интегралов можно сделать вывод, что ни один из этих методов не даёт нам точного значения, а только приближенное, но чем больше число N, тем точнее получаемый результат. Следовательно, для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание вероятности появления ошибок при ручном счете и диктует применение прикладных программ для решения подобных задач.

Анализируя результаты вычисления интегралов, полученные с помощью разработанной программы можно сделать вывод, что при увеличении N результаты расчетов по всем методам стремятся друг к другу и к точному результату.

Подводя краткий итог, видим, что задачу решает человек. Компьютер только быстрее и точнее человека производит необходимые вычисления по заданной программе. Но объем вычислений может оказаться столь большим, что без компьютера задачу решить невозможно. К тому же составленная однажды программа может использоваться неограниченное число раз с любыми значениями аргументов.
Литература

1. В.Д. Колдаев, Численные методы и программирование, М., ИД «ФОРУМ», 2008. – 336 с.