Примерный план занятий в терминальном классе по квантовой механике

Примерный план занятий в терминальном классе

по квантовой механике
Преподавателям и студентам желательно иметь учебное пособие “Компьютерный прак­тикум по квантовой механике” (Г.Л.Коткин, В.А.Ткаченко, О.А.Ткаченко – НГУ,1996). Перед первым занятием в терминальном классе преподаватель сообщает, как вводятся безразмерные переменные в уравнение Шредингера, как компьютер решает задачу о нахождении уровней. Возможно предварительное занятие – с программой, изображающей колебания цепочки грузиков (в классической механике).

Указанные здесь наборы параметров – жалкий минимум. Инициативный студент сумеет поставить и решить с помощью программ QUANT ещё много вопросов. Хорошее освоение материала – это способность отвечать на возникающие сходные вопросы уже без обращения к компьютеру.

1. 
   Одна или две потенциальные ямы – уровни энергии, волновые функции, распределение по импульсам.
   
   1. 
      Одна яма U_a = -20, a=3. Просмотреть уровни, волновые функции, распределения по импульсам.
      
   2. 
      Мелкая яма U_a=-20, a=0.1. При каком a возникает второй уровень? Как найти силу, действую­щую на стенку ямы?
      
   3. 
      Яма с U_a= -20, a=1. Какими окажутся уровни связанных состояний и их волновые функции в паре таких ям при расстоянии b=0.5 между ними.
      
   4. 
      Две узкие ямы U_a= -20, a=0.1, U_b=0, b=3. Зависимость E_n от b при изменении b от 0 до 3. Об­суждение ковалентной связи в молекуле H₂.
      
   5. 
      Две ямы U₁= -22, U₂= -20, a=0.1, U_b=0, b=3. Локализация состояний в разных ямах, аналогия с колебаниями связанных маятников.
      
   6. 
      Две ямы (U₁= -1, U₂= -20, a=1, U_b=0, b=0.5) постепенно изменяют свою глубину, так что в конце
      

концов окажется U₁= -20, U₂= -1. Как изменяются при этом уровни энергии и волновые функции?
2 Несколько потенциальных ям - зависимость уровней энергии от расстояния между ямами и от глубины отдельных ям. Локализация частицы вблизи примеси.
2.1. В яме Ua = -20, a=1 всего два уровня. Рассмотреть случай семи таких ям с расстоянием b=0.5 между ними. В этом случае имеется 13 связанных состояний. При b=0.3 один верхний уровень выталкивается, а при b=0.75 появляется 14-й уровень. Интересно попробовать предсказать вид нескольких характерных волновых функций, сопоставляя с нормальными колебаниями цепочки из семи грузиков.

2.2. Три узкие ямы U_a =-20, a=0.1, b=4, U_b =0. При поиске уровней энергии надо уменьшить шаг по энергии (HE=0.01).

2.3. Для двух ям U_a =-20, a=0.1 с расстоянием b=3 между ними и U_b =0 рассмотреть зависимость квадрата модуля волновой функции от времени, если в начальный момент волновая функция равна:

а)ψ ₁ +ψ₂ (перетекание частицы из одной ямы в другую)

для рисунка |Ψ (x,t) |² удобно выбрать масштаб по времени t_max = 1000;

б) ψ₂ +ψ₃ (биения внутри каждой ямы).

2.4. Будут ли состояния частиц в поле, образованном парой ям, делокализованы, если ямы разные, но некоторые уровни в этих ямах, рассматриваемых поодиночке, совпадают?

2.5. Шесть ям U_a =-20, a=1, b=0.7, U_b =0; сделав третью яму чуть глубже U₃ = -21 или мельче

U₃ =-19, обнаружить локализацию одного из состояний на этой примеси.

6. 
   Сравнить уровни и волновые функции в 10-12 узких ям на небольших расстояниях и в одной “усреднённой” яме.
   

3. 
   Появление зон в случае многих потенциальных ям.
   

Интересно сопоставить решение задачи о колебаниях цепочки грузиков с решением задачи об опре­делении уровней энергии в поле многих ям вариационным методом (в условиях, соответствующих приближению сильной связи ).
3.1. Семь ям U_a =-20, a=1, b=0.7 барьеры между ними возрастают от U_b =-20 до U_b =0. Возникает узкая нижняя зона, а в более широкой верхней зоне часть уровней выталкивается.

3.2. Попробуйте предсказать поведение уровней для семи ям U_a = -20, a=1, U_b=0, если ширины барьеров между ямами увеличиваются от значения b=0 до b=0.6.

3.3. Шесть ям U_a = -20, a=1, b=0.7, U_b =0; сделав третью яму чуть глубже U₃ = -21 или мельче

U₃ = -19, обнаружить локализацию одного из состояний на этой примеси.
4. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер, зависимость коэффициента прохождения и |ψ_E(x)|² от энергии, резонансы.
4.1. Найти коэффициент прохождения T(E) над ямой U_a =-20, a=3, первый пик функции T(E) уже, а остальные более широкие. Предсказать поведение T(E) для a= 5 и a=15. Предполагается, что эта задача решалась на семинаре аналитически.

Для случая U_a =-20, a=3 просмотреть зависимость | ψ_E(x)|² от энергии E в интервале от E=0 до E=30,

обратить внимание на то, что при T(E)=1 амплитуды волновой функции вне и внутри ямы сравниваются, что резко противоречит классической картине.

4.2. Для случая барьера U_a =10, a=0.5 просмотреть зависимость T(E) в интервале от E=0 до E=30.

4.3. Два барьера U_a =10, a=0.5 с расстоянием между ними b=1, U_b=0. В зависимости T(E) первый пик связан с основным квазиуровнем, второй --- с надбарьерным квазиуровнем. Такая система аналогична эталону Фабри-Перро или нейтронному интерференционному фильтру (чередование слоев: никель, насыщенный азотом, --- сплав Ti/Zr, см. Ядерная физика 1999 г., т.62, N^o5, стр.775 ).

Просмотреть зависимость |ψ _E(x)|² от энергии E в интервале от E=0 до E=30 с шагом HE=0.01, обратить внимание на то, что при T(E)=1 амплитуда волновой функции между барьерами велика. Сопоставить положение резонансов и уровней в яме с U_a =-10, a=0.5 .

4.4. Три барьера U_a =10, a=0.5 с расстоянием между ними b=1, U_b=0 и шагом HE=0.02. В зависимости T(E) происходит расщепление пиков, обнаруженных в предыдущем случае двух барьеров.

Просмотреть зависимость |ψ_E(x) |² от энергии E с шагом HE=0.01 в интервале значений E вблизи резонанса и в минимуме T(E) между пиками.

4.5. Рассмотреть случай многих (N=8, 12) барьеров предыдущего вида. В этом случае ясно проявляются зоны пропускания и запрещенные зоны почти полного отражения.
5. Периодическое поле, спектр, волновые функции.
5.1. В одной яме U_a =-20, a=1 имеется всего два уровня. В периодическом поле, построенном из таких ям с расстоянием b=0.5, U_b =0, появляются две зоны в области E<0. Для просмотра удобно выбрать масштаб U в интервале от –22 до +22 и такой же интервал для энергии E.

Просмотрите вид Re ψ(x) и Im ψ(x) для значений энергии, соответствующих дну нижней зоны, чуть выше и чуть ниже.

5.2. Просмотрите то же самое в трехмерном изображении, где на осях отложены x, Re ψ(x) и

Im ψ(x). Просмотрите то же самое в трехмерном изображении, где на осях отложены x, Re ψ_E(x) и Im ψ_E(x) при непрерывном изменении энергии в интервале, включающем и запрещенную зону.

5.3. Зависимость энергии от квазиимпульса E(q). В случае слабого периодического поля U_a =-0.5, a=1, b=1, U_b=+0.5 кривая E(q) представляет собой куски параболы с малыми разрывами. Интересен вид квадрата модуля волновой функции вблизи разрывов - на границах разрешенных зон.

5.4. Локализация состояний в периодическом поле, составленном из двух разных по глубине ям U₁=-10, U₂ = 0, U₃= -15, U₄= 0 при расстояниях d₁=1, d₂=0.3, d₃=1, d₄=0.3.

5.5 Просмотреть, как изменяется зависимость E(q) при формальном удвоении периода. Затем сделать ямы в периоде не одинаковыми.

5.5 Можно познакомиться также с пайерлсовской неустойчивостью.
6. Движение в центральном поле.
Используем программу QUANTS.

6.1. Уровни энергии в прямоугольной потенциальной яме.

6.2. Частица в “слое” (U₁=0, U₂ =-20, U₃= -15, d₁=1, d₂=0.3). Аналогия с

вращательными уровнями молекулы.

6.3. Гармонический осциллятор. Четность и кратности вырождения уровней.

6.4. Модель кулоновского поля.