Программа основного курса «Теория чисел»

Программа основного курса

«Теория чисел»

для студентов 4 года обучения, 7 семестр,

механико-математический факультет МГУ

1. Простые и составные числа. Теорема о существовании и единственности разложения целых чисел в произведение простых. Оценки Чебышева для функции (x).

2. Дзета-функция Римана и ее простейшие свойства. Тождество Эйлера, аналитическое продолжение в критическую полосу. Гипотеза Римана. Оценки дзета-функции, её производной и логарифмической производной в области . Асимптотический закон распределения простых чисел.

3. Характеры. L-функции Дирихле и их простейшие свойства, тождество Эйлера, аналитическое продолжение в область . Неравенство для неглавных характеров. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.

4. Алгебраические числа. Замкнутость множества алгебраических чисел относительно арифметических операций. Целые алгебраические числа и их свойства. Теорема о примитивном элементе. Степень конечного расширения. Алгебраическая замкнутость множества алгебраических чисел. Нормальные расширения. Группа Галуа. Норма в алгебраическом расширении.

5. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными. Примеры трансцендентных чисел. Иррациональность и трансцендентность чисел и . Проблема квадратуры круга.