Решение. Уравнение гармонического колебания точки имеет вид : x=Acos(ωt+φ) (1)

Решение задач, контрольных работ по физике.

№ 304

Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А=10 см и периодом Т=5 с. Определите для точки : 1) максимальную скорость, 2) максимальное ускорение.

Дано : A=10 см=0.1 м

Т=5 с

Найти : v_max , a_max

Решение.

Уравнение гармонического колебания точки имеет вид :

x=Acos(ωt+φ) (1)

Формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения :

v==dx/dt=-Aωsin(ωt+φ)

Максимальная скорость точки равна :

v_max=-Aω (2) , где А – амплитуда колебаний ; ω – круговая частота колебаний.

Круговая частота колебаний ω связана с периодом колебаний Т выражением :

ω=2π/T (3)

С учётом (3) формула (2) примет вид :

v_max=-2πA/T (4)

Ускорение точки найдём, взяв производную по времени от скорости :

a==dv/dt=-Aω²cos(ωt+φ)

Максимальное ускорение, равно :

a_max=-Aω² (5)

С учётом (3) перепишем формулу (5) в виде :

a_max=-4π²A/T² (6)

Производя вычисления по формулам (4) и (6), найдём максимальные скорость и ускорение точки.

v_max=-2×3.14×0.1/5=-0.13 м/с

a_max=-4×3.14²×0.1/5²=-0.16 м/с²

Ответ : v_max=-0.13 м/с ; a_max=-0.16 м/с²

№ 314

Волна с периодом Т=1.2 с и амплитудой колебания А=2 см распространяется со скоростью 15 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на расстоянии 45 м от источника волн в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло время t=4 с?

Дано : T=1.2 c

A=2 см=0.02 м

v=15 м/с

x=45 м

t=4 c

Найти : y

Решение.

Уравнение плоской волны имеет вид :

y(x,t)=Acos(ωt-kx) (1) , где y – смещение точек среды с координатой x в момент времени t ; ω – круговая частота ; k – волновое число.

Волновое число k связано с длиной волны λ выражением :

k=2π/λ (2) , где λ=vT ; v – скорость распространения колебаний ; T – период колебаний.

Циклическая частота ω связана с периодом Т выражением :

ω=2π/T (3)

С учётом (2) и (3) уравнение (1) примет вид :

y(x,t)=Acos(2πt/T-2πx/(vT))=Acos (4)

Вычисления по формуле (4), дают :

y(45 ; 4)=0.02×cos=0.01 м=1 см

Ответ : y(45 ; 4)=1 см.


№ 324

Определить радиус второго темного кольца Ньютона в отраженном свете, если прибор, состоящий из плосковыпуклой линзы с радиусом кривизны 8 м и плоской пластины освещается монохроматическим светом с длиной волны 640 нм.

Дано: λ=640 нм=6.5×10^-7 м

R=8 м

k=2

Найти: r₂.

Решение.



Радиус темных колец Ньютона в отражённом свете определяется формулой:

r_k= (1)

где k – номер кольца; R – радиус кривизны линзы; λ – длина волны.

3,2∙10^-3 м.

Ответ: r₂=3,2∙10^-3 м.

№ 334

Постоянная дифракционной решётки в n=4 раза больше длины световой волны монохроматического света, нормально падающего на её поверхность. Определить угол α между двумя первыми симметричными дифракционными максимумами.

Дано: n=4

k=1

Найти: α

Решение.



Постоянная дифракционной решётки d , длина волны λ и угол  отклонения лучей соответствующий К – му дифракционному максимуму, связаны соотношением

dsin=kλ , или sin=kλ/d (1)

где к – порядок максимума (в данном случае к=1). Учитывая, что λ/d=1/n перепишем формулу (1) в виде:

sin=k/n (2)

Из рисунка видно, что угол α равен удвоенному углу . Тогда формула (2) примет вид:

sin(α/2)=k/n , откуда α=2arcsin(k/n)

Подставим в последнюю формулу числовые значения и вычислим:

α=2arcsin(1/4)=29°

Ответ: α=29°.

№ 346

На сколько процентов уменьшается интенсивность света после прохождения через призму Николя, если потери света составляют 10%?

Дано : k=0.1

Найти : n%

Решение.


Естественный свет, падая на грань призмы Николя, расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два пучка : обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа. Плоскость колебаний обыкновенного пучка перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный пучок (о) вследствие полного отражения от грани AB отбрасывается на зачернённую поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок (е) проходит через призму. При этом интенсивность света уменьшается вследствие поглощения в веществе николя. Таким образом, интенсивность света, прошедшего через призму :

I₁=0.5I₀(1-k)

где k=0.1 – относительная потеря интенсивности света в николе ; I₀ – интенсивность естественного света, падающего на николь. Помощь на экзамене онлайн.

Относительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность I₀ естественного света, падающего на первый николь, на интенсивность I₁ поляризованного света :

(1)

Вычисления по формуле (1) дают :

=2.2

Процентное уменьшение интенсивности :

n%==54.5%

Ответ : при прохождения света через призму интенсивность уменьшится на 54.5%.

№ 356
Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.

Дано : n=1

Найти : λ

Решение.

Длина волны де Бройля λ частицы зависит от её импульса p и определяется формулой :

λ=2πħ/p (1)

Импульс частицы можно определить, если известна её скорость v. Связь импульса со скоростью для нерелятивистского (когда v<
p=m₀v (2) ; p= (3)

Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется соответственно в нерелятивистском и релятивистском случаях :

λ= (4) ; λ= (5)

Найдём скорость электрона на круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии, из следующих соображений. Согласно теории Бора, радиус r электронной орбиты и скорость v электрона на ней связаны равенством mvr=nħ. Так как нам требуется скорость электрона на первой орбите, то главное квантовое число n=1 и равенство примет вид :

mvr=ħ

Откуда скорость электрона :

v= (6)

где ħ – постоянная Планка (ħ=1.05×10^-34 Дж·с) ; m – масса покоя электрона

(m=9.11×10^-31 кг) ; a – радиус первой орбиты (а=5.29×10^-11 м – Боровский радиус).

Найдём скорость электрона, произведя вычисления по формуле (6) :

v= м/с

Следовательно, можно применить формулу (4). С учётом (6) формула (4) примет вид :

λ=2πa (7)

Вычисления по формуле (7) дают :

λ=2×3.14×5.29×10^-11=3.3×10^-10 м

Ответ : λ=3.3×10^-10 м.=0.33 нм.


Помощь на экзамене, зачете, тесте.