Теорема Виета
Исследовательская работа «Теорема Виета»
Теорема Виета для квадратного уравнения x2 + px + q = 0 позволяет вычислить сумму корней 1 = x1 + x2 и произведение корней 2 = x1x2 через коэффициенты квадратного трехчлена x2 + px + q:
1 = –p;
2 = q.
С помощью теоремы Виета можно угадывать целые корни квадратного уравнения, не пользуясь известной формулой.
1. Найдите устно корни следующих уравнений:
1) x2 – 5x + 6 = 0;
2) x2 + 5x + 4 = 0;
3) x2 + x – 2 = 0;
4) x2 – x – 6 = 0;
5) x2 + 6x + 8 = 0;
6) x2 – 2x – 15 = 0;
7) x2 – 10x + 21 = 0;
8) x2 – 5x – 36 = 0.
С помощью теоремы Виета можно выражать симметричные выражения от корней уравнения через его коэффициенты. Например, x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 =
= p2 – 2q.
2. Выразите следующие симметричные выражения от корней квадратного уравнения x2 + px + q = 0 через его коэффициенты:
1)
;2) x13 + x23;
3) (x1 – x2)2;
4) x14 + x24;
5)
;6) x15 + x25.
Теорема Виета легко обобщается для многочленов любой степени. Например, перемножив скобки в левой части тождества (x – x1) (x – x2)(x – x3) =
= x3 + px2 + qx + r, мы найдем следующие выражения:
1 = x1 + x2 + x3 = –p
2 = x1x2 + x2x3 + x3x1 = q
3 = x1 x2 x3 = –r
3. Применяя тождество (x1 + x2 + x3)2 = x12 + x22 + x32 + 2 (x1x2 + + x2x3 + x3x1), вычислите сумму квадратов корней следующих кубических уравнений:
1) x3 + x2 – 3x + 5 = 0;
2) x3 + 2x – 7 = 0.
О чем говорит то, что в ответе для второго уравнения получилось отрицательное число?
4. Докажите тождество для корней кубического уравнения x3 + qx + r = 0 (его сумма корней равна нулю): (x1 – x2)2 (x2 – x3)2 (x3 – x1)2 = –4q3 – 27r2.
5. Из предыдущего тождества выведите необходимое и достаточное условие для того, чтобы кубическое уравнение x3 + qx + r = 0 имело два равных корня.
страница 1
скачать
Другие похожие работы: