Учебное пособие по курсу «Математика»

Тема 1.1. События и вероятность ……………………………………… 6

1.1.1. Элементы комбинаторики ……………………………………….. …..6

1.1.2. События …………………………………………………………….. …..8

1.1.3. Понятие вероятности …………………………………………….. ….. 8

1.1.4. Алгебра событий ………………………………………………………10

1.1.5. Теорема сложения …………………………………………………… 11

1.1.6. Условные вероятности и теорема умножения ………………….. 12

1.1.7. Формула полной вероятности. Формулы Байеса ………………. 13

Тема 1.2. Повторение испытаний (схема Бернулли) ……………….15

1.2.1. Формула Бернулли …………………………………………………... 15

1.2.2. Формула Пуассона …………………………………………………….16

1.2.3. Локальная формула Лапласа ……………………………………….16

1.2.4. Интегральная формула Лапласа …………………………………...17

Тема 1.3. Случайные величины …………………………………………20

1.3.1. Дискретные случайные величины ………………………………….20

1.3.2. Непрерывные случайные величины ……………………………….23

Тема 1.4. Законы распределения случайных величин ……………27

1.4.1. Биномиальное распределение ……………………………………..27

1.4.2. Геометрическое распределение ……………………………………28

1.4.3. Распределение Пуассона ……………………………………………29

1.4.4. Равномерное распределение ……………………………………… 29

1.4.5. Показательное (экспоненциальное) распределение ……………30

1.4.6. Нормальное распределение ……………………………………….. 32

Тема 1.5. Система двух случайных величин …………………………35

1.5.1. Дискретные двумерные случайные величины …………………...35

1.5.2. Функция распределения двумерной случайной величины …….36

1.5.3. Непрерывные двумерные случайные величины ………………...37

1.5.4. Независимые и зависимые случайные величины.

Коэффициент корреляции …………………………………………...38

Тема 1.6. Закон больших чисел ………………………………………… 42

1.6.1. Неравенства Маркова и Чебышева ………………………………..42

1.6.2. Закон больших чисел …………………………………………………42

1.6.3. Теорема Бернулли …………………………………………………… 43

1.6.4. Понятие о центральной предельной теореме ………………….. 44

Тема 1.7. Цепи Маркова …………………………………………………….46

1.7.1. Понятие марковского случайного процесса ………………………46

1.7.2. Цепь Маркова с дискретным временем …………………………...47

1.7.3. Цепь Маркова с непрерывным временем …………………………49


Раздел 2. Математическая статистика …………………………………53

Тема 2.1. Вариационные ряды и их характеристики ……………… 54

2.1.1. Генеральная и выборочная совокупности ………………………...54

2.1.2. Вариационный ряд и его графические изображения ……………55

2.1.3. Числовые характеристики вариационных рядов ………………...60

Тема 2.2. Оценка параметров генеральной совокупности ……… 64

2.2.1. Точечные оценки параметров ……………………………………… 64

2.2.2. Основные законы распределения статистических оценок ……. 67

2.2.3. Интервальные оценки параметров …………………………………69

Тема 2.3. Проверка статистических гипотез ………………………… 72

2.3.1. Основные понятия и определения …………………………………72

2.3.2. Проверка гипотезы о равенстве средних значений ……………..75

2.3.3. Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий ……...76

2.3.4. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности.

Критерии согласия …………………………………………………….78

Тема 2.4. Однофакторный дисперсионный анализ ……………… 82

2.4.1. Понятие о дисперсионном анализе ………………………………..82

2.4.2. Факторная и остаточная дисперсии и их отыскание …………….82

2.4.3. Сравнение нескольких средних методом дисперсионного

анализа ………………………………………………………………….84

Тема 2.5. Корреляционно-регрессионный анализ ………………… 88

2.5.1. Формы представления исходных для анализа данных …………89

2.5.2. Выборочный коэффициент корреляции …………………………...90

2.5.3. Выборочное корреляционное отношение …………………………92

2.5.4. Линейная регрессия …………………………………………………..94

2.5.5. Статистический анализ уравнения регрессии ……………………95

Раздел 3. Экономико-математические методы и модели ……….100

Тема 3.1. Линейное программирование и линейные

математические модели ……………………………………..101

3.1.1. Графический метод решения задач линейного

программирования …………………………………………………..103

3.1.2. Симплекс-метод решения задач линейного

программирования …………………………………………………..106

3.1.3. Двойственность в линейном программировании ……………… 113

Тема 3.2. Транспортная задача …………………………………………118

3.2.1. Общая постановка транспортной задачи ………………………..118

3.2.2. Отыскание исходного опорного решения ………………………..119

3.2.3. Проверка опорного решения на оптимальность ………………..121

3.2.4. Переход от одного опорного решения к другому ………………122

3.2.5. Вырожденность в транспортных задачах ………………………..124

3.2.6. Открытая транспортная задача ……………………………………126

Тема 3.3. Целочисленное программирование ……………………...128

3.3.1. Графический метод решения задач целочисленного

программирования …………………………………………………..128
3.3.2. Метод Гомори решения задач целочисленного

программирования ………………………………………………….130

Тема 3.4. Нелинейное программирование ………………………….133

3.4.1. Графический метод решения задач нелинейного

программирования ………………………………………………….134

3.4.2. Метод множителей Лагранжа ……………………………………..136

Тема 3.5. Динамическое программирование ……………………….140

3.5.1. Оптимальное распределение ресурсов ………………………….141

3.5.2. Оптимальное распределение инвестиций ………………………142

Тема 3.6. Игровые методы обоснования решений

(матричные игры) ……………………………………………...148

3.6.1. Основные понятия теории игр ……………………………………..148

3.6.2. Графическое решение игр вида (2 х n) и (m х 2) ……………….152

3.6.3. Решение матричных игр методами линейного

программирования …………………………………………………..157

3.6.4. Игры с «природой» …………………………………………………..160

Литература …………………………………………………………………..163