Управление решения

УДК 517 (075.8) + 517.2

С.Шарипов, К.С.Шарипов
УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ (НАГРУЖЕННЫХ) УРАВНЕНИЙ СО СКОРОСТЬЮ
Введено понятие управления решения дифференциальных (нагруженных) уравнений со скоростью.
Одной из характеристик исследования разных процессов является скорость изменения величин участвующих в них. Это сказанное можно продемонстрировать, в частности, на задаче вида

(1)

(2)

В условии (2) не участвует условие, связанное с производной искомой функции y(t) , т.е. со скоростью изменения искомой функции y(t) в точке t.

С этой целью для этой задачи введем дополнительные условия, связанные с производной искомой функции y(t) в виде

(3)

Здесь

- заданные значения скорости (изменения) в точках

Тогда имеем задачу

(4)

(5)

Пусть p(t) – заданная непрерывная функция, а Q(t) – постоянная разрывная функция первого рода [1]

(6)

Ее можно записать и так:

(7)

тогда

(8)

(9)

Здесь

Поэтому даем определение для решения уравнения (8).

Решением дифференциального уравнения называется функция

, которая при подстановке ее (и ее исправленную производную) в уравнение (8) обращает его в тождество.

Отметим, что функции

(10)

являются первыми исправленными производными функции

(11)

В классе эквивалентных пар

таких, что

(12)

Решение уравнения (8) определяется формулой

(13)

Отсюда с учетом (9) следует, что

(14)

Чтобы использовать остальные условия, вычислим первую исправленную производную от (13)

(15)

С учетом (9), отсюда имеем систему относительно

вида

(16)

Из (14) и (16) имеем

(17)

Видно, что значение

зависит от

а значение

зависит от

и т.д.

Подставляя (17) в (13) и в (8) имеем функцию вида

(18)

которая является решением задачи (8)-(9).

Функция (разрывная) (6), с учетом (17), называется управляющей функцией, со скоростью, а

называются управляющими величинами со скоростью.

Итак, показана возможность управления решения задачи (8)-(9) со скоростью.

Нагруженное дифференциальное уравнение со скоростью.

Теперь рассмотрим случай когда правая часть Q(t) уравнения (4) имеет вид

(19)

неизвестные числа, которые являются значениями исправленной производной искомой функции

в точках

соответственно. Значит, управляющие величины со скоростью есть

В этом случае функцию (19) можно записать так

(20)

уравнение (4) с правой частью (20) называется нагруженным.

В этом случае имеем нагруженную задачу вида

(21)

(22)

найти

?

(

- неизвестные) (23)

Видно, что функция (19) является частным случаем функции (6), т.е.

(24)

Поэтому на основании формулы (17) имеем систему относительно исправленных производных

вида

(25)

Отсюда имеем

(26)

Аналогично находим и остальные

Таким образом, заданная функция p(t), начальное условие y₀ и нагруженная управляющая функция (20) заранее определяет величину значения исправленной производной