19 апреля Патриция Кан Обобщение коскобки Тураева, минимальный индекс самопересечения кривой на поверхности и виртуальные струны

19 апреля
Патриция Кан
Обобщение коскобки Тураева, минимальный индекс самопересечения
кривой на поверхности и виртуальные струны

 

В.Г.Тураев ввел понятие коскобки Ли D на свободном Z-модуле,
порожденном множеством свободных изотопических классов петель
на поверхности. Он также предположил, что D(A)=0 тогда и только
тогда, когда А является степенью примитивного класса. Час опровергла эту гипотезу, построив контрпримеры. Мы введем на Z –модуле операцию М, в духе пуассоновой алгебры хордовых диаграмм Андерсена-Маттеса-Решетихина. M можно рассматривать как обобщение коскобки Тураева D. Мы покажем, что для М выполняется вышеупомянутая гипотеза Тураева. Вместе операции М и D дают нижние оценки на минимальное число точек самопересечения для свободного гомотопического класса. Примеры Час показывают, что нижняя граница для числа точек, полученная с помощью коскобки D, не задается условием типа равенства. Мы докажем, что оценка, полученная с помощью М, задается, и, таким образом, М дает точную формулу для вычисления минимального числа самопересечений.
В конце доклада мы рассмотрим аналогичную задачу для виртуальных струн. Тураев определил коскобку D в случае виртуальных струн, и операцию М также можно перенести на этот случай. Мы покажем, что оценка на минимальное число самопересечений виртуальной струны, получаемая с помощью коскобки D, слабее оценки, даваемой М. Также мы покажем, что последняя не хуже, чем оценка с помощью матричного инварианта Тураева.