Анализ и синтез троичных и бинарных последовательностей простого периода с квазиидеальной автокорреляцией

Теория сигналов и систем


АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ТРОИЧНЫХ И БИНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПРОСТОГО ПЕРИОДА С КВАЗИИДЕАЛЬНОЙ АВТОКОРРЕЛЯЦИЕЙ
Гантмахер В.Е., Едемский В.А
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого
Введение

Троичные (ТП) и бинарные последовательности (БП) с идеальной периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ) широко используются в системах связи, радиолокации и гидролокации [1]. Одним из существенных недостатков известных ТП и БП является редкая сетка значений , для которых они существуют. В то же время для целого ряда прикладных задач целесообразно рассмотреть ТП и БП с квазиидеальной ПАКФ, то есть с относительно небольшими значениями боковых лепестков (БЛ) ПАКФ , где .

В [2] была изложена теория спектров разностей классов вычетов (СРКВ), которая является эффективным математическим аппаратом, позволяющим, в том числе, проводить анализ и синтез ТП и БП, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю, удовлетворяющих заданным ограничениям на уровни БЛ ПАКФ. В [3] предложена методика анализа и синтеза дискретно - кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю, заключающаяся в комплексном использовании теории СРКВ и циклотомических чисел. Данная методика позволяет рассчитывать рельефы ПАКФ ТП и БП посредством разложения периода на сумму квадратов целых чисел.
1. Анализ рельефов ПАКФ ТП и синтез ТП для и

Пусть - простое число и - класс степенных вычетов с номером , где - первообразный корень по модулю . СРКВ и обозначим через [2].

Рассмотрим ТП, сформированную по правилу кодирования (ПК):

(1)

Если , то и справедливо разложение:, , где - целые числа. Для определения рельефов ПАКФ ТП достаточно исследовать только два случая: и .

Если , то для ПАКФ ТП , согласно [2], справедливо соотношение:, где - оператор циклического сдвига Хаффмена. Согласно [3], гармоники СРКВ , где - натуральное число, совпадают с циклотомическими числами порядка , то есть матрица - строка СРКВ . Воспользовавшись явными формулами для циклотомических чисел четвертого порядка из [4], получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если и , то для ПАКФ ТП , сформированной по ПК (1), имеет два уровня БЛ , . Здесь - целое число.

Следствие 1.1. Если , то ТП, сформированная по ПК (1) для и будет иметь квазиидеальную двухуровневую ПАКФ , .

Ряд значений , удовлетворяющих условиям следствия 1.1 [2]: 29, 53, 173, 229, 293,733,1093, 1229, 1373,…. показывает, что рассматриваемые ТП имеют достаточно плотную сетку периодов.

Теорема 2. Если , то ТП , сформированная по ПК (1) с периодом для , имеет двухуровневую ПАКФ , .

Следствие 2.1. Если , то ТП, сформированная по ПК (1) для и , будет иметь квазиидеальную двухуровневую ПАКФ , .

Ряд значений , удовлетворяющих условиям следствия 1.2 [2]: 17, 37, 101, 197, 257, 401, 677,1297, 1601,… показывает, что рассматриваемые ТП также имеют достаточно плотную сетку периодов.

Рассмотрим ПАКФ ТП, сформированной по ПК (1) для . Если , то справедливо разложение:, , где - целые числа.

Теорема 3. Если , , то ТП с периодом , где - целое число имеет двухуровневую ПАКФ , относительно ПК (1) и пик-фактор .

Следствие 3. 1. При , ТП с периодом имеет квазиидеальную двухуровневую ПАКФ , относительно ПК (1) и пик-фактор .

Приведем несколько значений , удовлетворяющих условиям теоремы 3 [2]:

31,79,151,367,1087,1327,.. Из приведенного ряда значений следует, что рассматриваемые ТП имеют достаточно плотную сетку периодов.

Следствие 3.2. При , ТП с периодом имеет квазиидеальную двухуровневую ПАКФ , относительно ПК (1) и пик-фактор .

Теоремы 1-3 позволяют найти «семейства» ТП с одинаковыми рельефами ПАКФ. На основе комплексного использования СРКВ и циклотомических чисел, определены рельефы ПАКФ для ТП сформированных на основе степенных классов вычетов по модулю для . Сформулированы новые и обобщены известные ПК ТП с квазиидеальной ПАКФ.
2. Анализ рельефов ПАКФ БП и синтез БП с квазиидеальной ПАКФ, сформированных на основе классов вычетов по модулю для и

Рассмотрим БП , сформированную по ПК:

(2)

При возможно 20 вариантов упорядоченных троек индексов , которые, с учетом циклических сдвигов, можно разбить на 4 множества:

. В первом случае ДП соответствует множеству квадратичных вычетов (невычетов), ее ПАКФ изучена [1]. Четвертый - сводится к третьему заменой на и был изучен Холлом [4]. Таким образом, для определения возможных рельефов ПАКФ БП достаточно исследовать только .

Теорема 4. Если , то уровни БЛ ПАКФ БП, сформированной по ПК (2) для нечетного и , определяются следующими формулами:

, .

Следствие 4.1. Для значения ПАКФ БП , сформированной по ПК (2) при , принадлежат множеству в случае, когда период БП определяется следующими формулами: 1) , 2) , где - целое число.

Условиям следствия 4.1 удовлетворяют периоды: 19, 79, 139, 163, 607, 1063,…

Теорема 5. Если , то уровни БЛ ПАКФ БП, сформированной по ПК (2) для четного и , определяются следующими формулами: , , ,.

Следствие 5.1. Если , то для БП , сформированной по ПК (2) при значения ПАКФ принадлежат множеству , если: 1) , 2) , где - целое число.

Условиям следствия 4.1 удовлетворяют периоды: 37, 97, 313, 349, 709, 877, 937, 1129, ..

Исследуем БП при , нечетном . В этом случае справедливо разложение: , , где - целые числа.

Пусть БП , сформирована по ПК:

(3)

Воспользовавшись формулами для вычисления циклотомических чисел восьмого порядка [4] для расчета соответствующих СРКВ, получаем следующую теорему.

Теорема 6. Если , то значения ПАКФ БП , сформированной по ПК (3) при , принадлежат множеству , если , множеству , если , множеству , если и, для указанных периодов, соответственно множествам , , , если. При достаточно больших периодах , БП является квазиидеальной.

Ряд значений , удовлетворяющих условиям теоремы 6: 73, 89, 1913, 5689, 26633, 80153, 41, 457, 27241, 60041, 525641, 137, 5641, 84697, 156041…. показывает, что рассматриваемые БП имеют достаточно плотную сетку периодов.

Определены рельефы ПАКФ для БП, сформированных на основе классов степенных вычетов по модулю для . Найдены семейства БП с одинаковым рельефом ПАКФ, имеющие одинаковые формулы для вычисления периода , боковых лепестков ПАКФ ().

Литература

1. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М. "Радио и связь". 1992 г. 162 с.

2. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

3. Гантмахер В.Е., Едемский В.А.. Результаты синтеза пар двоичных последовательностей простого периода с одноуровневой и двухуровневой взаимной корреляцией. Известия вузов. Радиоэлектроника. 2006, вып. 5,с. 26-33

4. Холл М. Комбинаторика. М. «Мир». 1970. 423 с.


ANALYSIS AND SYNTHESIS OF TERNARY AND BINARY SEQUENCES OF SIMPLE PERIOD WITH QUASI-IDEAL AUTOCORRELATION

Gantmaher V.,Edemsky V.

Novgorod State University
Ternary and binary sequences with ideal periodical autocorrelation function are used widely in communication, radiolocation and hydrolocation systems. One of considerable disadvantages of well-known ternary and binary sequences is infrequent grid of periods for which they are exist. In the same time for a number of cases it can be expedient to examine ternary and binary sequences with quasi-ideal periodical autocorrelation function , that is with relatively small values of side leafs , where . As a result for used in application ternary and binary sequences grid of periods consolidates.

There developed methodology of analysis and synthesis of discretely coded sequences formed on base of classes of power residues on simple module, which consists in complex using of spectrum power residues theory [1] and cyclotomic numbers [2]. It serves as effective mathematical apparatus [3] on periodical autocorrelation function computation for ternary and binary sequences formed on base of classes of power residues. Computation results allow to form ternary and binary sequences meeting input restraints on side leafs levels. Complex methodology permit to computate ternary and binary sequences periodical autocorrelation functions reliefs by means of sequence period expansion to sums of squares of whole numbers.

As s result of using above-mentioned complex technique were defined periodical autocorrelation functions reliefs of ternary sequences formed on base of classes of power residues on simple module for . Families of ternary sequences were obtained with identical periodical autocorrelation functions reliefs, identical computational formula for period and side leafs periodical autocorrelation function ().

Complex using of spectrum power residues theory and cyclotomic numbers allowed to define sufficient conditions for existing of ternary sequences formed on base of classes of power residues on simple module для , with quasi-ideal periodical autocorrelation function, side leafs of which are less than threshold value and with considerably dense period grid. The proposed technique substantially widens the possibilities of well-known coding rules and lets to formulate new coding rules for ternary sequences with period and with quasi-ideal periodical autocorrelation function.

Using of spectrum power residues theory and cyclotomic numbers allows to define periodical autocorrelation function reliefs for binary sequences formed on base of classes of power residues on simple module for . Families of binary sequences were obtained with identical periodical autocorrelation function reliefs, identical computational formula for period and side leafs periodical autocorrelation function (). Sufficient conditions for existing of binary sequences formed on base of classes of power residues on simple module for , with quasi-ideal periodical autocorrelation function and considerably dense period grid were obtained. For binary sequences with quasi-ideal periodical autocorrelation function new coding rules were found and known rules generalized.

The efficiency of given methods and performed research is confirmed by multiple examples.

Source list

1. Gantmaher V.E., Bistrov N.E., Chebotarev D.V. Noise-like signals. Analysis, synthesis, processing. SPB.: Science and technic, 2005. 400 p.

2. Holl M. Combinatorial analysis. M. «World». 1970. 423 p.

3. Gantmaher V.E., Edemsky V.A. Synthesis results of pairs of binary simple period sequences with one-level and two-level mutual correlation. Proceedings of colleges. Radio electronics. 2006 , op. 5, p. 26-33.



О взаимной корреляции некоторых пар почти идеальных троичных последовательностей

Кренгель Е.И.

ООО «Кедах Электроникс Инжиниринг»

Россия, Москва, тел. (495) 530.0102, E-mail: [email protected]

Последовательности с идеальной и почти идеальной периодической автокорреляционной функцией широко используются для синхронизации и оценки параметров каналов в системах мобильной связи, а также для определения дальности в радиолокации [1,2]. Кроме того, на основе циклических сдвигов этих последовательностей длины N могут быть построены системы ортогональных последовательностей с объемом N для идеальных и N/2 для почти идеальных последовательностей. Напомним, что последовательность x={x_i} длины N называется идеальной, если ее периодическая автокорреляционная функция при всех ненулевых сдвигах равна нулю, и почти идеальной, если равна нулю при всех ненулевых сдвигах, кроме одного [1].

Недавно были получены новые почти идеальные троичные (APT) последовательности длины 4(p^m+1) с 4-мя (2-мя) нулями, которые существенно дополняют известные APT последовательности длины 2(p^m+1) [3].

Целью настоящей работы является исследование взаимной корреляции некоторых пар APT последовательностей длины 4(p^m+1).

Пусть x есть элемент поля GF(pⁿ) и n=2m. Тогда функция есть след элемента x в подполе GF(p^m) поля GF(pⁿ). Пусть s есть p-ичная m-последовательность длины p^2m –1 с элементами s_i=, 0i<pⁿ-1. Рассмотрим матрицу декомпозиции последовательности s по столбцам, состоящую из T= (pⁿ-1)/( p^m-1)= p^m+1 строк и p^m-1 столбцов [4]. Строками матрицы являются последовательность из всех нулей и циклические сдвиги некоторой короткой p-ичной m-последовательности длины p^m-1. Тогда последовательность

e, где 0i<T–1, есть последовательность сдвигов, элементы которой определяют значения циклических сдвигов строк матрицы декомпозиции относительно некоторой исходной m-последовательности длины p^m-1, причем символ  указывает на последовательность из всех нулей [4].

Введем расширенную последовательность сдвигов e_р=(e₀, e₁, e₂, …e_T-1, e_T, e_T+1,… e_2T-1,…), где e_i+jT(e_i+j) mod p^m-1 (2) для i=0,1,2, … T-1, j=0,1,…,p^m-2.

Согласно основному свойству последовательности сдвигов [4] для любого ifT, f(p^m-1), каждый элемент из (p^m-1) появляется в разности (e_j+i-e_j) mod (p^m-1), j(T) точно p^n-2m= p^2m-2m=1 раз.

Лемма (без доказательств)

e_T/2=  и e_iT/2  , e_i- e_T-ii-1mod p^m –1, 0i< p^2m –1.

Пусть p>2 есть простое и a есть примитивный элемент поля GF(pⁿ), где n=2m, m1, и p^m-1 кратно 4. Пусть  - примитивный элемент GF(p^m) и T= (pⁿ-1)/(p^m-1)= p^m+1. Тогда согласно [3] последовательность b, задаваемая правилом , i=0,1…., 4T-1 , (3), где

, ind_ x – индекс (логарифм) x по основанию , а u  – max {n n  u, n – целое}, есть сбалансированная APT последовательность длины 4(p^m+1) с 4 нулями.

Заметим, что при подстановке b₀=1(-1) и b_5T/2=1(-1) получаем APT последовательность с двумя нулями.

Теорема

Пусть b ={b_i}, i=0,…,4(p^m+1)-1 есть APT последовательность (3) длины N=4(p^m+1). Тогда

1. Последовательность c={b_{id mod N}}, d=p^m+2 (5) является APT последовательностью, изоморфной последовательности b.

2. Периодическая взаимно-корреляционная функция последовательностей b и c при всех нечетных сдвигах равна нулю.

Доказательство

1. В [5] было показано, что если d децимация, т.е. (d, N)=1, то последовательность c есть APT последовательность. При этом последовательности b и c могут быть как автоморфными (совпадающими с точностью до сдвига) так и изоморфными (несовпадающими при любом сдвиге) последовательностями. случае d=p^m+2 имеем (p^m+2, p^m+1)=1. Отсюда, следует, что (p^m+2, 4(p^m+1))=1, т.е. d - децимация. Согласно [5] APT последовательности (3), соответствующие элементам децимациям d _k и d_l, совпадают с точностью до сдвига, если выполняется одно из следующих условий:

1. 
   d_k-d_l4tT mod pⁿ-1 ;
   
2. 
   d_k d_l p^f mod pⁿ-1;
   
3. 
   d_kd_l p^f +4tT mod pⁿ-1, t0, где t, u, f – положительные целые числа.
   

Нетрудно убедиться, что при d _k =1 и d_l=d, ни одно из условий 1-3 не выполняется. Следовательно, последовательности b и c изоморфны.

2. Рассмотрим декомпозицию последовательностей b и c. Очевидно, что ненулевые строки декомпозиций b и c являются сдвигами 4-х значной последовательности 1 1 –1 –1. Обозначим последовательности сдвигов последовательностей b и c соответственно через и , причем . Анализ показывает, что элементы последовательностей e^b и e^c связаны между собой следующими соотношениями:

; ; ; (6)

где 0j(T-1)/4. Очевидно, взаимная корреляция между последовательностями b и c будет определяться разностями соответствующих элементов их последовательностей сдвигов. Из соотношений (6) следует, что при нулевом сдвиге ненулевой вклад во взаимную корреляцию будут давать все строки с номерами 1+4j и 3+4j, за исключением T/2. Причем при четных значениях () этот вклад равен 4 (-4), а при нечетных соответственно -4 (4).

Рассмотрим теперь периодическую взаимную корреляцию нечетно-сдвинутой на i=2k+1 последовательности b и последовательности c, т.е. последовательностей {b_i+j} и {c_j}. Представим последовательность {b_i+j} в виде последовательности сдвигов . Нетрудно убедиться, что вклад во взаимную корреляцию двух любых ненулевых строк l и u декомпозиций {b_i+j} и {c_j} будет нулевым, если выполняется следующее соотношение: .

Очевидно, что взаимная корреляция может быть сведена к анализу разностей соответствующих элементов последовательностей сдвигов и . С учетом того, что i=fT+r, где 0f<4 и 1r=2+1<T, сгруппируем эти разности по парно в виде двух подмножеств ₁ и ₂ , определенных ниже:

₁ ₂

и | и

и | и

……………………….. |

и | и в

…………………………… |

для всех 0u<(T-r+1)/2. | для всех 1u(r-1)/2.

Для нулевой строки матрицы декомпозиции последовательности b имеем (r+u)=T/2 или (r-u)=T/2. Очевидно, что в этом случае вклады во взаимную корреляцию пар и или и равны нулю, поскольку и

Для ненулевых строк матрицы декомпозиции рассмотрим отдельно по парные суммы разностей из ₁ (0u<(T-r+1)/2 ) и ₂ (1u(r-1)/2).

I. ₁.

Тогда в силу (6) имеем . Далее, из (2), (6) и Леммы следует . Здесь ₁ и ₂ соответственно равны

Тогда = Возможны два случая: r1 mod 4 и r3 mod 4.

1) r1 mod 4. Тогда при

а) u0 mod 4 имеем =3-0+1-22 mod 4;

б) u1 mod 4 имеем 0-3+2+1-22 mod 4;

в) u2 mod 4 имеем 1-2+1-22 mod 4;

г) u3 mod 4 имеем 2-1+2+1-22 mod 4.

2) r3 mod 4.

Для этого случая аналогично находим, что =2.

II. ₂.

С учетом предыдущего получаем =где

Нетрудно убедиться, что и в этом случае =2. Теорема доказана.

Из работы [5] следует, что число различных пар APT последовательностей с нулевой взаимной корреляцией при нечетных сдвигах равно (N)/4m, где  - функция Эйлера..

Дальнейшие исследования показали, что при четных сдвигах i=2k>0 и всех возможных значениях u выполняется =0, т.е. вклад во взаимную корреляцию элементов подмножеств ₁ и ₂ может быть 0, 8 и –8. К сожалению, на основе этого точную оценку взаимной корреляции получить невозможно.

Пример

Пусть b=-111-1-11-1-1-1011-111111-11-1-11-11-11011-1-111111-1-111-11110-1-11-1-1-1-1-11-111-11-11-10-1-111-1-1-1-1 есть APT последовательность с 4-мя нулями длины 72 и параметрами p=17 и m=1 из Примера 1 [3] .Тогда d=p+1=19. Из (5) находим c=-11-11-1-111-10-1-1-1-1-1-11111-11-1111-101-1111-1-111-11-111-1-110111111-1-1-1-11-11-1-1-110-11-1-1-111-1. С помощью компьютера получаем, что периодическая взаимная корреляция последовательностей b и c равна:

-16 0 20 0 12 0 20 0 20 0 -12 0 12 0 20 0 12 0 -4 0 -12 0 20 0 -12 0 -12 0 -20 0 20 0 -12 0 20 0 16 0 -20 0 -12 0 -20 0 -20 0 12 0 -12 0 -20 0 -12 0 4 0 12 0 -20 0 12 0 12 0 20 0 -20 0 12 0 -20 0.

Применение

Полученные на основе последовательностей b и c два взаимно ортогональных подмножества ортогональных последовательностей с общим объемом N/2 могут быть использованы при построении синхронных CDMA систем, состоящих из одной базовой и двух абонентских станций. При этом за каждой абонентской станцией закрепляется одно из этих подмножеств. Тогда в качестве пилот сигнальных последовательностей в обратных каналах синхронизации абонентских станций можно выбрать по одной из назначенных последовательностей.

Литература

1. 
   H.D. Lüke, H.D. Schotten and H. Hadinejad-Mahram. “Binary and quadriphase sequences with optimal autocorrelation properties: survey” - IEEE Transaction on Information Theory, vol. IT-49, No. 12, 2003, pp. 3271-3282.
   
2. 
   G. Krämer. "Envisioning a radar-based Automatic Road Transportation System" - IEEE Intelligent Systems, vol. 16,  No. 3,  May/Jun,  2001, pp. 75-77.
   
3. 
   Кренгель Е.И. “Конструирование почти идеальных и нечетно-идеальных троичных последовательностей” – Радиотехника, 2006, №9, стр.8-12.
   
4. 
   Games R.A. “Cross-correlation of m-sequences and GMW sequences with the same primitive polynomial” - Discrete Applied Mathematics, 1985, 12, pp.139-146.
   
5. 
   E.I. Krengel.”Some new 8-phase perfect sequences with two zeroes” - in Proceedings of The Second International Workshop on Sequence Design and its Applications in Communications (IWSDA'05), Shimonoseki, Japan, 10 - 14, October 2005, pp.35-38.
   



Cross-correlation of Some almost-perfect ternary sequences

Krengel E.

Kedah Electronics Engineering,

Zelenograd, Moscow, Russia (495) 530.0102, E-mail: [email protected]
Sequences with perfect and almost-perfect periodical autocorrelation function are widely used in spread spectrum communication systems for synchronization and channel estimation and also for ranging in radar systems. The recently obtained almost-perfect ternary (APT) sequences of length 4(p^m+1) with 4 or 2 zeroes essentially expand known APT sequences of length 2(p^m+1).

The present work is devoted to the research of the cross-correlation of these new APT sequences. In the work the existence of the pairs of the APT sequences of length 4(p^m+1) having zero cross-correlation for all odd shifts was shown, the total number of such pairs was found, and their application in CDMA systems was considered. Also an example of such pair of the APT sequence with length 72 was given.



ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТУРБО-КОДОВ НА ОСНОВЕ БЛОКОВЫХ КОДОВ

Назаров Л.Е., Головкин И.в.

Институт радиотехники и электроники РАН, Фрязино
Сигнально-кодовые конструкции под общим названием “турбо-коды” в настоящее время рассматриваются как одни из наиболее перспективных ансамблей сигналов для использования в системах передачи дискретных сообщений широкого назначения [1]. Турбо-коды формируются на основе последовательного или параллельного объединения ансамблей дискретных сигналов, соответствующих рекурсивным сверточным или блоковым кодам, применяя схемы перемежения символов информационной последовательности. Суть алгоритмов приема сигналов турбо-кодов – итеративные процедуры, реализующие вычисление апостериорных вероятностей сигнальных символов и их использование в качестве априорных вероятностей для последующей итерации [1].

При увеличении объема информационных блоков турбо-кодов до несколько тысяч битов и при применении итеративных процедур приема достигаются вероятностные характеристики, близкие к предельным характеристикам Шенноновской пропускной способности канала с аддитивным белым гауссовским шумом.

Анализ и компьютерное моделирование показывают, что для кодовых скоростей > 0.7 турбо-коды на основе блоковых кодов характеризуются большей помехоустойчивостью, чем турбо-коды на основе рекурсивных сверточных кодов. Актуальна проблема исследования вероятностных характеристик этих турбо-кодов, в частности, необходимо произвести сравнение теоретических вероятностных характеристик, получаемых при применении оптимального правила приема максимального правдоподобия, с характеристиками алгоритмов итеративного приема.

В докладе рассмотрена методика исследований вероятностных характеристик класса турбо-кодов на основе блоковых кодов, приведены результаты теоретических исследований вероятностных характеристик для ряда турбо-кодов с использованием приведенной методики и их сравнение с результатами компьютерного моделирования процедур итеративного приема данных турбо-кодов.

Наиболее эффективные методики анализа вероятностных характеристик, позволяющие получить оценки вероятностей ошибочного приема сигналов , используют полный спектр евклидовых расстояний между сигналами (верхние аддитивная и мультипликативная границы [2], [3], верхние тангенциальные границы). Однако при увеличении объема ансамблей сигналов проблема вычисления данного спектра в общем случае представляется чрезвычайно сложной. Для рассматриваемых турбо-кодов известны лишь частные результаты решения данной проблемы. В частности, возможно оценивание минимального евклидового расстояния между сигналами, а также количество сигналов в ансамбле с данным метрическим свойством. Это позволяет получить достаточно точную оценку для больших значений отношений сигнал/помеха дБ, используя известную верхнюю аддитивную границу.

Для малых значений сигнал/помеха ( дБ) верхняя аддитивная граница дает неудовлетворительные результаты. Методика, используемая для оценки рассматриваемых турбо-кодов, основана на использовании средних (эффективных) значений спектра евклидовых расстояний между сигналами , усредненного по множеству турбо-кодов, задаваемых возможными схемами перемежителей [4].

Мультипликативная верхняя граница оценки [3] обладает свойством выпуклости и для нее выполняется неравенство Йенсена [2], определяющее верхнюю границу для средней вероятности ошибки оценки , усредненной по множеству турбо-кодов . (1).

Здесь - энергия сигналов, - спектральная плотность помехи в виде аддитивного белого гауссовского шума, черта сверху означает операцию усреднения по множеству турбо-кодов, отличающихся лишь схемами перемежения.

Рис.1. Вероятности ошибочного приема сигналов в составе турбо-кода на основе параллельного объединения ансамблей сигналов, соответствующих блоковому коду (32,26): 1 – средняя верхняя граница (1); 2 – вероятность ошибки , полученная путем моделирования итеративного приема турбо-кода с блоковым перемежителем (4 итерации).
На рис.1 приведена граница (1) (кривая 1) для турбо-кода, формируемого путем параллельного объединения ансамблей сигналов, соответствующих блоковому коду (32,26). Длительность сигналов равна

1018, размерность 676. Кривая 2 соответствует вероятности , которая получена путем компьютерного моделирования процедуры итеративного приема данного турбо-кода с блоковым перемежителем. Видно, что для дБ данные кривые близки, однако для дБ энергетический проигрыш моделируемого турбо-кода по отношению к теоретической границе достигает 0.5 дБ. Это может быть объяснено как подоптимальностью процедуры итеративного приема по отношению к оптимальному приему максимального правдоподобия, так и существованием перемежителя, более эффективного, чем блоковый перемежитель.

В докладе приведены подобные зависимости и их анализ, полученные для ряда рассматриваемых турбо-кодов с различными параметрами.

Литература

1.Berrou C., Glavieux A., Thitimajshima P. IEEE Int. Conf. Communications. 1993. P. 1064.

2. Витерби А.Д., Омура Дж.К. Принципы цифровой связи и кодирования. Пер. с англ. М.:Радио и связь. 1982. 536 с.

3. Назаров Л.Е. Вероятностные характеристики при оптимальном посимвольном приеме сигналов, соответствующих двоичным блоковым кодам. // Радиотехника и электроника. 1999. Т.44. №10. Стр. 1231-1235.

4. Benedetto S., Montorsi G. Unveiling turbo-codes: Some results on parallel concatenated coding schemes. // IEEE Transactions on Information Theory. 1996. V.IT-42. N2. P.409-428.

