О синтезе дискретно-кодированных последовательностей периода

Теория сигналов и систем


О СИНТЕЗЕ ДИСКРЕТНО-КОДИРОВАННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПЕРИОДА

Гантмахер В.Е., Едемский В.А., Платонов С.М.

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Введение

Дискретно - кодированные последовательности (ДКП), обладающие хорошими корреляционными свойствами, имеют широкий круг применений [1]. Методика синтеза ДКП простого периода на основе классов степенных вычетов, удовлетворяющих заданным ограничениям на основные параметры, была предложена в [2], а результаты синтеза по данной методике изложены в [3-7].

Рассмотрим применение упомянутой выше методики, заключающейся в комплексном использовании теории спектров разностей классов вычетов и циклотомических чисел, на случай синтеза ДКП периода .

Наша цель заключается в синтезе двоичных последовательностей (ДП) составного периода с периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ), близкой к одноуровневой (по числу уровней боковых лепестков) и троичных последовательностей (ТП) с ПАКФ близкой к идеальной.. При этом рельефы ПАКФ ДП и ТП будут определены посредством разложения простого числа на сумму квадратов целых чисел.
1. Конструкция последовательностей

Рассмотрим две ДКП простого периода и ДКП периода , сформированную по правилу кодирования (ПК): (1), здесь - целые числа.

Лемма 1. ПАКФ ДКП определяется соотношением:

где - соответственно, ПАКФ и периодические взаимно -корреляционные функции (ПВКФ) ДКП .

Лемма 1 следует из определения ПАКФ, ПВКФ и правила построения ДКП .Она позволяет определять ПАКФ ДКП периода 2р, сформированной по ПК (1), посредством вычисления ПАКФ и ПВКФ ДКП периода .

Покажем это на примере последовательностей , сформированных на основе классов степенных вычетов , , где и - натуральные числа, - первообразный корень по модулю . Таким образом, ДКП формируются по ПК: (2). Здесь , непересекающиеся подмножества индексов и . Если множество - пустое, то последовательности является двоичными.

В [2] была предложена методика анализа и синтеза последовательностей, сформированных по ПК (2), с заданными ограничениями на основные параметры: ПАКФ, период, пик фактор и другие. На основании упомянутой методики, заключающейся в комплексном использовании теории спектров разностей классов вычетов (СРКВ) и циклотомических чисел, были получены новые ПК многочисленных семейств ДП и ТП.

Лемма 1 позволяет использовать как предыдущие результаты, так и методику для синтеза последовательностей с периодом , сформированных по ПК (1).

СРКВ и обозначим через [3] и рассмотрим несколько примеров синтеза ДКП, базирующихся на полученных ранее результатах для периода .
2. ДП с квазиодноуровневой ПАКФ

Известные семейства ДП с одноуровневой ПАКФ (по числу уровней боковых лепестков) обладают относительно редкой сеткой периодов [1,3], поэтому целесообразно также рассматривать ДП с ПАКФ близкой к одноуровневой (квазиодноуровневой). Результаты синтеза ДП с квазиодноуровневой ПАКФ приведены в [4,5].

Лемма 1 позволяет обобщить указанные результаты на период , сделаем это при . Отметим, что рассматриваемые ДП периода отличаются от ДП, исследуемых в [8] и сформированных на основе классов биквадратичных вычетов. При использовании ПК (1) ДП не соответствуют классы степенных вычетов, в отличие от ДП, рассмотренных в [8].

Если , то справедливо разложение:, , где - целые числа, определяющее рельефы ПАКФ и ПВКФ ДКП, сформированных на основе классов степенных вычетов.

Так как, согласно лемме 1, , то при построении ДП с ПАКФ, близкой к одноуровневой, значение должно быть приблизительно равно среднему значению боковых лепестков ПВКФ. Учитывая средние значения ПАКФ и ПВКФ, сформированных на основе классов степенных вычетов, получаем, что ДП будут определяться двумя классами степенных вычетов, из который один общий [3]. Не нарушая общности, можно считать, что это класс с нулевым номером.

Обозначим через разность между наибольшим и наименьшим боковыми лепестками ПАКФ ДКП . В этом разделе рассмотрим задачу синтеза ДП со значением , не превышающем заданного порогового числа. Предположим, что .

Теорема 1. Если ДП сформированы по ПК (2) при , и соответственно, то для ПАКФ ДП , сформированной по ПК (1), значение .

Доказательство. ПАКФ ДП определяется СРКВ , где - оператор циклического сдвига Хаффмена и, согласно [5], справедливы взаимно - однозначные соответствия:

если четно, то: , (3),

а если же нечетно, то: (4)

(знак - означает, что если , то совпадает с - ой гармоникой СРКВ [3]).

С другой стороны, СРКВ, определяющий ПАКФ ДП , получается путем циклического сдвига на единицу СРКВ, соответствующего ПАКФ ДП [3]. Таким образом, согласно (3) и (4), если четно, то: , (5),

а если же нечетно, то: (6).

В силу леммы 1 для четного значения от 1 до ПАКФ определяется формулами (5,6) и принимает значения: или в зависимости от четности .

ПВКФ ДП определяется СРКВ и, согласно [5], имеет следующие уровни боковых лепестков: .

По лемме 1 для нечетного значения уровни боковых лепестков ПАКФ получаются как суммы уровней боковых лепестков ПВКФ пар ДП и . Анализ полученных, в результате суммирования, уровней ПАКФ показывает, что .

Следствие 1.1. Если , то, в условиях теоремы, для ПАКФ ДКП значение .

Ряд значений , удовлетворяющих условиям следствия 1.1 17, 37, 101, 197, 257, 401, 677,1297, 1601,… показывает, что рассматриваемые ДП имеют достаточно плотную сетку периодов.

Доказанная теорема остается справедливой при любом циклическом сдвиге номеров классов в ПК. Несложно убедится, повторяя доказательство теоремы 1, что если одна из ДП сформирована по ПК (2) при , то в этом варианте ПАКФ ДП далека от одноуровневой.

Таким образом, найдены семейства двоичных последовательностей с одинаковым рельефом автокорреляционной функции, имеющие одинаковые формулы для вычисления периода, боковых лепестков . Определены достаточные условия синтеза ДП с ПАКФ близкой к одноуровневой. Так как рельеф ПАКФ синтезируемых ДП не зависит от , то теорема 1 позволяет формировать семейства ДП заданного размера и одинаковым рельефом ПАКФ.. Более того, если в качестве меры квазиодноуровневости рассматривать не абсолютную, а относительную разность между уровнями боковых лепестков ПАКФ, то теорема 1 позволяет формировать ДП с малыми значениями .

3. ТП с квазиидеальной ПАКФ

ТП с идеальной ПАКФ часто используются при решении различных задач, при этом известные ТП имеют относительно редкую сетку периодов [1]. В то же время, для целого ряда прикладных задач целесообразно рассмотривать ТП с квазиидеальной ПАКФ, то есть с относительно небольшими значениями боковых лепестков ПАКФ , где [3,7].

В этом разделе рассмотрим задачу синтеза ТП с ПАКФ удовлетворяющей неравенству: , , где - заданное пороговое значение. Не нарушая общности, можно считать, что при формировании ТП классу степенных вычетов с нулевым номером соответствует единица.

Теорема 2. Если ТП сформированы по ПК (2) при , и соответственно, то ПАКФ ТП , сформированной по ПК (1), определяется четырьмя уровнями, .

Доказательство. По лемме 1 для четных значений ПАКФ , где . Если ТП сформированы по указанным в условии теоремы 2 ПК, то [3,7]: и (7).

Согласно [7], для четного справедливы следующие соотношения: для четного , а для нечетного :.В силу формулы (7) данные соотношения определяют и ПВКФ .

Суммируя , получаем, что для четных значений ПАКФ принимает только одно значение, равное минус единице.

Согласно лемме 1, при нечетном значении уровни боковых лепестков ПАКФ будут определяться суммой боковых лепестков ПВКФ пар ТП и , которые также определены в [7]..При выполнении условий теоремы 2 ПВКФ ,.Следовательно, при нечетном значении уровни боковых лепестков ПАКФ будут принадлежать множеству , что, и доказывает теорему 2.

Следствие 2.1. В условиях теоремы 2.

Следствие 2.1. Если , то ТП, сформированная по ПК (1) будет иметь квазиидеальную ПАКФ , .

Ряд значений , удовлетворяющих условиям следствия 2.1 [2]: 29, 53, 173, 229, 293,733,1093, 1229, 1373,…. показывает, что рассматриваемые ТП имеют достаточно плотную сетку периодов.

Доказанная теорема остается справедливой при любом циклическом сдвиге номеров классов, участвующих в ПК.

Таким образом, теорема 2 определяет достаточные условия существования ТП с квазиидеальной ПАКФ, все ТП, определяемые теоремой 2 с периодом при будут удовлетворять заданному ограничению. Так как рельеф ПАКФ ТП не зависит от , то теорема 2 позволяет формировать семейства ТП заданного размера и одинаковым рельефом ПАКФ.

Литература

1. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М. "Радио и связь". 1992 г. 162 с.

2. V.E. Gantmakher, V.A. Edemskiy. The Synthesis Methodology of Periodic Discretely Coded Sequences Formed Basing on Cyclotomic Classes with Basic Parameters Constraints. Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07). China. 2007, pp. 4-8.

3. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

4. V.E. Gantmakher, V.A. Edemskiy. Synthesis Results of the Periodic Discretely Coded Sequences with the Parameters Constraints Defined on the Basis of the Cyclotomic Classes. Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07). China. 2007, pp. 9-12.

5. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Результаты синтеза двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляционной функцией, формируемых на основе классов вычетов по простому модулю. Известия вузов. Радиоэлектроника. 2007. вып. 5.

6. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Корреляционные функции троичных последовательностей с простым периодом. Вестник КАИ им. А.Н. Туполева. 2007 г. Вып. 2, с. 41-44.

7. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Анализ и синтез троичных и бинарных последовательностей простого периода с квазиидеальной автокорреляцией. - Сб. докл. 9-ой международной конференции "Цифровая обработка сигналов и её применения". - М.: 2007 г. т. 1, с.14-17

8. C. Ding, T. Helleseth, and K. Y. Lam. Several Classes of binary sequences with tree-level autocorrelation // IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 45, pp 2601-2606. Nov. 1999.



ABOUT SYNTHESIS OF DISCRETELY-CODED SEQUENCES OF PERIOD

Gantmacher V., Edemsky V., Platonov S.

Yaroslav the Wise Novgorod State University

Binary and ternary sequences with good autocorrelation properties are widely used in communication, radar, and sonar systems [1]. In [2], the methodology was developed for synthesis of discretely-coded sequences of prime period based on power residues classes satisfying the defined constraints imposed on general parameters. The sequences synthesis results, obtained using this methodology, are given in [3].

The method of constructing discretely-coded sequences of period , basing on two sequences of period , is presented. This method allows to use either previous results [3] or the methodology itself, which implies the complex usage of residue classes spectrums theory and cyclotomic numbers [2], in order to synthesize sequences of compound period .

It is shown that the complex usage of residue classes spectrums theory allows to analyze and synthesize discretely-coded sequences of period , constructed on the basis of power residues classes prime modulo [2]. This methodology is an effective mathematical tool [2,3], which allows also to calculate periodic autocorrelation and cross-correlation functions of discretely-coded sequences constructed on the basis of power residues classes. The calculation results enable us to construct sequences, satisfying the defined constraints imposed on the autocorrelation function sidelobes levels. The usage of the complex methodology allows to calculate correlation modular surfaces by expanding prime into the sum of integral squares.

The sequence of period is constructed using two binary sequences of period , formed on the basis of power residue prime modulo with . This sequence’s autocorrelation modular surface is defined. We have discovered families of binary sequences with identical autocorrelation modular surface with equal formulas for period and sidelobes calculation. The sufficient conditions for existence of binary sequences of period with the autocorrelation function close to one-level function are specified. The constructed binary sequences have quite a dense periods array.

The sufficient conditions for existence of ternary sequences of period with the periodic autocorrelation function close to ideal function are defined. The required sequences are obtained using two ternary sequences, constructed by power residues classes prime modulo with . The constructed ternary sequences have quite a dense periods array.

The proposed approach widens the abilities of the known coding rules and allows to construct new coding rules for binary and ternary sequences of the compound period.

References

[1] V.P. Ipatov, Periodic Discrete Signals with Optimal Correlation Functions. Moscow, "Radio and Communication," 1992, p. 162.

[2] V.E. Gantmakher, V.A. Edemskiy, “The Synthesis Methodology of Periodic Discretely Coded Sequences Formed Basing on Cyclotomic Classes with Basic Parameters Constraints.” Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07), China. 2007, pp. 4-8.

[3] V.E. Gantmakher, V.A. Edemskiy, “Synthesis Results of the Periodic Discretely Coded Sequences with the Parameters Constraints Defined on the Basis of the Cyclotomic Classes.” Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07), China, 2007, pp. 9-12.



Семейства пар некоррелированных двоичных ZCZ последовательностей с несогласованной фильтрацией на основе идеальных и почти идеальных троичных последовательностей

Кренгель Е.И.

Кедах Электроникс Инжиниринг, Зеленоград, Москва, evgeniy.krengel@kedah.ru

1. Введение

Двоичные последовательности с нулевой зоной корреляцией (ZCZ) широко используются в квазисинхронных системах связи с кодовым разделением каналов (QS-CDMA) и в радиолокации для уменьшения уровня межканальных и многолучевых помех [1-4]. ZCZ последовательностями называются последовательности, которые имеют нулевые значения боковых выбросов периодической автокорреляционной функции (ПАКФ) и нулевые значения периодической взаимно-корреляционной функции (ПВКФ) в некоторой зоне D относительно нулевого сдвига. Для пар двоичных ZCZ последовательностей длина последовательности N и ширина ZCZ D связаны между собой следующим соотношением [4]: (1).

Известны различные пары двоичных ZCZ последовательностей с параметрами (N,M,D), достигающие или близкие верхней границе (1). Методы их построения базируются на использовании матриц Адамара, комплементарных последовательностей Голея, идеальных и почти идеальных двоичных последовательностей [1-4]. Наиболее просто пары двоичных ZCZ последовательностей образуются из циклических сдвигов на N/4 почти идеальных двоичных последовательностей [1]. Напомним, что последовательность называется идеальной, если ее ПАКФ при всех ненулевых сдвигах равна нулю, и почти идеальной, если ПАКФ равна нулю при всех ненулевых сдвигах, кроме одного [5,6].

В 20007г. на базе почти идеальных троичных последовательностей [7,8] длины 2(p^mk-1)/(p^m-1) и 4(p^mk-1)/(p^m-1), где p>2 простое число,(p^m-1)0 mod 4, были построены пары некоррелированных двоичных ZCZ последовательностей длины N=4(p^mk-1)/(p^m-1) с несогласованной фильтрации и D=N/4-1 [9,10]. Некоррелированными принято считать последовательности, у которых ПВКФ тождественно равна нулю. Первоначально несогласованная (неоптимальная) фильтрация была предложена для конструирования фильтров подавления боковых лепестков двоичных периодических сигналов, обрабатываемых в приемнике [5]. Однако, как оказалось, область применения несогласованной фильтрации реально намного шире, поскольку с ее помощью можно формировать на выходе обрабатывающего фильтра или коррелятора сигналы требуемой формы. Заметим, что в случае неоптимальной обработки весовая (опорная) последовательность фильтра (коррелятора) отличается от передаваемой последовательности, что, естественно, приводит к энергетическим потерям по сравнению с согласованной фильтрацией.

В настоящей работе на основе идеальных и почти идеальных троичных последовательностей построены новые семейства пар некоррелированных двоичных ZCZ последовательностей с несогласованной фильтрацией длины N=4(p^mk-1)/(p^m-1), где p2 - простое число, k>1 нечетно, и шириной зоны нулевой корреляции D=N/4-1. При этом энергетическая эффективность этих последовательностей асимптотически стремится к единице с ростом длины. В результате их построения заметно расширяется диапазон длин для пар некоррелированных двоичных ZCZ последовательностей, а также увеличивается число таких пар последовательностей с длиной 4(p^mk-1)/(p^m-1), p>2, k>1 нечетно, (p^m-1)0 mod 4.

2. Конструирование новых пар двоичных ZCZ последовательностей

В основе предлагаемого метода построения пар двоичных ZCZ последовательностей лежит свойство инверсной повторяемости APT последовательностей длины 2N, в соответствие с которым эти последовательности имеют вид , где . Отсюда следует, что любая APT последовательность длины 2N и последовательность, образованная двумя периодами любой последовательности длины N, являются некоррелированными. Используя это свойство, в работе [9] были получены пары некоррелированных двоичных ZCZ последовательностей длины 4(p^mk-1)/(p^m-1) с несогласованной фильтрацией. Алгоритм их построения состоит из двух шагов. Сначала произвольным образом составляют пары из APT последовательности длины 2N=4(p^mk-1)/(p^m-1), p>2 простое число, (p^m-1)0 mod 4 [8] и двух периодов APT последовательности длины N [7], а затем в них производят замещение всех нулей единицами (минус единицами). При этом в качестве весовых последовательностей при обработке в несогласованных фильтрах используются исходные пары троичных последовательностей. Заметим, что в случае k=1 длина этих последовательностей равна 4(p^m+1), а D=p^m [10].

В отличие от [9,10] конструирование новых пар двоичных ZCZ последовательностей производится на основе идеальных и почти идеальных троичных последовательностей. Рассмотрим следующие три типа пар образующих последовательностей.

I. APT последовательность длины 2(p^mk-1)/(p^m-1), где p>2 простое, k нечетно [7] и идеальная троичная последовательность Ипатова длины (p^mk-1)/(p^m-1) [5].

II. APT последовательность длины 4(p^mk-1)/(p^m-1), где p>2 простое, k нечетно и (p^m-1)0 [8] и идеальная последовательность Ипатова длины (p^mk-1)/(p^m-1).

III. APT последовательность длины 2(2^mk-1)/(2^m-1), k нечетно [11] и идеальная троичная последовательность длины (2^mk-1)/(2^m-1) [12].

Соответственно на их основе можно построить три семейства пар двоичных ZCZ последовательностей. При этом число новых пар ZCZ последовательностей (фиксированной длины) в каждом из семейств будет определяться числом различных образующих пар последовательностей.

Семейство I. Весовые последовательности несогласованных фильтров пары двоичных ZCZ последовательностей образуются соответственно из 4-х периодов идеальной троичной последовательности Ипатова длины N=(p^mk-1)/(p^m-1) с (p^m(k-1)-1)/(p^m-1) нулями и 2-х периодов APT последовательности длины 2(p^mk-1)/(p^m-1) с 2(p^m(k-1)-1)/(p^m-1) нулями. Для получения пары двоичных ZCZ последовательностей каждые четыре равноотстоящих на N символов нулей этих весовых последовательностях замещаются соответствующими символами последовательности 1 1 -1 -1.

Семейство II. В этом случае весовые последовательности несогласованных фильтров образуются соответственно из 4-х периодов идеальной троичной последовательности Ипатова длины N=(p^mk-1)/(p^m-1) с (p^m(k-1)-1)/(p^m-1) нулями и одного периода APT последовательности длины 4(p^mk-1)/(p^m-1) [8]. Теперь для образования пары двоичных ZCZ последовательностей каждые четыре равноотстоящих на N символов нулей весовых последовательностях замещаются соответствующими символами последовательности 1 -1 1 -1. Следует отметить, что полученные пары некоррелированных двоичных ZCZ последовательностей могут быть использованы для формирования двоичных ZCZ последовательностей с несогласованной фильтрацией, максимальная величина зоны нулевой корреляции которых 1,5 раза превышает верхнюю границу для двоичных ZCZ последовательностей. Конструирование этих последовательностей происходит аналогично [9].

Семейство III. Весовые последовательности несогласованных фильтров пары двоичных ZCZ последовательностей образуются соответственно из 4-х периодов идеальной троичной последовательности длины N=(2^mk-1)/(2^m-1) с (2^m(k-1)-1)/(2^m-1) нулями [12] и 2-х периодов APT последовательности длины 2(2^mk-1)/(2^m-1) с 2(2^m(k-1)-1)/(2^m-1) нулями [11]. Для получения пары двоичных ZCZ последовательностей каждые четыре равноотстоящих на N символов нулей этих весовых последовательностях замещаются соответствующими символами последовательности 1 1 -1 -1.

Отметим, что для всех трех семейств энергетическая эффективность полученных двоичных ZCZ последовательностей равна =p^(k-1)m(p^m-1)/(p^mk-1), p2 и стремится к 1 с ростом их длины.

3. Пример

Пусть p=5, k=3, m=1 и x³+3x+2 есть примитивный полином третьей степени GF(5). Эти параметры соответствуют одновременно семействам I и II. В случае семейства I в качестве образующих последовательностей возьмем APT последовательность длины 62 и последовательностеь Ипатова длины вида 31, например последовательности 1 0 0 -1 0 1 1 -1 1 1 -1 0 1 1 -1 0 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 0 1 -1 -1 -1 0 0 1 0 -1 -1 1 -1 -1 1 0 -1 -1 1 0 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 –1 -1 0 -1 1 1 и -1 0 0 -1 0 1 -1 -1 -1 1 1 0 -1 1 1 0 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 0 -1 -1 1.

В результате получаем следующую пару некоррелированных двоичных ZCZ последовательности длины 124: 1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 и -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1.

Соответствующие весовые последовательности несогласованного фильтра имеют вид: 1 0 0 -1 0 1 1-1 1 1 -1 0 1 1 -1 0 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 0 1 -1 -1 -1 0 0 1 0 -1 -1 1 -1 -1 1 0 -1 -1 1 0 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 1 1 1 0 0 -1 0 1 1 -1 1 1 -1 0 1 1 -1 0 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 0 1 -1 -1 -1 0 0 1 0 -1 -1 1 -1 -1 1 0 -1 -11 0 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 1 1 и

-1 0 0 -1 0 1 -1 -1 -1 1 1 0 -1 1 1 0 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 0 -1 -1 1 -1 0 0 -1 0 1 -1 -1 -1 1 1 0 -1 1 1 0 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 0 -1 -1 1 -1 0 0 -1 0 1 -1 -1 -1 1 1 0 -1 1 1 0 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 0 -1 -1 1 -1 0 0 -1 0 1 -1 -1 -1 1 1 0 -1 1 1 0 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 0 -1 -1 1.

В случае семейства II в качестве образующих последовательностей берем APT последовательность длины 124 и последовательность Ипатова длины вида 31: 1 0 0 1 0 1 -1 -1 1 1 1 0 -1 -1 1 0 1 -1 1 -1 –1 -1 -1 1 -1 -1 1 0 -1 1 1 1 0 0 -1 0 1 -1 1 1 1 -1 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 1 1 -1 1 –1 1 -1 -1 1 0 -1 -1 -1 -1 0 0 -1 0 -1 1 1 -1 -1 -1 0 1 1 -1 0 -1 1 -1 1 1 1 1 –1 1 1 -1 0 1 -1 -1 -1 0 0 1 0 -1 1 -1 -1 -1 1 0 1 1 1 0 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 –1 0 1 1 1 и -1 0 0 -1 0 1 -1 -1 -1 1 1 0 -1 1 1 0 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 0 -1 -1 1.

В результате получаем следующие две некоррелированные двоичные ZCZ последовательности длины 124: 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1-1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 и -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1.

При этом первая весовая последовательность несогласованного фильтра совпадает с APT последовательностью длины 124, тогда как вторая совпадает со второй весовой последовательностью семейства I.

Заметим, что в обоих случаях энергетическая эффективность полученных пар последовательностей одинаковая и равна =0,806.

4. Выводы

1. 
   На основе идеальных и почти идеальных троичных последовательностей построены новые три семейства пар некоррелированных двоичных ZCZ последовательностей длины N=4(p^mk-1)/(p^m-1), где p2 - простое число, k>1 нечетно, и шириной ZCZ на единицу меньшей верхней границы для двоичных пар ZCZ последовательностей. Полученные пары ZCZ последовательностей обладают энергетической эффективностью, асимптотически стремящейся к единице с ростом их длины.
   
2. 
   Построение таких пар последовательностей ведет к расширению диапазона длин для пар некоррелированных двоичных ZCZ последовательностей и увеличивает число пар последовательностей с длиной 4(p^mk-1)/(p^m-1), p>2, k>1 нечетно, (p^m-1)0 mod 4.
   
3. 
   Эти пары последовательностей могут быть использованы в квазисинхронных системах связи с кодовым разделением каналов (QS-CDMA), а также в радиолокации для уменьшения уровня межканальных и многолучевых помех.
   

Литература

1. 
   P. Fan and W. H. Mow. ”On optimal training sequence design for multiple-antenna systems over dispersive fading channels and its extension” - Vehicular Technology, IEEE Transactions on, vol.53,  Issue 5, September, 2004, pp. 1623- 1626.
   
2. 
   X. Deng and P. Fan. “Spreading sequences sets with zero correlation zone”- Electron. Lett., vol.36, No.11, May, 2000, pp.993–994.
   
3. 
   J.-S. Cha, S. Kameda, M. Yokoyama, H. Nakase, K. Masu, and K. Tsubouchi. ”New binary sequences with zero-correlation duration for approximately synchronized CDMA”- Electron. Lett., vol.36, No.11, May, 2000, pp.991–993.
   
4. 
   H. Torii, M. Nakamura, and N. Suehiro. ”A new class of zero-correlation zone sequences”- IEEE Trans. Inf. Theory, vol.50, March, 2004, pp.559–565.
   
5. 
   В.П. Ипатов “Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами” - М.: Радио и связь, 1992.
   
6. 
   J. Wolfmann. ”Almost perfect autocorrelation sequences”- IEEE Transaction on Information Theory, vol. IT-38, No. 4, 1992, pp. 1412-1418.
   
7. 
   P. Langevin. “Some sequences with good autocorrelation properties”-in Finite Fields, Vol., 168, 1994, pp. 175-185.
   
8. 
   E.I. Krengel. “Almost-perfect and odd-perfect ternary sequences” - in Proceedings of 3-th International Conference ‘Sequences and Their Applications-SETA 2004’, Seoul, Korea, revised selected papers, LNCS 3486, Springer-Verlag Berlin, 2005, pp.197-207.
   
9. 
   E.I. Krengel. “New binary ZCZ sequence sets with mismatched filtering”- in Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications, Chengdu, China, September 23-27, 2007, pp. 26-29.
   
10. 
    E.I. Krengel. “Family of uncorrelated binary ZCZ sequence pairs with mismatched filtering”- Electron. Lett., vol. 43, No.14, July, 2007, pp.748-749.
    
11. 
    T. Hayashi. “Zero-correlation zone sequence set construction using an even-perfect sequence and an odd-perfect sequence”- IEICE Trans Fundamentals, 2007, E90-A: 1871-1875.
    
12. 
    T. Hoholdt and J. Justesen. "Ternary sequences with perfect periodic autocorrelation" - IEEE Trans. Inf. Theory, vol.29, No.4, 1983, pp.597–600.
    

Families of uncorrelated binary ZCZ sequence pairs with mismatched filtering derived from perfect and almost-perfect ternary sequences

Krengel E.

Kedah Electronics Engineering, Zelenograd, Moscow, [email protected]

Families of uncorrelated binary sequence pairs with zero correlation zone (ZCZ) derived from perfect and almost-perfect ternary sequences with using mismatched filtering have been constructed. Width of their ZCZ is near to upper bound of binary ZCZ sequence pairs and they possess energy efficiency which tends towards 1 with increasing length. The obtained sequence pairs essentially enlarge the available range of length for uncorrelated binary ZCZ sequence pairs. These sequences can be used in quasi-synchronous code division multiple access (QS-CDMA), and radar systems to reduce interference.



СИНГУЛЯРНЫЕ АНСАМБЛИ ОПТИМАЛЬНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

Щетинин В.И., Притчина Л.С.

Московский военный институт радиоэлектроники Космических войск

1. Введение.

Сингулярные ансамбли (СА) – суть импульсные псевдослучайные дискретные составляющие (ПДС) фазокодоманипулированных (ФКМ) сигналов, кодированных максимальными линейными рекуррентными последовательностями (МЛРП), формируемые линейными фильтрами разложения (ЛФР), не перекрывающиеся по времени на интервале определения (периоде) и суммарно образующие групповой сигнал с гладкой огибающей, элементарные дискреты которого занимают несовпадающие (single англ. - отдельные) позиции [1, 2, 3].

Оптимальные дискретные сигналы (ОДС) – импульсные сигналы со свойством «не более одного совпадения», синтезируемые на основе совершенных разностных множеств (СРМ) с привлечением математического аппарата сложных расширенных полей Галуа, типа , и проективной геометрии над полями Галуа [6, 8].

В настоящей работе, с опорой на известную теорему полей Галуа, а именно: «для каждого простого числа и произвольногосуществует конечное поле порядка единственное с точностью до изоморфизма» [8], синтез, посуществу, производился только в рамках хорошо известных свойств МЛРП, «коррелированных» с относительно более простыми полями Галуа , а сами СРМ, при интерпретации единичными элементами, размещаемыми на номерах-вычетах их определяющих, в соответствии с алгоритмами формирования матриц импульсных характеристик ЛФР, используются для синтеза адекватных ЛФР, осуществляющих разложение ФКМ сигналов на составляющие, обладающие свойствами ОДС, или, непосредственно, для синтеза СА ОДС.

При этом, основное внимание уделяется синтезу ансамблей троичных составляющих – последовательностей с элементами , как практически наиболее интересным.

2. Описание алгоритма синтеза.

Синтез ЛФР, позволяющих осуществлять разложение ФКМ сигналов, кодируемых МЛРП, в общем случае, ичными ( - простое число), изначально производился на основе пересечений сигнальных циркулянтов элементами-векторами векторных подпространств, отображающих подкольца типа «идеал», определяющих МЛРП, по критерию минимизации размерностей формируемых матриц импульсных характеристик синтезируемых ЛФР, что обуславливалось применением ЛФР в устройствах квазиоптимального разрешения ФКМ сигналов [4, 5].

Алгоритм формирования таких матриц, наиболее лаконично, можно определить произведением , (1), зеркальное отображение которого и определяет ЛФР, где - левый (ганкелев) сигнальный циркулянт размерности , , - диагональная матрица-произведение диагональных матриц, на диагоналях которых размещались относительно смещаемые (практически, произвольно, в рамках перебора и выбора вариантов, минимизирующих размерности для заданной канальности ЛФР) последовательности-вектора длиной только с элементами .

Однако, как выяснилось в рамках проведенного анализа, при определенных относительных циклических смещениях таких векторов, корреляционные свойства модулей составляющих разложения, кроме одной – периодической, а именно, автокорреляционных функций (АКФ) их периодов на интервалах установления процессов фильтрации ФКМ сигналов, характеризуются «единичными» боковыми лепестками, что означает выход на оптимальные дискретные сигналы, определяемыми СРМ на диагоналях -матриц.

Дальнейшие исследования привели к пересмотру сложившегося убеждения, что бинарные МЛРП не имеют отношения к цугам, так как на основе классической работы [7] они определяются длиной , (2), из чего следует, что для , .

Однако, это не совсем так, поскольку равенство-определение (2) не охватывает общего случая связи последовательностей длины с полями , заключающейся, в частности, в том, что для и четных цуги имеют место, а их длины определяются отношением , (2'), где - количество таких «мнимых» цугов. Весьма важно, при этом, следствие, вытекающее из равенства (2'), определяющее не только скрытые особенности бинарных МЛРП, но и свойство самих СРМ, которое можно определить как свойство «ни одного совпадения» вычетов при их циклическом смещении по модулю на интервалы, кратные и, кроме того, определяющее свойство сингулярности формируемых СА ОДС.

В качестве примера, на рис. 1 представлена процедура формирования простейшего ансамбля СА ОДС на основе СРМ (0, 1, 3,7) по алгоритму (1) при синтезе 4-х канального ЛФР, формирующего СА ОДС посредством разложения бинарного ФКМ сигнала с периодом , определяемого характеристическим полиномом .

Рис.1. Процедура формирования СА ОДС (15, ) на основе СРМ (mod 15)

Нетрудно установить (рис.1 с), что циклически смещаемые на величину последовательности единиц (модули составляющих разложения) с номерами-параметрами СРМ-ОДС сингулярны, их количество , а сам ансамбль «собственно СА ОДС (15, )», дополняется автоматически до размерности периодической маркерной последовательностью .

При этом имеет смысл отметить, что уровень лепестков взаимокорреляционных функций (ВКФ) последовательности с последовательностями ОДС , также, как и уровень боковых лепестков их , единичен.

Кроме того, в рамках такой процедуры, формирование сопровождается формированием сопутствующей знаковой ортогональной матрицы , отличающейся свой псевдослучайной структурой от матриц Уолша-Адамара, вследствие чего матрицы такого типа могут быть, при определенных требованиях, использованы для кодирования пакетов сигналов в системах передачи дискретной информации (СПДИ) или в радиолокационных системах (РЛС).

В тоже время, для синтеза СА ОДС можно использовать и иные приемы синтеза СРМ-ОДС с учетом свойства их сингулярности.

В соответствии с этим, в рамках настоящей работы, были синтезированы ансамбли СА ОДС

(63, ) – рис. 2 и СА ОДС (255, ) – таблица 1, первый из которых был получен на основе СРМ-ОДС, принадлежащего - матрице (1), а второй на основе СРМ-ОДС, полученного в работе [8] для .


Рис.2. СА ОДС (63, ) на основе СРМ (mod 63)
Таблица 1. СА ОДС(255, ) на основе СРМ(mod 255)

	6	23	40	57	74	91	108	125	142	159	176	193	210	227	244
(0)	10	11	31	33	58	70	73	77	86	122	127	151	157	165	182
17	27	28	48	50	75	87	90	94	103	139	144	168	174	182	200
34	44	45	65	67	92	104	107	111	120	156	161	185	191	199	217
51	61	62	82	84	109	121	124	128	137	173	178	202	208	216	234
68	78	79	99	101	126	138	141	145	154	190	195	219	225	233	251
85	95	96	116	118	143	155	158	162	171	207	212	236	242	250	13
102	112	113	133	135	160	172	175	179	188	224	229	253	4	12	30
119	129	130	150	152	177	189	192	196	205	241	246	15	21	29	47
136	146	147	167	169	194	206	209	213	222	3	8	32	38	46	64
153	163	164	184	186	211	223	226	230	239	20	25	49	55	63	81
170	180	181	201	203	228	240	243	247	1	37	42	66	72	80	98
187	197	198	218	220	245	2	5	9	18	54	59	83	89	97	115
204	214	215	235	237	7	19	22	26	35	71	76	100	106	114	132
221	231	232	252	254	24	36	39	43	52	88	93	117	123	131	149
238	248	249	14	16	41	53	56	60	69	105	110	134	140	148	166

Сингулярные составляющие в таблице представлены (построчно) номерами единичных импульсов их определяющих.


3. Применение.

Синтезируемые на основе бинарных МЛРП СА ОДС могут быть использованы для построения новых частотно-фазо-манипулированных сигналов (ЧФМ СА ОДС), которые могут найти практическое применение:

- в СПДИ для «беспилотной» передачи информационных пакетов сигналов, поскольку при их частотном разделении каждый из частотных каналов в качестве декодеров может использовать матричные согласованные фильтры, инвариантные ко времени прихода;

- в РЛС для квазиоптимального разрешения эхо-сигналов на основе их расфильтровки по частотам.

Литература

1. 
   Слока В.К., Стручев В.Ф., Щелкин Д.В., Щетинин В.И. Авторское свидетельство №389631 от 26.IV.1971. Устройство для фильтрации сигналов. Опубликовано 05.VII.1973. Бюллетень №29.
   
2. 
   Слока В.К., Стручев В.Ф., Щетинин В.И. Синтез линейных фильтров разложения. Радиотехника, 1975. Т. 30, №8.
   
3. 
   Лукинов Н.И., Стручев В.Ф., Щетинин В.И. Авторское свидетельство №734870 от 11.06.73. Устройство для формирования импульсных кодов псевдослучайных последовательностей. Опубликовано 15.05.80. Бюллетень №18.
   
4. 
   Слока В.К. Схемы разрешения с применением режекции мешающих сигналов. Радиотехника и электроника, 1975. Т. XXIII, №1.
   
5. 
   Сухоруков В.И., Щетинин В.И. Синтез и оценка эффективности применения парно-зеркальных линейных фильтров разложения. Информационно-измерительные и управляющие системы /В номере: журнал МВИРЭ КВ/, 2006.Т.4. №5.
   
6. 
   Холл М. Комбинаторика /Пер. с англ./ М.: Мир, 1970.
   
7. 
   Амиантов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. М.: Сов.радио, 1971.
   
8. 
   Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975.
   


SINGULAR ENSEMBLES OF OPTIMUM DISCRETE SIGNALS

Shchetinin V., Pritchina L.

The Moscow Space Forces Military Institute of Radio Electronics

Singular ensembles (SE) are pulse pseudo-random pseudo-random discrete components (PDC) of phase-shift keyed signals encoded by maximum linear recurrent sequences (MLRS), shaped by linear decomposition filters (LDF), not overlapping in time over interval of determination (phase) and summarily forming clustered signal with a smooth rounding, elementary discrete values of which take incongruous position [1,2,3].

Optimum discrete signals (ODS) are pulse signals with the property of “no more than one coincidence”, which are synthesized on the basis of perfect difference sets (PDS) with the use of the mathematical apparatus of the complex augmented Galois fields, such as, and Galois fields descriptive geometry [4, 5].

In the work the synthesis of SE of ODS (SEODS) is made with an accent on ternary ensembles with elements, as practically the most interesting ones.

SEODS, synthesized on the basis of binary MLRS, can be used for construction of new frequency - phase-shift keyed signals, which can be practically applied:

- in discrete information transfer systems for the “pilotless” transmission of signal information packages, for, at their frequency division, each of frequency channels can use matrix matched filters, invariant to time of arrival, as decoders.

- in radar station for quasi-optimal echo-signal resolution on the basis of their frequency decomposition.

References

1. 
   Sloka V.K., Struchev V.F., Shchelkin D.V., Shchetinin V.I. Certificate of authorship № 389631 of 26.04.1971. The device for the filtration of signals. Слока В.К., Стручев В.Ф., Щелкин Д.В., Щетинин В.И. Авторское свидетельство №389631 от 26.IV.1971. Устройство для фильтрации сигналов. Опубликовано 05.VII.1973. Бюллетень №29. (russian)
   
2. 
   Sloka V.K., Struchev V.F., Shchetinin V.I. Synthesis of linear filters of decomposition. Слока В.К., Стручев В.Ф., Щетинин В.И. Синтез линейных фильтров разложения. Радиотехника, 1975. Т. 30, №8. (russian)
   
3. 
   Lukinov N.I., Struchev V.F., Shchetinin V.I. Certificate of authorship № 734870 of 11.06.1973. The device for forming pulse codes of pseudo-random sequences. Лукинов Н.И., Стручев В.Ф., Щетинин В.И. Авторское свидетельство №734870 от 11.06.73. Устройство для формирования импульсных кодов псевдослучайных последовательностей. Опубликовано 15.05.80. Бюллетень №18. (russian)
   
4. 
   Hall М. Theory of combinations. Холл М. Комбинаторика /Пер. с англ./ М.: Мир, 1970. (russian)
   
5. 
   Sverdlik M.B. Optimum discrete signals. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975. (russian).