Какие особенности примеров следует отметить?

Корни

Какие особенности примеров следует отметить?

1) Во многих из них под знаками радикалов стоят целые числа. Прежде всего, это степени маленьких простых чисел – 2, 3 и 5. Эти степени надо узнавать. Проглядите все примеры и определите эти степени. Начнем это делать вместе: 8 = 2³; 32 = 2⁵; 27 = 3³; 125 = 5³; 64 = 2⁶; 256 = 2⁸ и т. д. Иногда даются числа, которые надо представить как произведение степеней простых чисел: 20 = 2²  5; 45 = 3³  5; 54 = 2  27 = 2  3³ и т. д.

2) Степени одного простого числа могут быть собраны под одним радикалом, могут быть под двумя радикалами одной степени или разных степеней, соединенных знаком умножения или деления.

а)  – под радикалом 2³  2⁵ = 2⁸. 8 делится на 4. Ответ: 2² = 4.

б) .

в) . – это . .

3) Встречаются десятичные дроби, которые полезно представлять как произведение степеней числа 0,1 и степеней простых чисел, либо как обыкновенную дробь:

0,04 = 2²  (0,1)²; 0,2 =  и т. п.

4) Если иррациональное выражение с квадратным корнем стоит под знаком радикала (эти примеры относят к более трудным), то всегда надо искать рядом (или вводить) «сопряженное выражение» (  ). Их произведение будет, как правило, «хорошим» числом.

;

, поэтому сумма квадратов радикалов в примере 10 равна 7 + 7 = 14, а удвоенное произведение равно 2  1 = 2. Значит, квадрат данного выражения равен 14 + 2 = 16, а само (положительное) выражение равно 4.

Ответы.

1. 4.

2. Первое слагаемое , второе – . Ответ: 3 – 5 = –2.

3. Первое слагаемое = 4, второе – . Ответ: 4 – 2 = 2.

4. Первое слагаемое , второе – . Ответ: 0,5 – 3 = –2,5.

5. Первое слагаемое , второе – . Ответ: 2 – 3 = –1.

6. . Ответ: 0,1  30 – 5,5 = –2,5.

7. ; . Ответ: .

8. 54  250 = 3³  2  2  5³; .

. Придется приводить к корню 6-ой степени: . Ответ: .

9. Под кубическим корнем стоит 3³. Ответ: 3.

10. 4.
Степени

По-прежнему постараемся обойтись устными вычислениями.

Ряд примеров явно нацелен на проверку умения использовать определение и свойства степеней при вычислениях значений числовых выражений – это, прежде всего, №№ 11 – 14. Ситуация практически такая же, как в предыдущей теме (корни).

В качестве оснований берем встречающиеся простые числа: 2, 3, 5.

64 = 2⁶; 4 = 2²; 81 = 3⁴; 125 = 5³ и т. п.

Далее дело сводится к сложению умножению показателей.

11. . Ответ: 2² = 4.

12. В записи этого примера одновременно встречаются и радикалы и дробные степени (что говорит о плохом математическом вкусе составителей).

; . Ответ: 3 – 3 = 0.

13. Собираем степени числа 3: .

Двойка встречается один раз: 2^–4 = . Ответ: .

14. Отдельно считаем степени двойки и тройки.

16 =2⁴; 4  (–0,75)  = 4  = 2

81 = 3⁴ (не забудем, что 81 стоит в знаменателе).

4  (–0,75)  = 2 (заново считать не надо).

Делим: . Ответ: .
В примерах 15 – 18 похожие преобразования делаются с буквенными основаниями.

15. Находим показатель степени: (добавилась проверка умения складывать дроби).

16. a: 2,5 – 0,5 = 2; b: –2,5. Ответ: a²  b^–2,5.

17. Стоит сумма. Скорее всего, слагаемые будут подобны. Складывается с коэффициентами 2 и 31. Ответ: 33.

18. Наконец, появилась алгебра – разность квадратов. Наиболее часто встречающееся разложение: a – b = . уничтожится. Ответ: .

19. m: –3; n: 6. Выражение m^–3n⁶ при m = 4, n = 6 равно = =729.
Пример 20 чуть менее тривиален.

20. Это уже явно пример не на преобразования, а на свойства показательной функции. Функция убывает на всей оси (основание меньше единицы), поэтому всего лишь идет речь о том, как расположить показатели. Их три: –1,6; 1,6; и –4. Ясно, что –4 < –1,6 < 1,6. Так как функция убывает, то в ответе степени запишутся в обратном порядке: .
Логарифмы

Первое, на что следует обратить внимание: там, где логарифмы складываются, вычитаются, умножаются на маленькие числа, можно ожидать простых вычислений; там, где логарифмы перемножаются или делятся, преобразований ожидать не придется.

В примерах 21 и 22 происходит простые вычисления, связанные с логарифмами по одному и тому же основанию.

21. Под знак log₂ надо поставить . Останется log₂2 = 1. Ответ: 1.

22. Лучше привести к степеням десятки: 0,1 = 10^–1, 100 = 10². Понятно, что основание 0,3 отношения к десятке не имеет 2 log_0,30,1 = 2 log_0,310^–1 = –2 log_0,310. Сумма этих логарифмов равна нулю (и основание 0,3 оказалось, как мы и предполагали) не при чем.

23. Встречаются степени двух простых чисел –3 и 11, причем логарифмы перемножаются. Наверняка попадается тождество log₃11  log₁₁3 = 1.

Придется еще вспомнить, что log₉  = log₃ .

Итак: log₉(11⁵) =  5  log₃11. Умножая на log₁₁3, получим в ответе .

24. Сведем к степеням двойки: 128 = 2⁷; 4 = 2². В числителе стоит 7 lg 2, в знаменателе 2 lg 2. Ответ: = 3,5.
Кроме «потенцирования», т. е. перехода от логарифмов к обычной записи чисел, нужно уметь «логарифмировать». Опять же нужно не путать сложение/вычитание с умножением/делением. Теперь все наоборот – логарифмировать сумму/разность напрямую нельзя, а произведение/частное – можно.

25. Понятно, что два слагаемых не связаны друг с другом. Под первым логарифмом стоит (проверяют степень с отрицательным показателем). Теперь вычислим log₈₁ = –log₈₁3. log₈₁3 = .

Второе слагаемое 0,2 = . log₅ = –1. Ответ: .

Примеры 26 и 27 по существу только формой отличаются от предыдущих. Логарифмируем частное и произведение.

26. log₃27 = log₃3³ = 3; log₃a⁴ = 4 log₃a. Подставляем log₃a = 2 (все это устно) и находим ответ 3 – 4  2 = –5.

27. Все аналогично: log₅25 = 2; log₅a² = 2 log₅a. Подставляем log_a5 = – и вычисляем устно: 2 + 2  = 1.

29. Все то же самое, если не проще.

Сразу находим ответ: 2  6 – 3   = 11.
Часто встречаются примеры на использование основного логарифмического тождества .

Так, в примере 28 есть , что сразу равно 3, а вот легко не преобразуется (разве что с переходом к новому основанию), но спасает то, что под знаком log₂ стоит хорошая степень двойки: log₂8 = 3. Вычисляем частное: .
Пример 30 чуть более сложен, но не намного. Ясно, что в нем можно выделить два числа – 12 и 7 (удачно, что 12 не разбивается еще на множители). 49 – это 7². Лучше перейти к основанию 7: log₄₉ = log₇. Теперь уже ясно, что мы придем к произведению log₇12  log₁₂7 = 1. Осталось аккуратно найти коэффициенты. У первого множителя – это ; у второго – . Ответ: .