Математическое моделирование трехмерного движения влаги в почвогрунте

УДК 532.546

Н.Б.Рыскелдиева

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЛАГИ В ПОЧВОГРУНТЕ

Исследуется трехмерная недоопределенная модель переноса влаги, предложенная Ричардсом. С помощью аппарата группового анализа дифференциальных уравнений математическая модель данного процесса представляется в виде вполне определенной системы нелинейных уравнений.

Для благоприятного развития сельскохозяйственных культур одним из важных факторов является рациональный режим содержания влаги в почвогрунте. От обеспечения рационального режима влаги в нем, в первую очередь, зависит урожайность сельскохозяйственных культур. Известно, что прогнозирование процесса передвижения влаги в почвогрунте решается математическим моделированием. Общую модель описания данного процесса в начале 30-х годов прошлого столетия предложил Л.А.Ричардс. Эта модель состоит из уравнений сохранения массы и движения, которые имеют вид [1]

(1)

(2)

где g=rg - объемная масса влаги, [кг/(м·сек)²]; r - плотность влаги, [кг/м³]; g - ускорение силы тяжести, [м/сек²]; (x,y,z) - декартовы координаты точек; z- вертикальная ось, направленная вниз, [м]; t – время; [сек]; q - объемная влажность грунта, [безразмерная величина]; k_k - коэффициент влагопроводимости, [м/сек]; p_k - капиллярное давление, [кг/(м·сек²)]; - вектор скорости влаги, [м/сек]; F(t,x,y,z) – функция, определяющая разность между площадной инфильтрацией, испарением и др. возмущающими факторами, [кг/(м²·сек³)];

Перейдем к безразмерным величинам по формулам

(3)

где T₀ и L₀ – характерное время и характерная длина соответственно; _хар – характерная объемная масса влаги. Переменные с тильдой означают соответствующие безразмерные величины, определенные выше. С помощью (3) из (1)-(2) получим систему уравнений, идентичные по форме, с вышеперечисленными уравнениями за исключением того, что соответствующие одноименные переменные снабжены знаком тильды. С целью упрощения записи далее опускаем знак тильды.

Недоопределенная система (1) и (2) содержит восемь неизвестных переменных: u, v, w, , k_k, p_k, , F. Количество уравнений в системе - четыре и, поэтому четыре неизвестных из восьми должны быть произвольными функциями. Предположим, что объемная масса влаги  и капиллярное давление p_k функции, зависящие только объемной влажности , т.е.

p_k=p_k().

Для удобства математических преобразований, предварительно переобозначим систему (1) и (2) в виде:

(4)

(5)

(6)

В силу этих обозначений система (1) и (2) принимает вид

(7)

(8)

Как видно из (7) и (8), количество неизвестных функций уменьшилось на единицу. Это значит, что одна из них должна задаваться. Допустим, что

, (9)

известная функция. Она и должна задаваться с помощью данных измерений или эксперимента.

Для системы (7) и (8) инфинитезимальным оператором будет оператор

(10)

где - координаты инфинитезимального оператора X, и они зависят только от

Первым продолжением оператора Х будет оператор , который имеет вид

(11)

Подробно способ определения и техника группового анализа изложен в работе [2].

Применяя аппарат группового анализа к системе (7) и (8), определяются координаты и в виде многочленов второй степени относительно x, y и z (которые получены в работе [2]), с коэффициентами, зависящими только от t т.е.







(12)

При этом коэффициент влагопроводимости k_k, согласно С.Ф.Аверьянову [3], представлен в виде произведения коэффициента фильтрации, зависящего от пространственных координат (x,y,z) и некоторой функции, зависящей только от т.е.

. (13)

В силу выше сказанного функции k и f имеют вид:

f=y(x,y,z)m(), k=y(x,y,z)n(), (14)

где

(15)

Как выше сказано, с целью преодоления недоопределенности математической модели, к системе (7), (8) используем аппарат группового анализа дифференциальных уравнений, в результате которого приходим к системе определяющих уравнений:





(16)

(17)





(18)





(19)

Подставляя последнее уравнение системы (19) в (17), получим

. (20)

Отсюда возможны случаи:

(21)

либо

(22)

Рассмотрим случай, когда выполняется условие (21). Тогда из (20) имеем:

(23)

Учитывая (23) из последнего уравнения системы (19) получим:

(24)

Подставляя (23) и (24) в (18) и (19), имеем:



(25)

(26)

Из (25) видно, что относительно функции n() возможны следующие случаи:

(27)

(28)

(29)

n – произвольная функция. (30)

Здесь с – некоторая постоянная, отличная от нуля.

Рассмотрим случай, когда выполняется условие (27). Интегрируя его, имеем:

, (31)

где - постоянная интегрирования. Тогда из (25) и (26) получим:



(32)

. (33)

В силу (21) учитывая, что m нетривиальная функция, отличная от постоянной, расщепляя уравнение (32) и (33) по , получим:

(34)

, (35)

Из первой системы (34) видно, что линейные функции, т. е.

(36)

Предположим, что

(37)

Тогда из третьего уравнения системы (34) имеем

(38)

Подставляя (38) во второе и четвертое уравнения системы (34), во второе уравнение системы (35) и учитывая (12) получим следующие уравнения:

,

,

(39)

Расщепляя систему (39) по x, y, z, и решая полученные уравнения, получим:



(40)

где - произвольные постоянные.

С учетом (36) и (40) из (12) и (38) имеем:



(41)

Из (19) в силу (31), (41) функции k и f принимают следующий вид:

, . (42)

где - произвольная функция от своих аргументов.

Из (16) учитывая (42) получим:

,

,

. (43)

С учетом (41) и (43) из уравнения (23) найдем значения

(44)

где - некоторая постоянная интегрирования.

Рассмотрим случай, когда С₁=, С₄=1, С₆= и напишем базисный оператор, отвечающий этим параметрам:



. (45)

Инвариантами оператора Х₁ являются:

, ,

,



,

. . (46)

В силу этих инвариантов напишем представление решений искомой системы (7)

,

,

,

, (47)

где

,

. (48)

В рассматриваемом случае из первого уравнения системы (35) имеем

(49)

Решением уравнения (49) является следующая функция:

. (50)

Подставляя (47), (50) в уравнение (7) получим:

. (51)

Далее, подставляя (47) в систему (8) имеем:

(52)

В результате проведенного группового анализа, вместо недоопределенной системы (7), (8), представляющую математическую модель изучаемого процесса, мы получили инвариантную (эквивалентную) систему (51) и (52).

Заметим, что в системе (34) также можно предположить, что

. (53)

Тогда, также рассуждая, как изложено выше и проведя соответствующие математические выкладки над определяющими уравнениями, находим координаты инфинитезимального оператора Х:







,

,

. (54)

Аналогично, предполагая С₁=1, С₇= напишем базисный оператор отвечающий этим параметрам:

(55)

Инвариантами оператора из (55) будут

, , , ,

, . (56)

С помощью найденных инвариантов (56) напишем представление решений искомой системы (7) и (8):

, ,

, , (57)

где

. (58)

В зависимости от новых переменных функции k и f представляются в виде

, . (59)

В силу (57)-(59) система (7) и (8) переходит в следующую систему:

(60)

(61)

Полученная нелинейная система (60) и (61) также является определенной и инвариантной к начальной недоопределенной системе (7) и (8). В данной работе получены два различных преобразования (48) и (58), которые привели к системам (51), (52) и (61), (62). Эти системы состоят из четырех уравнений. В этих уравнениях искомые функции зависят от трех аргументов, т.е. количество аргументов снизилось на единицу. Заметим, что полученные системы являются вполне определенными и эквивалентными к первоначальной системе. Действительно, используя обратный переход от новых переменных к первоначальным (t,x,y,z) приходим к системе (7) и (8), что подтверждает эквивалентность полученных систем к первоначальной системе.

Для прогнозирования процесса переноса влаги в реальном объекте, необходимо с помощью данных, полученных путем экспериментальных измерений и/или наблюдений, образовать начальные и краевые условия исследуемой области. Выше перечисленные нелинейные уравнения необходимо линеаризовать в преобразованной области, которая является отображением физической области. Для этой цели используется метод Ньютона-Канторовича [4]. Далее, полученное линейное уравнение решается с соответствующими начально-краевыми условиями. Как видно из (61), полученная система содержит произвольную функцию и произвольные постоянные , с, которые находятся с учетом гидрогеофизических характеристик моделируемого объекта, т.е. они также определяются с точностью измерения и/или наблюдения.

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Веригин Н.Н., Васильев С.В. и др. Гидродинамические и физико–химические свойства горных пород. – М.: Недра, 1977. – 271 с.
   
2. 
   Джаныбеков Ч.Дж., Уралиев А.А. К определению структуры модели влажности почвогрунта //Проблемы автоматики и процессов управления. -Бишкек: Илим, 1995. - С.89-95.
   
3. 
   Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. –М.: Наука, 1977. – 644 с.
   
4. 
   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. –М.: Наука, 1984.