Механика жидкостей Задача 1

Механика жидкостей

Задача 1

На горизонтальной платформе установлена открытая цистерна в форме куба с длиной ребра наполовину заполненная жидкостью плотностью . Платформа начинает двигаться с ускорением. Определите угол наклона жидкости к горизонту, давление жидкости в точках, расположенных в углах цистерны, среднюю силу давления, действующую на дно и стенки сосуда, перпендикулярные направлению движения, в тот момент времени, когда платформа и жидкость в цистерне движутся как одно целое с ускорением а.

Решение: а) Определим форму свободной поверхности
жидкости следующим образом. Сначала рассмотрим вертикальный столб жидкости АВ= у. Запишем для этого столба закон Ньютона, в проекции
на ось ОУ: р_вS- р_oS – m₁g = 0 (1), где т₁ = Sy (2) - масса столба жидкости высотой у, p₀ - атмосферное давление, р_в – давление жидкости в точке В.





Задача 2

Железный кубик со стороной a подвешен на пружине жёсткостью k. В начальный момент кубик касается нижней горизонтальной гранью поверхности воды в сосуде. В сосуд начинают медленно доливать воду так, что её уровень поднимается со скоростью υ₁. С какой скоростью υ₂ относительно сосуда будет при этом двигаться кубик? Плотность воды равна , ускорение свободного падения равно g.
Решение. При медленном повышении уровня воды в сосуде можно считать, что в любой момент времени кубик находится в равновесии. Учитывая, что на кубик действуют силы тяжести, упругости и Архимеда, запишем условие равновесия кубика:
За время t пружина станет короче на υ₂t, а объём погруженной в воду части кубика увеличится на V = (₁ – ₂)·t a². Поэтому сила упругости изменится на F_упр = − kυ₂t , а сила Архимеда - на F = (₁ - ₂ )ta²g




Учитывая, что,

получим после преобразований ₂ = ₁·

С такой скоростью кубик будет «всплывать», пока он целиком не окажется под водой, то есть при t.

При дальнейшем заполнении сосуда водой скорость кубика будет равна нулю.

Задача 3





Ответ: А = 650 кДж

Задача 4

Сообщающиеся цилиндрические сосуды заполнены водой и
закрыты поршнями массами m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг с различными сечениями (S₁>S₂). В положении равновесия первый поршень расположен выше второго на величину h = 10 см. Если на первый
поршень положить гирю массой т = 2 кг, то оба поршня оказываются на одной высоте. Как расположатся поршни, если гирю переложить на второй поршень?

Рещение: Воспользуемся условием равновесия поршней для трёх случаев, представленных на рис. а, б и в (атмосферное давление сразу исключаем):



где S₁ и S₂ – площадь поршней;  - плотность жидкости под поршнями; gh и gH - гидростатические давления столбов жидкостей при равновесии поршней.





Задача 5
Ртуть находится в сообщающихся сосудах. Площадь сечения S₁ левого сосуда в три раза меньше, чем правого. Уровень ртути в узком сосуде расположен на расстоянии = 30 см от его верхнего края. На сколько поднимется уровень ртути в правом сосуде, если левый сосуд доверху заполнить водой? Плотность ртути 13600 кг/м³, воды - 1000 кг/м³.
Решения: После доливания воды уровень ртути в левом сосуде опустится на h₁ . Над границей раздела «ртуть – вода» (АС) будет находится столбик воды высотой ( + h₁). В то же время уровень ртути в правом
колене поднимется на h₂ . На уровне АСВ давления в двух сосудах должны быть одинаковы: в левом - гидростатическое давление на этом

Задача 6
Два сосуда одинакового сечения S = 10 см² соединены между собой очень тонкой трубкой с краном и заполнены не cмешивающимеся между собой жидкостями, плотности которых ₁ = 1 г/см³ и ₂ = 2 г/см³, до высоты h = 1 м. Определите количество теплоты, которое выделится после открытия крана и установления равновесия системы.
Решение:










Задача 7
В сообщающиеся сосуды одинакового малого сечения налита жидкость. Определите разность уровней жидкости в сосудах, если сосуды вращаются с угловой скоростью  вокруг вертикальной оси 00', расположенной на расстоянии х от левого сосуда, как показано на рисунке. Длина горизонтальной части трубки, соединяющей сосуды, равна 

Решение: На рисунке указаны центры масс (А и В) жидкости, находящейся в горизонтальной части сосуда слева и справа от оси вращения ОО. Тогда точка А расположена на расстоянии х/2 от оси, точка В – на расстоянии ( - х)/2