О компьютерном моделировании геомеханических задач

УДК 622.831

Б.Т.Тултуков

Институт кооперации им. акад. Ж.Алышбаева

О КОМПЬЮТЕРНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ГЕОМЕХАНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Даны основные идеи алгоритмизации задач геомеханики на компьютере.
Метод конечных элементов (МКЭ) представляет собой синтез новейших достижений механики сплошных сред и численных методов математики. Он получил широкое применение в различных областях физики и техники. Основная идея МКЭ состоит в дискретизации рассматриваемой области или тела, т.е. в аппроксимации дискретными элементами [1]. Наиболее широкое применение получили треугольные элементы из-за удобства конструирования сети конечных элементов.

В большинстве случаев конструирование сети элементов производится вручную и представляет собой очень трудоемкую операцию, особенно если число элементов велико. При этом трудоемкость заключается не только в разбиении области на элементы, нумерации узлов и элементов, вычислении координат каждого узла, но и в необходимости определения для каждого элемента номеров окружающих его узлов. Всё это требует, в конечном счете, задания большого объема вводимой информации. От того, как будет сконструирована сеть элементов существенно зависит эффективность работы МКЭ.

Как правило, очень трудно вручную проделать эффективную дискретизацию области, так как это зависит от имеющихся навыков, внимания, упорства и других субъективных факторов. В силу этого оправданы усилия на разработку приемов автоматизации конструирования сетей конечных элементов для получения эффективной дискретизации области и значительного сокращения объема вводимой информации.

В данной статье рассматриваются некоторые типовые сети конечных элементов определенной структуры, применяющиеся в основном для решения задач горного дела. Процесс решения задачи на компьютере состоит в разбиении рассматриваемой области на конечные элементы, нумерации узлов и элементов, задании числа, размеров и формы зон, которые используются для построения дискретной модели. Границы между зонами проходят там, где изменяется геометрия, приложенная нагрузка или свойства пород. При определении размеров элементов нужно учитывать заданные условия. Нужно уменьшать размеры элементов в тех зонах, где ожидаемый результат может очень сильно меняться (большие величины градиентов), и увеличивать их там, где ожидаемый результат почти постоянен (малые величины градиентов).

Наиболее часто употребляются треугольные и четырехугольные зоны. Для разбиения треугольной зоны на элементы выбирается определенное число узлов вдоль каждой стороны и соответствующие узлы соединяются прямыми линиями. Точки пересечения этих линий считаются узлами (рис 1). При этом число треугольных элементов в результате разбиения равняется (n-1)², если на стороне треугольной зоны выбрано n узлов.

Четырехугольная зона разбивается на элементы соединением узлов на противоположных сторонах. Внутренние узловые точки определяются пересечениями линий. Внутренние четырехугольники могут рассматриваться как элементы или могут быть разбиты на треугольные элементы проведением диагонали. Число узлов на противоположных сторонах должно быть равным, а на смежных может быть различным. Если на смежных сторонах четырехугольной зоны фиксировано n и m узлов, то в результате разбиения будет 2(n-1)(m-1) треугольных элементов. Треугольная и четырехугольная зоны могут иметь общую границу. Для сохранения непрерывности рассматриваемых величин вдоль общей границы элементов, число узлов на границе для обеих зон должно быть одинаковыми и относительное положение узлов должно совпадать [2].

Использование МКЭ приводит к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей коэффициентов. Количество членов в строке ленты матрицы коэффициентов называется шириной полосы и вычисляется по формуле S=Q(P+1),

где P - максимальная по элементам и величина наибольшей разности между номерами узлов в отдельном элементе, Q - число степеней свободы. Уменьшение ширины полосы приводит к сокращению размеров требуемой машинной памяти и времени вычислений. Минимизация величины S связана с минимизацией P. Это может быть осуществлено последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера области.

Пусть имеется 2 типа зон прямоугольная четырехугольная и треугольная (рис 1,2).










Рис. 1. Рис.2.
Р
2 2
3 1 2.3 1 3 1.2 3 4.1 3.4 1
4 4 4

Рис.3 а) б) в) г)

Рис.4
азбиваемую область будем представлять в виде конечного числа зон вышеуказанного типа. Так как зоны могут иметь общие границы, то необходимы какие-то данные для их соединения. Для этого будем нумеровать стороны зон следующим образом. Четырехугольная зона нумеруется как показано на рисунке 3. Назовем число узлов, фиксированный на сторонах 1 и 3 – числом строк, а на сторонах 2 или 4 числом столбцов.

Треугольная зона в зависимости от положения прямого угла совпадают различные 2 стороны, как показано на рисунке 4. В случаях а и б задается число строк (число столбцов полагается равным 0), а в случаях в и г задается число столбцов (число строк полагается равным 0). Для каждой зоны задается число строк, столбцов и размеры элементов по осям координат. Если размеры элементов во всех зонах одинаковы, то получается равномерное разбиение. Большой интерес, конечно же, представляет нерегулярное разбиение, когда размеры элементов различны в каждой зоне. Каждая зона имеет свой номер. Зоны нумеруются последовательно слева направо, начиная с самой левой нижней.

Для моделирования общих границ между зонами для каждой зоны задаются данные соединения. Данные соединения представляют собой вектор с 2-мя столбцами. Достаточно 2 столбцов для 1-й и 2-й сторон четырехугольной зоны, так как зоны нумеруются слева направо. Если i-я сторона зоны I (i=1,2) соединяется с другой зоной К (т.е. две зоны имеют общую сторону), то в соответствующем столбце ставится номер зоны К. В противном случае ставится 0. Используя данные о числе зон в области, их форме, о числе строк и столбцов в зонах можно выбрать направление наименьшего размера области.

В зависимости от вида рассматриваемой области нумерация узлов ведется вдоль одной из осей координат. Начало осей координат располагается на расстоянии равном х₁²+у₁² от узла №1, где х₁ - размер элементов по оси Х в зоне № 1, у₁ - размер элементов по У в зоне № 1. Таким образом, узел № 1 имеет координаты (х₁, у₁). Координаты остальных узлов будут вычисляться согласно заданным размерам элементов в зонах.

Элементы нумеруются параллельно с узлами и для каждого элемента вычисляются номера, окружающих его узлов. Поскольку нумерация узлов ведется в направлении наименьшего размера области, то величина P будет минимально возможной и в итоге получится максимально эффективная сеть конечных элементов для данной области при данном числе узлов и элементов.

Программа разработана на алгоритмическом языке Turbo Pascal 7.0 для IBM PC.
ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Фадеев А.Б., Репина П.И., Абдылдаев Э.К. Метод конечных элементов при решении геотехнических задач и программа геомеханика. –Ленинград, 1982. –с.83
   
2. 
   Абдылдаев Э.К. Напряженно деформированное состояние массива горных пород вблизи выработок. –Фрунзе: Илим, 1990. –с.164