Ответы на вопросы по механодинамике

ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ПО МЕХАНОДИНАМИКЕ
Канарёв Ф.М.

[email protected]
Анонс. Ошибочность первого закона динамики Ньютона привела к пересмотру всех её законов и родилась их новая совокупность, в которой бывший второй закон динамики Ньютона занял лидирующие позиции и был назван главным законом. Поскольку давно существуют понятия со словом динамика, такие, как: Электродинамика, Термодинамика, Гидродинамики, Аэродинамика, то для более точного отражения круга задач, решаемых бывшей динамикой Ньютона, введено понятие Механодинамика с новой совокупностью законов, описывающих механические движения материальных точек и тел.
81. Содержит ли динамика Ньютона существенные противоречия? В 2009 году установлено экспериментально и теоретически, что научные идеи Исаака Ньютона, так же, как научные идеи Альберта Эйнштейна, содержат фундаментальные противоречия [1].

82. Какой же закон Ньютона содержит противоречия и в чём их сущность? Чтобы ответить на этот вопрос приведём ньютоновскую формулировку его первого закона. «Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку приложенные силы не заставят его изменить это состояние». Из этой формулировки следует, что сумма сил, действующих на равномерно и прямолинейно движущееся тело, равна нулю, что, как считалось, эквивалентно отсутствию математической модели, описывающей прямолинейное равномерное движение тела. Более 300 лет все соглашались с ненадобностью математической модели для описания равномерного прямолинейного движения тела или его равномерного вращения, несмотря на явную потребность в такой модели [1].

83. В чём суть этих противоречий? Она элементарна. Если рассматривать равномерное прямолинейное движение автомобиля, то, двигаясь равномерно, он расходует топливо и совершается работа по перемещению автомобиля. Значит, существует сила, движущая автомобиль равномерно и совершающая работу. Из этого следует, что должна быть математическая модель для описания равномерного прямолинейного движения тела, в которую должна входить указанная сила и мы обязаны уметь рассчитывать её. Однако, более 300 лет мы не умели делать это.

84. Можно ли считать, что первый закон динамики Ньютона – яркий пример нарушения принципа причинности? Конечно, можно. Автомобиль едет прямолинейно и равномерно, расходуется топливо, совершается работа, которая, согласно первому закону является беспричинной, так как мы не можем рассчитать силу, которая совершает эту работу. Таким образом, отсутствие ответа на вопрос: какая сила движет тело равномерно и прямолинейно, остаётся без ответа с момента своего рождения (1687 год). Это явно нарушает принцип причинности [1].

85. Главная причина, породившая беспричинность, следующую из первого закона динамики Ньютон? Поскольку равномерное движение всегда следует после ускоренного, которое является причиной равномерного движения, то равномерное движение и его закон нельзя было ставить на первое место, так как при этом теряется причина, реализующая этот закон.

86. Какой же закон должен быть первым законом, описывающим движения тел? Так как равномерное движение тела всегда наступает после ускоренного, то первым законом механодинамики должен быть закон ускоренного движения, а второй – равномерного. Только в этом случае сохраняются причинно-следственные связи между законами, описывающими разные фазы движения тел.

87. Так как второй закон динамики Ньютона описывает ускоренное движение тела, то можно ли ставить его на первое место? Нет, нельзя, так как в его формулировке присутствует лишь одна сила, равная массе тела, умноженной на ускорение его движения, и ничего не говорится об остальных силах, обеспечивающих ускоренное движение тела [1].

88. Но ведь второй закон Ньютона является главным законом его динамики, поэтому он должен занимать особое место и в механодинамике. Как это учесть? Второй закон Ньютона – основа технической революции, поэтому он заслуживает того, чтобы считать его главным законом механодинамики. Так он и представлен в Механодинамике [1].

89. Как формулируется основной закон механодинамики? Сила F, действующая на материальное тело, движущееся с ускорением, всегда равна массе тела, умноженной на ускорение и совпадает с направлением ускорения .

90. Согласно Даламберу, при ускоренном движении тела на него действует сила инерции, равная произведению массы тела на его ускорение и направленная противоположно движению. Какая математическая модель, описывающая ускоренное движение тела, следует из этого? Согласно Даламберу, сила инерции , действующая на ускоренно движущееся тело, равна ньютоновской силе , движущей тело ускоренно, и противоположна ей по направлению. Если сумму всех сил сопротивления движению обозначить через , то согласно принципу Даламбера, сумма сил, действующих на движущееся тело, в каждый данный момент времени, равна нулю. В результате уравнение ускоренного движения тела в динамике Ньютона записывается так
. (23)
91. Что получится, если вместо ньютоновской силы и силы инерции подставить их составляющие: массу тела и его ускорение? Ответ очевиден.
. (24)
92. Но ведь в этом случае в формуле (24) появляется явное противоречие. Почему оно игнорировалось? Это вопрос историкам науки. Мы можем высказать лишь предположение. Причина игнорирования противоречия, следующего из формулы (24), – непонимание физической сути силы инерции , которая всегда возникает и действует на тело при его ускоренном движении и направлена она противоположно ускоренному движению тела.

93. В чём суть непонимания действия силы инерции на ускоренно движущееся тело?

Суть этого непонимания заключается в том, что сила инерции, действующая противоположно ускоренному движению тела, тормозит это движение совместно с другими силами сопротивления, и каждая из сил сопротивления движению тела формирует его замедление со знаком противоположным знаку ускорения .

94. Значит ли это, что сила инерции является частью всех сил, сопротивляющихся ускоренному движению тела? Конечно, значит.

95. Следует ли из этого ошибочность определения модуля силы инерции путём умножения массы тела на ускорение его движения? Конечно, следует. Причём, - однозначно и неопровержимо.

96. Значит ли это, что Даламбер ошибся, определяя силу инерции через произведение массы тела на его ускорение? Конечно, значит.

97. Какой же выход их этих противоречий? Он следует из принципа Даламбера, согласно которому в каждый данный момент сумма сил, действующих на движущееся тело, равна нулю. Этот принцип будет правильно отражать реальность, если считать, что все силы, сопротивляющиеся ускоренному движению тела, формируют замедления , сумма которых равна ускорению , формируемому ньютоновской силой. В результате уравнение, описывающее ускоренное движение тела, принимает вид [1]
. (25)
И все противоречия исчезают.

98. Но ведь в уравнении (25) сила инерции равна массе тела, умноженной на замедление, а до этого вместо замедления использовалось ускорение. Из этого следует не соответствие уравнения (25) принципу Даламбера. Какой выход из этого противоречия? Выход уже найден. Бывший Принцип Даламбера: сумма сил, действующих на движущееся тело, в любой момент времени равна нулю, назван главным принципом механодинамики.

99. Можно ли изобразить графически силы, представленные в уравнении (25)? Можно (рис. 9).

Рис. 9. Схема сил, действующих на ускоренно (OA) движущийся автомобиль
При ускоренном движении автомобиля (рис. 9, b) на него действует ньютоновская сила , генерируемая его двигателем; сила инерции , направленная противоположно ускорению автомобиля и поэтому тормозящая его движение; суммарная сила всех остальных сопротивлений , которая также направлена противоположно движению автомобиля. В результате, в соответствии с главным принципом механодинамики, имеем неоспоримое уравнение сил (25), действующих на ускоренно движущийся автомобиль (рис. 9, b).

100. Как формулируется первый закон механодинамики? Ускоренное движение тела происходит под действием ньютоновской активной силы и сил сопротивления движению в виде силы инерции , и механических сил сопротивления , сумма которых, в каждый данный момент времени, равна нулю.

101. Какое первое следствие следует из первого закона механодинамики и как оно формулируется? Первое очевидное следствие первого закона механодинамики следует из его математической модели (25).

. (26)
Это следствие формулируется следующим образом: в каждый данный момент времени ускорение ускоренно движущегося тела равно геометрической сумме замедлений, формируемых силой инерции и другими силами сопротивления ускоренному движению тела .

102. Чему равно суммарное замедление, формируемое всеми силами сопротивления ускоренному движению тела? Оно равно .

103. Как определить экспериментально сумму этих замедлений, например, при ускоренном движении поезда? Надо установить между электровозом (тепловозом) и вагонами поезда динамометр и записать его показания при ускоренном движении поезда, масса которого известна. Сила сопротивления ускоренному движению поезда, которую покажет динамометр, будет равна
. (27)
104. Как определить величину инерциального замедления , формируемого силой инерции при ускоренном движении поезда? Надо записать показания динамометра при равномерном движении поезда и учесть, что при равномерном движении поезда инерциальное замедление равно нулю . Равномерному движению поезда сопротивляются все другие силы (механические, аэродинамические…), поэтому показания динамометра будут равны . Из этого результата находим величину замедления, формируемую механическими и аэродинамическими силами . Учитывая формулу (27), имеем величину замедления, формируемую силой инерции при ускоренном движении поезда

. (28)
105. Можно ли определить инерциальное замедление из формулы (26)? Можно, конечно, но тогда формулу (26) надо представить так Здесь - суммарная сила всех механических и аэродинамических сопротивлений при равномерном движении тела.

106. Значит ли это, что коэффициенты механических сопротивлений ускоренному движению поезда, определённые до этого по показаниям динамометра, регистрируемым при этом виде движения, ошибочны? Ответ однозначный. Значит.

107. Почему все коэффициенты механических сопротивлений при ускоренном движении тел, определяемые по показаниям динамометров, расходу электроэнергии или топлива, ошибочны? Потому что из математической модели первого закона механодинамики (25) следует, что ускоренному движению тела сопротивляются не только механические и аэродинамические силы, но и сила инерции. Её действие автоматически входит в показания всех приборов: динамометров, счётчиков электроэнергии и расходомеров топлива при ускоренном движении.

108. Почему же сила инерции не входит в уравнение сил, действующих на равномерно движущееся тело? Нет, она входит в уравнение, описывающее равномерное движение тела, но со знаком, противоположным тому, который имела при ускоренном движении тела.

109. Почему же тогда показания динамометра, счётчика электроэнергии и расходомера топлива не фиксируют действие силы инерции при равномерном движении тела? Потому что сила инерции способствует равномерному движению тела, а не формирует торможение этому движению.

110. Какие же силы формируют торможение прямолинейному равномерному движению тела и на что ж расходуется энергия при равномерном движении тела? Тормозят прямолинейное и равномерное тело механические и аэродинамические силы. Энергия при прямолинейном и равномерном движении тела расходуется на преодоление механических и аэродинамических сил сопротивлений.

111. Какой же показатель характеризует в таком случае величины механических и аэродинамических сопротивлений при равномерном движении? Он следует из формулы .

112. Значит ли это, что величина замедления , генерируемая силами механических и аэродинамических сопротивлений при ускоренном и равномерном движении тела одна и та же? Если силы трения, силы сопротивления качению колёс и аэродинамические силы сопротивления не зависят от скорости, то значит, а если зависят, то надо учитывать их зависимость от скорости, меняющейся при ускоренном движении тела.

113. Как записывается первый закон механодинамики в дифференциальном виде?
. (29)

114. Какой вид принимает это уравнение в проекции на ось ОХ? В проекции на ось ОХ уравнение (29) становится таким

. (30)
После интегрирования мы поучим уравнение движения материального тела вдоль оси ОХ.

115. Какой вид принимает уравнение (25) при описании движения тел в космосе? Нетрудно видеть (25), что при полном отсутствии механических и аэродинамических сил сопротивления  (в космосе ) сила инерции _ равна ньютоновской силе _, но тело движется. Это возможно только при условии, когда ньютоновская сила больше силы инерции, поэтому математическая модель, описывающая движение тела в космосе, должна представляться в виде неравенства
_, (31)

или

_. (32)
116. Что произойдёт, если отключить двигатель, формирующий ньютоновскую силу в космосе? Ньютоновская сла будет равна нулю, но это не остановит тело, так как оно будет двигаться под действием силы инерции , направленной в сторону движения тела.

117. Участвуют ли уравнения кинематики в решении задач динамики ускоренного движения тела? Конечно, участвуют. Величина полного ускорения _ определяется из кинематического уравнения ускоренного движения тела
. (33)
Если начальная скорость автомобиля _, то полное ускорение _ равно скорости _ автомобиля в момент перехода его от ускоренного к равномерному движению, делённому на время _ ускоренного движения

_. (34)
118. Можно ли постоянную скорость равномерного движения тела считать конечной скоростью ускоренного движения? Если ускоренное движение тела переходит в равномерное, то постоянная скорость (_) равномерного движения тела равна конечной скорости его ускоренного движения.

119. Какая фаза движения тела следует после фазы его ускоренного движения? После фазы ускоренного движения тела могут следовать фазы равномерного или замедленного движения.

120. Может ли отсутствовать фаза равномерного движения тела? Конечно, может. Например, при резком торможении автомобиля, движущегося ускоренно, сразу наступает фаза замедленного его движения.

121. Какой закон механодинамики является вторым и почему? Вторым законом механодинамики является закон, описывающий фазу равномерного движения. Необходимость постановки на второе место закона, описывающего равномерное движение тела, следует из причинно-следственных связей между этими движениями. Равномерное движение тел всегда следует после ускоренного их движения.

122. Как формулируется второй закон механодинамики и какая математическая модель следует из этой формулировки? Второй закон механодинамики гасит: равномерное движение тела происходит под действием силы инерции _, направленной в сторону движения, а также постоянной активной силы _ и сил сопротивления движению . Когда автомобиль начинает двигаться равномерно (рис. 10, b), то сила инерции _ автоматически изменяет своё направление на противоположное и уравнение суммы сил (25), действующих на автомобиль при его ускоренном движении, становится таким [1]

. (35)
Это и есть второй закон механодинамики – закон равномерного прямолинейного движения тела (бывший первый закон ньютоновской динамики). Суть второго закона механодинамики заключается в том, что равномерное движение автомобиля (тела) обеспечивает сила инерции _, а постоянная активная сила _, генерируемая двигателем автомобиля, преодолевает все внешние сопротивления . Сила _ постоянна потому, что автомобиль движется равномерно и его ускорение равно нулю _ (рис. 10).


Рис. 10. Схема сил, действующих на равномерно движущийся автомобиль
123. Из описанного следует, что сила инерции, препятствовавшая движению тела в фазе его ускоренного движения, превращается в силу, движущую автомобиль в фазе его равномерного движения. Так это или нет? Конечно, так. При переходе тела от ускоренного движения к равномерному сила инерции никуда не исчезает, она меняет своё направление на противоположное и превращается в силу, не тормозящую движение тела, а поддерживающую это движение.

124. Как изменится уравнение (35), когда водитель выключит передачу? Какая фаза движения автомобиля наступит после этого и почему? Если водитель выключит передачу, то и уравнение (35) становится таким
. (36)
Если бы силы сопротивления точно равнялись силе инерции, то автомобиль продолжал бы равномерное движение, как говорят, вечно. Но в реальности этого не бывает. Силы сопротивления движению автомобиля не постоянны. Изменяясь, они принимают значения большие средних значений. В результате сила инерции становится меньше, и автомобиль начинает двигаться замедленно.

125. Фазу замедленного движения описывает 3-й закон механодинамики. Как он формулируется, какой математической моделью описывается, какие силы и как приложены к телу, движущемуся замедленно? Если выключить коробку передач автомобиля, движущегося равномерно (35), то активная сила _ исчезнет (рис. 10, b) и остаются две противоположно направленные силы: сила инерции _ и сумма сил механических сопротивлений движению (рис. 11, b).

Рис. 11. Схема сил, действующих на замедленно движущийся автомобиль
Поскольку сила инерции не имеет источника, поддерживающего её в постоянном состоянии, то она оказывается меньше сил сопротивления движению () и автомобиль, начиная двигаться замедленно (рис. 11, b), останавливается (рис. 11, a, точка С). С учётом этого есть основания назвать силу инерции пассивной силой, которая не может генерировать ускорение, так как сама является следствием его появления.

Таким образом, надо чётко представлять направленность сил, действующих на автомобиль, при переходе его от равномерного движения к замедленному. Первичная сила инерции _(рис. 11, b) не меняет своего направления, а появившееся замедление , генерируемое силами сопротивления движению, оказывается направленным противоположно силе инерции.

Итак, если автомобиль переходит от равномерного движения к замедленному, то прежняя сила инерции _ и силы сопротивления движению не меняют своих направлений. Сила инерции не генерирует ускорение, а неравномерность сил сопротивления приводит к постепенному уменьшению силы инерции _ и тело останавливается [1].
. (37)
Это и есть математическая модель 3-го ЗАКОНА механодинамики. Он гласит: замедленное движение твёрдого тела управляется превышением сил сопротивления движению над силой инерции.

Обратим внимание на то, что расстояние _ движения автомобиля с ускорением меньше расстояния движения с замедлением _ (рис. 11, a). Обусловлено это тем, что на участке _ величина сил сопротивлений при разгоне автомобиля больше сил сопротивлений при замедленном движении за счёт того, что при замедленном движении выключен двигатель и коробка передач. Это - главная причина экономии топлива при езде с периодическим выключением передачи.

126. Как формулируется 4-й закон механодинамики и отличается ли он от соответствующего закона динамики Ньютона? 4-й ЗАКОН механодинамики (равенство действия противодействию) не отличается от соответствующего закона динамики Ньютона. Силы, с которыми действуют друг на друга два тела (рис. 12), всегда равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей центры масс этих тел, в противоположные стороны. Поскольку , то  или

 (38).


Рис. 12. Схема контактного взаимодействия двух тел
То есть ускорения, которые сообщают друг другу два тела, обратно пропорциональны их массам. Эти ускорения направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Следует особо отметить, что четвёртый закон механодинамики отражает взаимодействие тел, как на расстоянии (взаимодействие Земли с Луной), так при непосредственном контакте (рис. 12). На рис. 12 показано, что в момент контакта тел A и B силы _ и _ их взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению. При этом обе силы _ и _ являются силами внешнего воздействия и появляются одновременно. Силы инерции _ и _ также равны по величине и противоположны по направлению.

127. Как формулируется 5-й закон механодинамики и отличается ли он от соответствующего закона динамики Ньютона? 5-й ЗАКОН механодинамики (независимость действия сил) отличается от соответствующего закона динамики Ньютона. При одновременном действии на тело или точку нескольких сил сопротивления движению  ускорение _ материальной точки или тела оказывается равным геометрической сумме замедлений, приходящихся на долю каждой из сил сопротивления движению . Учитывая, что в уравнении (25)  - геометрическая сумма замедлений, приходящихся на долю всех сил сопротивлений , кроме силы инерции _, то есть , имеем
_ (39)
Это - математическая модель 5-го ЗАКОНА механодинамики. Он гласит: при ускоренном движении твердого тела ускорение, формируемое ньютоновской силой, равно сумме замедлений, формируемых всеми силами сопротивлений движению, в том числе и силой инерции.

128. Некоторые считают, что равномерное и прямолинейное движение тела - результат наличия у него кинетической энергии, а не результат действия силы при таком движении. Правильна ли такая точка зрения? Нет, не правильна. Они не понимают связи между кинетической энергией прямолинейно движущегося тела и силой, генерирующей эту энергию, а значит и - перемещающей это тело.

129. Можно ли привести математическую модель, из которой следует ответ на вышеприведённый вопрос? Конечно, можно. Связь между кинетической энергией равномерно движущегося тела и его мощностью следует из работы силы, совершаемой при его равномерном движении за одну секунду [1].
(40)

130. Есть ли противоречия во втором законе Ньютона? Пока нет признаков наличия противоречий в бывшем втором законе Ньютона, а теперь главном законе механодинамики, поэтому есть основания считать его основным законом механодинамики, формирующим её фундамент.

131. Ошибочность первого закона ньютоновской динамики и необходимость новой нумерации её законов, соответствующей причинно-следственным связям, вытекающим из первичности ускоренного движения тела, поставили вопрос об изменении названия динамика. Есть ли ещё причины, вызывающие эту необходимость? Есть, конечно. Ведь давно существуют названия термодинамика, электродинамика, гидродинамика, аэродинамика, поэтому возникает необходимость в таком понятии, которое отражало бы суть динамики механического движения тел.

132. Какое понятие можно считать в этом случае наиболее приемлемым? Поскольку старое название «Динамика» описывает механические движения тел, то есть основания ввести новое понятие «Механодинамика». Оно точнее будет отражать суть законов механического движения твёрдых тел.

133. Можно ли подвести краткий итог? В чём суть нового в динамике Ньютона? Динамики Ньютона уже нет. Есть механодинамика, занявшая свое равноправное положение среди своих родственниц: термодинамики, электродинамики, гидродинамики, аэродинамики. Механодинамика начинает описание движения тел с ускоренного движения, потом переходит к описанию равномерного и замедленного движений. Все старые учебники по динамике игнорируют необходимость последовательного анализа всех фаз движения, начиная с ускоренного движения. В старой динамике каждая фаза движения изучается обособленно от всех остальных, в результате и появляется обилие противоречий. Нельзя сразу описывать замедленное движение тела, не имея информации о его равномерном движении, которое всегда предшествует замедленному движению. Начинать анализ движения тела надо с его ускоренного движения и только после этого переходить к анализу равномерного и замедленного движений. Это главное правило описания динамики движения тел полностью игнорируется во всех учебниках по динамике. Там каждое из этих движений описывается независимо от всех остальных.

134. Следует ли из сказанного выше, что динамику Ньютона уже нельзя преподавать? Конечно, следует, но её будут преподавать, так как нет закона, наказывающего за отказ преподавать новые знания.

135. В чём суть физических изменений в описании последовательности указанных движений материальных точек и тел? Суть в том, что если тело движется, не важно как, ускоренно, равномерно или замедленно, то на него обязательно действует сила совместно с другими силами, которые надо уметь рассчитывать. Первый закон Ньютона, не имея математической модели, лишал нас возможности делать это.

136. Наша колыбель – планета Земля движется вокруг Солнца миллиарды лет. Позволяла ли динамика Ньютона рассчитать силу, которая движет Землю по орбите вокруг Солнца? Нет, не позволяла, так как орбитальное движение Земли в первом приближении считается равномерным, то первый закон, посвящённый таким движениям, не имея математической модели, лишал нас возможности рассчитать силу, движущую Землю.

137. Решают ли эту задачу законы механодинамики? Конечно, решают и достаточно просто.

138. Можно ли привести это решение? Конечно, можно. Вот оно. Кинетическая энергия орбитального вращения Земли равна
. (41)

Вполне естественно, что кинетическая энергия нашей планеты в орбитальном движении за одну секунду генерирует мощность, численно равную, её кинетической энергии, то есть

. (42)
Поскольку угловая орбитальная скорость Земли равна , то орбитальный инерциальный момент (не момент инерции Земли, а ёё орбитальный инерциальный момент), вращающий Землю вокруг Солнца, равен
. (43)
Учитывая радиус орбиты , находим силу инерции, движущую Землю по орбите

. (44)
Отметим, Исаак Ньютон опубликовал свой обобщающий научный труд «Математические начала натуральной философии в 1687г., а сила инерции, движущая Землю по орбите вокруг Солнца, рассчитана лишь в 2011г.

139. Какие основные выводы следуют из новых формулировок законов механодинамики? Они следующие:

1. Все виды движений материальных объектов имеют минимум две фазы движений: ускоренную и замедленную; 2. Равномерное и замедленное движения твердых тел всегда являются следствиями их ускоренного движения; 3. В Природе и человеческой практике чаще встречаются три фазы движения материальных объектов: ускоренная, равномерная и замедленная; 4. В ускоренной фазе движения материального объекта, сила инерции препятствует его движению; 5. В фазе равномерного движения сила инерции направлена в сторону движения и является силой, способствующей равномерному движению объекта; 6. В фазе замедленного движения сила инерции, является главной силой, движущей объект, который постепенно останавливается, так как силы сопротивления движению больше силы инерции; 7. Невозможно составить единую математическую модель, описывающую одновременно все три фазы движения материального объекта: ускоренное, равномерное и замедленное; 8. Современный уровень знаний позволяет корректно описать все три фазы движения материального объекта только порознь.

140. Соблюдаются ли описанные законы при криволинейных движениях точек и тел? Полностью соблюдаются.

141. Какова математическая модель механодинамики, описывающая ускоренное криволинейное движение точки? Она следует из схемы сил, действующих на криволинейно движущуюся точку, представленных на рис. 13. Опишем кратко силы, действующие на точку, движущуюся ускоренно и криволинейно, и покажем направления их действия (рис. 13).

Поскольку движение криволинейное, то при наличии связей нормальная составляющая полного ускорения всегда направлена в сторону вогнутости кривой (рис. 13). Направление касательной составляющей полного ускорения зависит от характера криволинейного движения. Если оно ускоренное, то направления касательного ускорения и вектора скорости совпадают (рис. 13).

При ускоренном криволинейном движении на материальную точку действует ньютоновская (движущая сила) , сумма сил сопротивления , направленная противоположно движению, касательная и нормальная составляющие полной силы инерции .

Рис. 13. Схема сил, действующих на материальную точку,

движущуюся криволинейно и ускоренно
Вектор ньютоновской силы направлен вдоль вектора полного ускорения в сторону вогнутости кривой. Он раскладывается на две составляющие: нормальную и касательную . Поскольку касательная сила инерции направлена противоположно ускорению и генерирует замедление , то нормальная составляющая силы инерции всегда направлена от центра кривизны траектории вдоль радиуса кривизны. Таким образом, уравнение сил, действующих на ускоренно движущуюся материальную точку вдоль касательной к криволинейной траектории, запишется так [1]
(45)

или

. (46)
Уравнения (45) и (46) аналогичны уравнениям сил, действующих на ускоренно движущееся тело при прямолинейном движении (25). Для решения этого уравнения необходимо знать касательное ускорение и замедление . Чтобы определить, их надо знать уравнение движения точки. В рассматриваемом случае оно задаётся в естественной форме

. (47)
Зная уравнение движения точки (47), находим её скорость
(48)

и касательное ускорение

. (49)
Модуль нормального ускорения определяется по формуле

, (50)

где - радиус кривизны траектории.

Модуль инерциального замедления можно определить только в том случае, когда будет известна сумма сил сопротивлений , действующих на точку. Величина определяется экспериментально. Зная её, находим замедление , формируемое касательной составляющей силы инерции (рис. 13).
. (51)
Из этого уравнения следует, что замедление , приходящееся на долю сил сопротивления , равно

(52)

или

. (53)
Таким образом, новые законы механодинамики позволяют корректно описать процесс криволинейного ускоренного движения материальной точки. Приступим к описанию равномерного криволинейного движения точки.

142. Какова математическая модель, описывающая равномерное криволинейное движение точки? При равномерном криволинейном движении точки касательное ускорение равно нулю, но касательная сила инерции , действовавшая на точку в период, когда она двигалась ускоренно, перед переходом к равномерному движению, никуда не исчезает. Она изменяет своё направление на противоположное (рис. 14). В результате сумма касательных сил, действующих на материальную точку, запишется так
(54)

или

. (55)
где - постоянная сила, движущая точку по криволинейной траектории с постоянной по модулю скоростью .

Напомним, что сумма сил сопротивлений движению точки – величина экспериментальная. Так как скорость криволинейного движения точки в этом случае – величина постоянная , то касательная составляющая её полного ускорения равна нулю и остаётся одно нормальное ускорение , и - противоположно направленная центробежная сила инерции (рис. 14).


Рис. 14. Схема сил, действующих на материальную точку при её равномерном

криволинейном движении
Физическая суть уравнения (54) заключается в следующем. Движущая касательная сила преодолевает все сопротивления движению , а сила инерции движет точку равномерно. Таким образом, имеется вся информация, необходимая для определения сил, действующих на материальную точку, движущуюся криволинейно и равномерно.

143. Какова математическая модель механодинамики, описывающая замедленное криволинейное движение точки? При переходе материальной точки от равномерного к замедленному криволинейному движению касательная составляющая движущей силы исчезает. Остаётся касательная составляющая силы инерции и сумма сил сопротивлений движению, которая генерирует замедление (рис. 15).


Рис. 15. Схема сил, действующих на точку при её криволинейном замедленном движении
Поскольку сумма сил сопротивления движению больше касательной силы инерции , которая не генерирует ускорение, то и замедление , соответствующее силе и совпадающее с её направлением, формирует вместе с нормальной составляющей ускорения полное замедление , направленное с левой стороны нормальной оси (рис. 15). Одинаковая размерность ускорения и замедления даёт нам право складывать их геометрически (рис. 15).

При переходе точки к замедленному движению сумма сил сопротивления движению оказывается больше силы инерции и движение точки постепенно замедляется. Новые знания по механодинамике позволяют точно определить силы сопротивления движению любого тела. Метод определения этих сил следует из формулы (25). Если определяются силы сопротивления движению точки, то делать это надо только при её равномерном движении. Если же сумму сил сопротивления движению точки определять при её ускоренном движении, то, в соответствии с формулами (45) и (46), сила инерции , препятствующая ускоренному движению точки, автоматически войдёт в сумму сил сопротивления движению и результат определения сил сопротивлений будет полностью ошибочен.

Ньютоновская или движущая сила при криволинейном движении определяется по основному закону Ньютона

. (56)

Полное ускорение , связано с её нормальной и касательной составляющими простой зависимостью

, (57)
поэтому, если известны проекции и ускорения, то это позволяет определить полное ускорение .

Отметим, что, если радиус кривизны траектории движения точки постоянен , то всё описанное относится и к движению точки по окружности.

Известно, что при относительном движении возникает кориолисова сила инерции, которая определяется по формуле . В связи с изложенным, возникает вопрос.

144. Откуда берётся двойка в формуле кориолисова ускорения , возникающего при сложном движении материальной точки? Это достаточно сложный вопрос и на него нет краткого ответа. Полный ответ следует из анализа и кинематики, и динамики сложного движения точки.

145. Какой ответ следует на 144-й вопрос из кинематики сложного движения точки? Чтобы найти его надо проанализировать процесс вывода формулы из кинематики её сложного движения. Представим процесс этого вывода. Из кинематики известно, что в общем случае абсолютное ускорение точки равно
(58)
где - переносное, относительное и кориолисово ускорения точки M соответственно (рис. 16).

Рис. 16. Схема к анализу сложного движения точки
Надо иметь в виду, что кинематическое уравнение (58) получено без учета массы точки и сил, действующих на неё, поэтому при рассмотрении механодинамики сложного движения точки уравнение (58) становится неполным, так как не учитывает замедления, генерируемые силами инерции. С учетом изложенного необходимо к ускорениям, действующим на точку при её сложном движении, добавить замедления движения точки, которые будут формироваться силами инерции. Замедления , также как и ускорения, - величины векторные.

Переносное ускорение будет формировать переносную силу инерции , которая будет замедлять движение точки в её переносном движении. Обозначим это замедление так .

Относительное ускорение будет формировать относительную силу инерции . Она тоже будет замедлять относительное движение точки. Обозначим это замедление символом .

Так как кориолисова сила имеет инерциальную природу, то она тоже формирует замедление , направление которого совпадает с направлением вектора кориолисовой силы. Из этого следует ошибочность существовавшего представления о том, что кориолисова сила инерции равна произведению массы точки на кориолисово ускорение и направлена противоположно этому ускорению. Из изложенного следует, что кориолисова сила инерции совпадает с направлением не кориолисова ускорения , а с направлением кориолисова замедления , которое направлено в противоположно ускорению, названному кориолисовым.

Кроме перечисленных сил, на точку в сложном движении действуют силы сопротивления, которые также формируют замедление её движению. Обозначим результирующую этих сил так , а результирующее замедление, формируемое силами сопротивления, через . Тогда уравнение ускорений и замедлений, действующих на материальную точку в её сложном движении, в общем виде запишется так
. (59)
Уравнение сил, действующих на материальную точку в её сложном движении, принимает вид

. (60)

Из этого следует

. (61)
Тогда общее уравнение механодинамики относительного движения материальной точки становится таким

. (62)

Итак, общие уравнения сил, действующих на материальную точку при её сложном (61) и относительном (62) движениях, составлены. Учитывая, что проекции относительного ускорения точки на подвижные оси координат равны:
(63)
и проектируя векторное уравнение (61) на эти оси, имеем:
; (64)
; (65)
. (66)
Это дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки в координатной форме. Следующий этап – использование уравнения (61) для частных случаев относительного движения материальной точки. Таких случаев может быть несколько, но мы не будет составлять уравнения для каждого из них, а лишь перечислим их:

1-ускоренные переносное и относительное движения точки;

2-ускоренное переносное и равномерное относительное движения точки;

3-ускоренное переносное и замедленное относительное движения точки;

4-равномерное переносное движение и ускоренное относительное движения точки;

5-равномерное переносное и равномерное относительное движения точки;

6-рвномерное переносное и замедленное относительное движения точки;

7-замедленное переносное движение и ускоренное относительное движения точки;

8-замедленное переносное и равномерное относительное движения точки;

9-замедленное переносное и замедленное относительное движения точки.

Кроме этого подвижная система отсчёта может двигаться поступательно или криволинейно. Каждый из указанных случаев описывается отдельным уравнением:

1) подвижная система XOY движется поступательно. В этом случае и , поэтому для этого случая, имеем

. (67)
2) подвижная система XOY движется поступательно, прямолинейно и равномерно. В этом случае: и , поэтому
; (68)
3) если точка под действием приложенных к ней сил находится в покое относительно подвижной системы отсчета, то , поэтому и уравнение его движения становится таким

; (69)
146. Как из описанного перейти к анализу процесса формирования замедления кориолисовой силой инерции? Для этого рассмотрим процесс формирования ускорений ползуна, движущегося вдоль ускоренно вращающегося стрежня в горизонтальной плоскости. Схема сил, приложенных к ползуну при таком его движении, представлена на рис. 17. Прежде чем приступать к схематическому показу сил, действующих на ползун (рис. 17), обратим внимание на связь между вращательным (переносным) движением и линейным (относительным) движением ползуна вдоль стержня. Совокупность этих движений значительно отличается от перемещения, например, пассажира вдоль движущегося трамвая. Пассажир может менять свою относительную скорость произвольно, а ползун лишён такой возможности. Его переносная и относительная скорости связаны друг с другом. Такая же связь и у сил, действующих на ползун. Поэтому, составляя схему сил, действующих на ползун, обязательно надо учитывать указанную взаимосвязь между его переносным и относительным движениями (рис. 17).


Рис. 17. Схема сил, действующих на ползун М
С учётом изложенного, тщательный анализ процесса движения ползуна (рис. 17) показывает, что на него действуют следующие силы: переносная сила , вектор которой направлен по нормали к стержню в сторону вращения и равен нормальной реакции стержня на ползун; сила трения направлена противоположно движению ползуна относительно стержня и связана с нормальной реакцией через угол трения и коэффициент трения (). Результирующая сила силы трения и нормальной реакции образуют угол трения .

Известно, что ползун начнёт ускоренное движение вдоль стержня (вдоль оси ) лишь тогда, когда вектор результирующей силы отклонится от нормали на угол больший угла трения в сторону относительного движения ползуна. Начало движения ползуна обеспечивается незначительным превышением угла над углом терния , поэтому угол отклонения результирующей от нормали в момент начала ускоренного относительного движения ползуна можно принимать равным углу трения . Направление абсолютного ускорения , совпадает с направлением вектора результирующей силы .

Составляющая результирующей силы , направленная вдоль оси ОХ, является относительной силой . Эта сила генерирует ускорение . Поскольку движущая сила, то вектор ускорения этой силы совпадает с направлением её действия, то есть вектор ускорения в данном конкретном случае направлен от центра вращения, поэтому оно называется центробежным ускорением.

Если ползун будет жёстко связан с вращающимся стержнем, то на него будет действовать связь в виде стержня, которая будет удерживать ползун от перемещения вдоль стержня. В результате координата относительного перемещения ползуна станет постоянной величиной и её в таких случаях называют радиусом. Реакция связи, удерживающая ползун от относительного перемещения вдоль стержня, будет направлена к центру вращения и будет выполнять функции активного воздействия на ползун. Вполне естественно, что ускорение, генерируемое этой связью, также будет направлено к центру вращения. В этом случае оно называется центростремительным ускорением .

Далее, надо учесть существование предельно большой величины силы трения соответствующей коэффициенту трения , который связан с углом трения зависимостью . При ускоренной фазе вращения стержня с угловым ускорением результирующая сила достигнет предельно большой величины, определяемой силой трения. Обозначим её через (рис. 17). Но как только ползун начнёт движение вдоль стержня, увеличение силы трения почти прекратится, но увеличение результирующей силы, которую мы обозначили символом , продолжится за счёт продолжающегося увеличения переносного и относительного ускорений, поэтому результирующую силу, независящую от силы трения, обозначим символом .

А теперь рассмотрим процесс появления ускорения ползуна при ускоренном вращении стержня. Появление ускорения ползуна является следствием двух причин: первая обусловлена увеличением угловой скорости от нуля до постоянной величины , а вторая – увеличением радиуса, равного переменной координате .

Так как в этом случае две переменные и , то математическая модель для определения переносного касательного ускорения имеет вид
. (70)
Таким образом, из формулы (70) следует, что при ускоренном вращении стержня результирующая касательного (переносного) ускорения ползуна состоит из двух составляющих. Первая составляющая - генерируется переменной угловой скоростью , а вторая - переменным радиусом вращения . Вторая составляющая - в два раза меньше кориолисова ускорения , которое появляется при равномерном вращении стержня. Дальше мы найдём причину этих различий, а сейчас отметим, что при ускоренном вращении стержня полное ускорение ползуна больше кориолисова ускорения, поэтому возникает необходимость присвоить ему новое название, но это уже не наша проблема.

При постоянной угловой скорости и , поэтому переносное касательное ускорение увеличивается по мере удаления ползуна от центра вращения (О) только за счёт увеличения радиуса вращения, то есть - координаты . Действие стержня на ползун передаётся через нормальную реакцию стержня, которая равна активной переносной силе . Кроме этого, переменная величина формирует переносную силу инерции, направленную противоположно и равную проекции результирующей силы инерции на нормаль. Это – кориолисова сила инерции . Так как любая сила инерции формирует замедление движения тела, совпадающее с направлением самой силы инерции, то кориолисова сила инерции также формирует замедление переносного движения ползуна, которое совпадает по направлению с вектором кориолисовой силы инерции (рис. 17).

Чтобы найти модуль кориолисова замедления воспользуемся главным принципом механодинамики, согласно которому в каждый данный момент времени сумма активных сил, сил сопротивления движению и сил инерции, действующих на ползун, равна нулю. Векторное уравнение сил в этом сложном движении ползуна имеет вид
. (71)
Проектируя силы, приложенные к ползуну, на оси ОХ и ОУ, имеем:
; (72)
(73)
Преобразуем уравнение (73) таким образом
(74)
Итак, сумма проекций сил на ось ОУ, действующих на ползун, состоит из двух составляющих. Первая составляющая равна сумме переносной активной силы , действующей на ползун в переносном движении, и равной ей нормальной реакции стержня на ползун. Это две активные силы, приложенные к ползуну в переносном движении. Обращаем внимание на то, что суммарное переносное ускорение, генерируемое этими силами, равно . Оно совпадает с направлением силы и с давно используемым кориолисовым ускорением, полученным из анализа кинематики движенияточки.

На рис. 17 кориолисова сила инерции направлена противоположно нормальной реакции , а значит и противоположно ускорению , которое фактически не является кориолисовым ускорением. Это сумма ускорений, формируемых силами и . Она не имеет никакого отношения к кориолисовой силе инерции, которая формирует не ускорение движения ползуна, а его замедление , вектор которого совпадает с направлением кориолисовой силы инерции (рис. 17). Из формулы (74) следует совпадение численных значений модуля ускорения , генерируемого силой и реакцией связи , с численным значением кориолисова замедления и их противоположная направленность.

Новые научные данные о кориолисовом замедлении устанавливают правило определения его направления. Чтобы определить направление кориолисова замедления, надо провести плоскость перпендикулярно оси вращения тела, спроектировать на эту плоскость вектор относительной скорости и повернуть его против вращения на угол . В результате вектор кориолисова замедления будет совпадать с вектором кориолисовой силы инерции , которая генерирует это замедление.

Итак, мы рассмотрели частный случай появления кориолисова замедления при и установили физический смысл двойки в формуле , определявшей величину кориолисова ускорения, которое теперь является кориолисовым замедлением.

147. Есть ли противоречия в понятиях импульс силы и сила удара? Есть. Они следуют из теоремы об изменении количества движения материальной точки с изящным математическим доказательством её математической достоверности, но с грубым физическим противоречием.

Теорема. Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы (), действующей на материальную точку за тот же промежуток времени.
(75)
Дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу силы, действующей на материальную точку. Интегрируя выражение (75) дифференциала количества движения материальной точки, имеем
(76)
148. В чём физическая суть противоречий в формуле (76)? Из этой формулы следует:

чем длительнее действует сила , тем больше ударный импульс . В реальной жизни уже давно установлено обратное: чем меньше время действия силы , тем больше ударный импульс и ударная сила .

149. Найден ли выход из этого противоречия и в чём его суть? Выход найден. Его суть – введение новых понятий ударная сила и ударный импульс и постулирование упрощённого результата, следующего из формулы (76).
(77)
Из постулированного конечного результата формулы (77) следует математическая модель
(78)
с чётким физическим смыслом, соответствующим реальности: чем меньше время действия ударной силы , тем больше её ударный импульс .

150. Есть ли ещё теоретически нерешённые задачи в механодинамике? Конечно, есть и их немало. Назовём одну из главных. На систему совершающую колебания (волгоградский мост, например), действует меняющаяся сила инерции, но она не представлена ни в одной современной теории колебаний.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Более 300 лет динамика Ньютона считалась безупречно правильной наукой, не имеющей противоречий. Но они были, и их никто не замечал. Почему судьба обратила лишь наше внимание на эти противоречия и активно побуждала к поиску их причин и - исправлению? Нам не известно.

Литература
1. Канарёв Ф.М. Механодинамика. 3-й раздел учебного пособия Теоретическая механика.

http://www.micro-world.su/index.php/2012-02-28-12-12-13/560--iii-

2. Канарёв Ф.М. Кориолисово замедление.

http://www.micro-world.su/index.php/2012-02-28-12-12-13/606-2012-05-16-14-46-38