Проект 1 Переливание из пустого в порожнее

Четыре проекта по материалу 7 класса

из учебника «Алгебра», 7 класс, авт М.И. Башмаков.

Проект 1

Переливание из пустого в порожнее

1. Постановка задачи

Имеется два сосуда. В первом из них 2 л воды, второй – пустой.

На первом шаге из первого сосуда переливают во второй имеющейся воды, на втором шаге – из второго обратно в первый имеющейся воды, на третьем шаге – из первого во второй , и так далее.

Цель работы: выяснить, как меняется объем воды в сосудах в зависимости от числа шагов.

2. Обдумывание условия

Определите, из какого сосуда в какой будут переливать воду на шаге с номером

а) 5, б) 10, в) n, если n – четное число, г) n, если n – нечетное число.

Какую часть объема воды при этом переливают?
3. Численный эксперимент

Составьте таблицу количества воды в сосудах за 10 шагов.

Сосуд Шаг	Первый		Второй
0-й	2		0
1-й	2 –  2 = 1	 от 2	0 +  2 = 1
2-й	1 +  1 =	 от 1	1 –  1 =
3-й	= 	 от
4-й		 от 1
5-й		 от 
6-й		 от 
7-й		 от 
8-й		 от 
9-й		 от 
10-й		 от 

4. Анализ эксперимента

Обозначим количество воды в первом сосуде после n-го шага через a_n, а во втором – через b_n.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
an	2	1
bn	0	1

Ответьте на следующие вопросы.

1. Чему всегда равна сумма a_n + b_n?

2. На каких шагах в сосудах становится воды поровну?

3. Сформулируйте предположения:

a₉₉ = a₁₀₀ = a₁₀₁ =

b₉₉ = b₁₀₀ = b₁₀₁ =

5. Проведение доказательства

Сформулируем результат наблюдений: если после некоторого шага в сосудах воды станет поровну, то через два шага воды снова станет поровну.





6. Заключительные вопросы

1. Нужно ли было проделывать выкладки для b_n + 1 после того, как были сделаны выкладки для а_n + 1?

2. Верно ли, что в первом сосуде всегда воды не меньше, чем во втором?

3. Рассмотрим изменение количества воды в сосудах на четных шагах. Увеличивается ли оно или уменьшается?

4. Начиная с какого шага количество воды в первом сосуде будет отличаться от 1 меньше, чем на одну тысячную?


Проект 2

Двоичная система счисления

1. Постановка задачи

Каждое натуральное число n можно представить в виде

n = a_k  10^k + a_k – 1  10^k – 1 + a_k – 2  10^k – 2 + … + a₂  10² + a₁  10 + a₀,

где «цифры» a_k, a_k– 1, a_k– 2, ..., a₂, a₁, a₀ – это целые числа от 0 до 9.

В десятичной системе счисления вместо суммы записывают последовательность цифр:

.

Так, 346 = 3  10² + 4  10 + 6, 20300 = 2  10⁴ + 3².

Аналогично в качестве основания системы счисления можно взять любое натуральное число a > 1, представить n в виде

n = b_s  a^s + b_s – 1  a^s – 1 + b_s – 2  a^s – 2 + … + b₂  a² + b₁  a + b₀,

где 0 ≤ b_i ≤ a – 1, и записать его в a-ичной системе счисления в виде последовательности цифр

.

Особую роль играет число a = 2.

Двоичную систему счисления широко используют в компьютерах.
Цель работы: научиться производить вычисления в двоичной системе счисления.

2. Обдумывание условия

Двоичная система счисления требует только две цифры: 0 и 1.

Запись числа в двоичной системе счисления делается так.

Цифры пишутся, начиная с последней.

Если n нечетно, то пишется 1.

Если n четно, то пишется 0.

Затем число n – 1 (в первом случае) или n (во втором) делится на 2 и с частным проделывают ту же процедуру.

В примерах мы берем числа, записанные в десятичной системе

49 1

48 : 2 = 24 01

24 : 2 = 12 001

12 : 2 = 6 0001

6 : 2 = 3 10001

2 : 2 = 1 110001

Последняя запись 110001 – это запись числа 49 в двоичной системе.

От этой записи можно перейти к сумме степеней:

110001 = 2⁵ + 2⁴ + 1 = 32 + 16 + 1 = 49,

55 = 110111.

Сейчас мы сделали запись короче, устно деля пополам очередное число и добавляя (справа налево) очередную цифру.

Заметьте, что так же как в десятичной системе очередная цифра – это коэффициент при 10^k, где k – число цифр, стоящих после этой цифры, так и в двоичной системе очередная единица – это коэффициент при 2^s, где s – число всех цифр, стоящих после этой единицы.

Например:

30050002 = 3  10⁷ + 5  10⁴ + 2,

10010001 = 2⁷ + 2⁴ + 1.

3. Численный эксперимент

1. Запишите в двоичной системе числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

2. Запишите в двоичной системе числа: 77, 98, 113.

3. Даны числа, записанные в двоичной системе. Представьте их в виде суммы степеней двойки и затем запишите их в десятичной системе:

1) 1011;

2) 1100;

3) 11111;

4) 10000;

5) 10101.

4. Определите, на какую наибольшую степень двойки делятся следующие числа, записанные в двоичной системе:

1) 10100;

2) 11000;

3) 10001.

4. Анализ эксперимента

Сложение и умножение в двоичной системе можно делать столбиком.

Не забудьте, что, складывая две единицы в одном разряде, мы пишем в этом разряде 0 и переносим 1 в следующий разряд (как если бы мы складывали две цифры, дающие в сумме 10, в десятичной системе).

Примеры:



5. Выполните указанные действия:

1) 11101 + 1010;

2) 1001 + 1111 + 10111;

3) 11011  11001;

4) 10000  100000.

6. Переведите все числа предыдущего примера в десятичную систему и проверьте вычисления.

7. Вычислите значение выражения a² + ab + b² при a = 111, b = 101.

5. Проверка

Проделаем вместе

Если число n имеет в десятичной записи 3 цифры, то это число меньше, чем 1000 = 10³.

Аналогично число, имеющее в двоичной системе k цифр, меньше, чем 2^k.

В десятичной записи число от 1 до 9 = 10 – 1 имеет одну цифру

от 10 до 99 = 10² – 1 имеет две цифры

от 10² до 999 = 10³ – 1 имеет три цифры и т.д.

Аналогично в двоичной системе число от 2^k – 1 до 2^k – 1 имеет в записи k цифр.

Теперь, найдите самостоятельно:

8. Сколько цифр в двоичной системе счисления будут иметь следующие числа, записанные в десятичной системе:

35

99

500

1000

9. Сколько цифр в десятичной системе счисления будут иметь следующие числа, записанные в двоичной системе:

111011

1000011111

6. Заключительные вопросы

10. Какое наименьшее число гирек надо изготовить, чтобы на коромысловых весах можно было бы взвесить любое число граммов от 1 до 1000 (гири можно класть только на одну чашку)?

11. Как изменится ответ на предыдущий вопрос, если гирьки можно класть на обе чашки?

Проект 3

Китайская игра Янь

1. Постановка задачи

Двое играют в такую игру.

Выбирается одночлен с двумя буквами a и b и коэффициентом 1, например, a¹⁰b⁸. Играющий своим ходом делит его на одночлен такого вида: a^k, b^k, или (ab)^k. Пропускать ход (то есть ни на что не делить) нельзя. Выигрывает тот, кто получит одночлен 1.

Цель игры

– разработать правильную стратегию для каждого из играющих в зависимости от начального положения;

– найти способ, как узнать для любого начального положения, кто должен выиграть при правильной стратегии – первый или второй из играющих.
2. Обдумывание условия

Пусть исходный одночлен имеет вид ab². Эта ситуация является «матовой», проигрышной для первого участника.

Это очевидно, потому что любой следующий ход будет последним ходом этого участника: из позиции ab² можно перейти к следующим положениям.

Ход	Положение после хода
a	b2
b	ab
b2	a
ab	b

Все они являются выигрышными для следующего участника.

Легко сообразить, что должны быть и другие проигрышные позиции, и стратегия очередного игрока состоит в том, чтобы своим ходом перевести игру в позицию, проигрышную для соперника.
3. Численный эксперимент

Работу можно выполнять вдвоем, но можно и одному играть за двоих.

1. Выберите небольшие (до 20) показатели степени у a и b и сыграйте две партии, оформляя, как в шахматах, протокол игры. В протокол вписываются: исходное положение, имена участников, ход участника (на какой одночлен он делит) и положение после этого хода.

Вот так может выглядеть протокол.

	Алеша		Наташа
№	Ход	Положение после хода	Ход	Положение после хода
1
2
3
4
…

4. Анализ эксперимента

1) Посмотрите внимательно на протоколы двух партий.

Партия I

a²⁰b¹⁵

	Алеша		Наташа
№	Ход	Положение после хода	Ход	Положение после хода
1	b3	a20b12	a3b3	a17b9
2	a2	a15b9	a4	a11b9
3	a6b6	a5b3	b	a5b2
4	a4	ab2		сдалась

Партия II

a²³b¹⁴

	Алеша		Наташа
№	Ход	Положение после хода	Ход	Положение после хода
1	a5	a18b14	(ab)8	a10b6
2	a	a9b6	a2b2	a7b4
3	ab	a6b3	b	a5b3
4	b	a5b2	a4	ab2
5		сдался

Алеша в первой партии и Наташа во второй партии играли «правильно»: все позиции, в которые они ставили партнера, являлись проигрышными.

2) Выпишите проигрышные позиции еще раз, начиная с ab², a³b⁵.

Заметьте, что симметричные позиции (a³b⁵ и a⁵b³) являются по существу одинаковыми и надо выписывать только одну из них.

3) Обратите внимание на следующее:

а) каждый показатель степени 1, 2, 3 и т.д. присутствует в списке проигрышных позиций не более одного раза;

б) некоторые показатели отсутствуют.

4) Поиграйте с партнером и убедитесь в том, что если ваша позиция не является проигрышной, то вы всегда можете своим ходом перевести ее в проигрышную.

Составьте разности показателей степеней a и b в проигрышных позициях (например, для позиции ab² эта разность равна 2 – 1 = 1).

Убедитесь в том, что каждая разность встречается не более одного раза.

Придумайте проигрышную пару для первой из отсутствующих разностей.

5. Проведение доказательства

1) Выпишите снова последовательность проигрышных позиций в порядке возрастания разностей показателей. Ставьте для определенности показатели у a меньше, чем у b. Убедитесь в том, что все показатели присутствуют ровно по одному разу.

Проделаем вместе

Выпишем показатели степеней из 1, 2, 5 и 13-й строк: 1, 2, 3, 5, 8, 13.

Узнаете ли вы эту последовательность чисел?

Напоминаем, что это последовательность чисел Фибоначчи, в которой каждый член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих.

2) Предлагаем следующее правило образования пар чисел (k, l), для которых позиции a^kb^l являются проигрышными.

а) Составляются пары из последовательности чисел Фибоначчи: (1; 2), (3; 5), (8; 13)...

б) Составляются разности между числами одной пары (это тоже числа Фибоначчи): 1, 2, 5, 13…

в) Найденные пары вписываются в строчки с полученными разностями.
6. Заключительные вопросы

Теперь придумайте сами, как заполняются остальные строчки. Подскажем, что они должны строиться последовательно с помощью полученных строчек.

Заполните таблицу проигрышных ситуаций с 34 строчками.
Теперь вы полностью научились играть в замечательную игру, придуманную китайцами много веков назад!


Проект 4

Равенство алгебраическое и тождественное

1. Постановка задачи

Что означает, что два многочлена равны между собой? Мы раньше не очень об этом задумывались, но на самом деле использовали слово «равенство» в двух разных смыслах.

Алгебраический смысл равенства многочленов: два многочлена равны, если они состоят из одних и тех же одночленов.

Для проверки равенства многочленов надо сравнить коэффициенты при подобных одночленах. В частности, если многочлен содержит только одну букву, то надо сравнить коэффициенты при одинаковых степенях этой буквы.

Например, алгебраическое равенство многочленов от x: ax³ + bx² + cx + d и mx³ + nx² + px + q означает равенство коэффициентов a = m; b = n; c = p; d = q.

Тождественный смысл равенства многочленов: многочлены равны, если равны их значения при всех значениях входящих в этот многочлен букв.

Проверить тождественное равенство многочленов по такому определению невозможно, так как пришлось бы подставлять бесконечное число значений букв и на это не хватило бы целой жизни.

Какова же связь между понятиями алгебраического и тождественного равенства многочленов?

В одну сторону связь очевидна: если многочлены равны алгебраически, то они равны и тождественно, так как оба многочлена состоят из одних и тех же членов и, подставляя в них любые значения букв, мы будем иметь совпадающие числовые выражения.

Доказать обратное утверждение, то есть что из тождественного равенства многочленов следует их алгебраическое равенство, нелегко. В основе этого факта лежит такое замечательное утверждение о многочленах от одной буквы.

Для алгебраического равенства двух многочленов от одной буквы достаточно проверить равенство значений двух многочленов, подставляя вместо букв числа в количестве, большем, чем степень этих многочленов.

Например, два многочлена первой степени совпадают, если равны их значения при двух значениях буквы; для квадратных многочленов достаточно проверять совпадение значений при трех значениях буквы; для кубических – при четырех и т. д.

Цель работы: научиться применять сформулированную теорему о тождестве.

2. Обдумывание условия

Теорема о тождестве доказывается с помощью систем линейных уравнений, которыми мы вскоре будем заниматься, а пока примем ее без доказательства. Многие тождества для многочленов доказываются с помощью этой теоремы.

Пример. Докажите тождество .

Слева и справа стоят многочлены первой степени. Для алгебраического равенства многочленов первой степени достаточно проверить равенство их значений при двух значениях х.

Подставим в обе части x = a. Слева одно слагаемое обращается в нуль, а второе равно . Справа также получается a.

Аналогично при x = b левая и правая части равны между собой.

Следовательно, два многочлена равны алгебраически, а значит и тождественно.

3. Численный эксперимент

Научимся применять сформулированную теорему для доказательства тождеств. Каждый раз надо будет подбирать «хорошие» значения буквы х, при которых значения многочленов вычисляются легко.

Докажите тождество .

Для доказательства выберите два значения х и проверьте, что в левой части каждый раз получается 1.

4. Анализ эксперимента

Конечно, легко сложить два многочлена в левой части:

.

В других случаях метод подстановки значений сильно облегчит выкладки.

Докажите два тождества для многочленов с числовыми коэффициентами.

1)

2)  .

5. Проведение доказательства

Сейчас мы рассмотрим серию более сложных тождеств, доказывать которые прямым вычислением уже не очень просто.

1) Докажите тождество

Проделаем вместе необходимые выкладки.

Левая часть представляет собой многочлен второй степени с буквенными коэффициентами , и .

Для доказательства тождества достаточно вычислить значение левой части при трех значениях х и проверить, что эти значения каждый раз будут равны 1.

Если вы правильно выберете значения х, то все вычисления будут делаться устно.

2) Подставьте в тождество предыдущего задания х = 0 и получите новое красивое тождество: .

3) Докажите тождества:

а) ;

б) .

6. Заключительные вопросы

1) Какие значения x вы подставляли?

2) Получите два новых тождества, подставляя в тождества задачи 3 вместо x число 0.

3) Докажите тождество

(a – b)(b + c)(c + a) + (b – c)(a + b)(c + a) + (c – a)(a + b)(b + c) +
+ (a – b)(b – c)(c – a) = 0.

Для доказательства рассмотрите многочлен в левой части как многочлен от одной буквы, например, а.

а) Какова степень этого многочлена, как многочлена от а?

б) Сколько значений достаточно подставить в левую часть?

в) Выберите «удобные» для вас значения а и подставьте их в левую часть.

4) Докажите такое тождество .