Программа специального курса «Диофантовы уравнения»

ПРОГРАММА СПЕЦИАЛЬНОГО КУРСА

«Диофантовы уравнения»

Лектор профессор Ю.В. Нестеренко

1. 
   Рациональные точки на кривых второго порядка. Геометрия кубических кривых. Вейерштрассова нормальная форма. Точные формулы для группового закона.
   
2. 
   Точки второго и третьего порядков. Действительные и комплексные точки на кубических кривых. Точки конечного порядка имеют целые координаты. Теорема Нагеля-Лютц.
   
3. 
   Группа рациональных точек на эллиптической кривой. Высоты и спуск. Высота суммы двух точек. Высота удвоенной точки. Теорема Морделла.
   
4. 
   Кубические кривые над конечными полями. Теорема Гаусса о числе решений уравнения над конечными полями для простых . Теорема Хассе об оценках числа точек эллиптической кривой над конечным полем. Алгоритм Ленстры разложения целых чисел на множители с помощью эллиптических кривых.
   
5. 
   Целые точки на кубических кривых. О числе целых решений уравнения . Теорема Туэ о рациональных приближениях алгебраических чисел. Конечность множества решений диофантова уравнения Туэ.