Работа с массивами и матрицами в языке программирования

А12 (повышенный уровень, время – 5 мин)

Тема: Работа с массивами и матрицами в языке программирования¹.

Что нужно знать:

• 
  работу цикла for (цикла с переменной)
  
• 
  массив – это набор однотипных элементов, имеющих общее имя и расположенных в памяти рядом
  
• 
  для обращения к элементу массива используют квадратные скобки, запись A[i] обозначает элемент массива A с номером (индексом) i
  
• 
  матрица (двухмерный массив) – это прямоугольная таблица однотипных элементов
  
• 
  если матрица имеет имя A, то обращение A[i,k] обозначает элемент, расположенный на пересечении строки i и столбца k
  
• 
  элементы, у которых номера строки и столбца совпадают, расположены на главной диагонали²
  

  A[1,1]
  	A[2,2]
  		A[3,3]
  			A[4,4]

• 
  выше главной диагонали расположены элементы, у которых номер строки меньше номера столбца:
  

  	A[1,2]	A[1,3]	A[1,4]
  		A[2,3]	A[2,4]
  			A[3,4]

• 
  ниже главной диагонали расположены элементы, у которых номер строки больше номера столбца:
  

A[2,1]
A[3,1]	A[3,2]
A[4,1]	A[4,2]	A[4,3]

Ещё пример задания:

В программе используется одномерный целочисленный массив A с индексами от 0 до 9. Ниже представлен фрагмент программы, записанный на разных языках программирования, в котором значения элементов сначала задаются, а затем меняются.

for i:=0 to 9 do

A[i]:=9-i;

for i:=0 to 4 do begin

k:=A[i];

A[i]:=A[9-i];

A[9-i]:=k;

end;

Чему будут равны элементы этого массива после выполнения фрагмента программы?

1) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3) 9 8 7 6 5 5 6 7 8 9

4) 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0

Решение:

1. 
   выясним, как заполняется массив в первом цикле
   

for i:=0 to 9 do

A[i]:=9-i;

здесь элемент A[0] равен 9, элемент A[1]=8 и т.д. до A[9]=0

2. 
   рассмотрим второй цикл, в котором операторы
   

k:=A[i];

A[i]:=A[9-i];

A[9-i]:=k;

меняют местами элементы A[i] и A[9-i]

3. 
   второй цикл выполняется всего 5 раз, то есть останавливается ровно на половине массива
   

for i:=0 to 4 do begin

...

end;

таким образом в нем меняются элементы A[0]A]9], A[1]A]8], A[2]A]7], A[3]A]6] и A[4]A]5]

4. 
   в результате массив оказывается «развернут» наоборот, элемент A[0] (он был равен 9) стал последним, следующий (A[1]=8) – предпоследним и т.д., то есть получили
   

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5. 
   Ответ: 2.
   

Ещё пример задания:

Дан фрагмент программы, обрабатывающей двухмерный массив A размера n×n.

k := 1;

for i:=1 to n do begin

c := A[i,i];

A[i,i] := A[k,i];

A[k,i] := c;

end

Представим массив в виде квадратной таблицы, в которой для элемента массива A[i,j] величина i является номером строки, а величина j – номером столбца, в котором расположен элемент. Тогда данный алгоритм меняет местами

1) два столбца в таблице

2) две строки в таблице

3) элементы диагонали и k-ой строки таблицы

4) элементы диагонали и k-го столбца таблицы

Решение:

6. 
   сначала разберемся, что происходит внутри цикла; легко проверить (хотя бы ручной прокруткой, если вы сразу не узнали стандартный алгоритм), что операторы
   

c := A[i,i];

A[i,i] := A[k,i];

A[k,i] := c;

меняют местами значения A[i,i] и A[k,i], используя переменную c в качестве вспомогательной ячейки;

7. 
   элемент матрицы A[i,i], у которого номера строки и столбца одинаковые, стоит на главной диагонали; элемент A[k,i] стоит в том же столбце i, но в строке с номером k; это значит, что в столбце i меняются местами элемент на главной диагонали и элемент в строке k
   

   			i
   k			A[k,i]
   i			A[i,i]

8. 
   так как эти операторы находятся в цикле, где переменная i принимает последовательно все значения от 1 до n, обмен выполняется для всех столбцов матрицы; то есть, все элементы главной диагонали меняются с соответствующими элементами строки k
   
9. 
   перед циклом стоит оператор присваивания k := 1;, а после него переменная k не меняется; поэтому в программе элементы главной диагонали обмениваются с первой строкой
   
10. 
    таким образом, правильный ответ – 3.
    

Возможные ловушки и проблемы: сложность этой задачи в том, что все действия нужно «прокручивать в уме» (или на бумаге), не используя компьютер для отладки главная проблема – не перепутать столбцы и строки; номер строки – это (по соглашению) первый индекс элемента матрицы, а номер столбца – второй

Совет: чтобы понять, что делает программа, часто бывает полезно сделать ручную прокрутку на матрице небольшого размера, например, 3 на 3 или 4 на 4. если матрица небольшая (скажем, 5 на 5) можно (а иногда и нужно) вообще сделать все вычисления вручную и посмотреть, что получится

Еще пример задания:

Значения двух массивов A[1..100] и B[1..100] задаются с помощью следующего фрагмента программы:

for n:=1 to 100 do

A[n] := (n-80)*(n-80);

for n:=1 to 100 do

B[101-n] := A[n];

Какой элемент массива B будет наибольшим?

1) B[1] 2) B[21] 3) B[80] 4) B[100]
Решение:

1. 
   здесь два цикла, в первом из них заполняется массив А, во втором – массив В
   
2. 
   в элемент массива A[n] записывается квадрат числа n-80; все элементы массива А неотрицательны (как квадраты чисел)
   
3. 
   посмотрим чему равны некоторые элементы массива А:
   

A[1] = (1–80)² = (–79)² = 79² A[2] = (2–80)² = (–78)² = 78²

...

A[80] = (80–80)² = (0)² = 0 A[81] = (81–80)² = (1)² = 1

...

A[99] = (99–80)² = 19² A[100] = (100–80)² = 20²

4. 
   таким образом, при увеличении n от 1 до 80 значение A[n] уменьшается от 79² до нуля, а потом (для n > 80) возрастает до 20²
   
5. 
   отсюда следует, что максимальное значение в массиве A – это A[1] = 79²
   
6. 
   во втором цикле для всех номеров n от 1 до 100 выполняется оператор
   

B[101-n] := A[n];

который просто переписывает элементы массива A в массив В, «развертывая» массив в обратном порядке (элемент A[1] будет записан в B[100], а A[100] – в B[1])

7. 
   A[1], наибольший элемент массива А, будет записан в B[100], поэтому B[100] – наибольший элемент в массиве В
   
8. 
   таким образом, правильный ответ – 4.
   

Еще пример задания:

Значения элементов двухмерного массива A[1..10,1..10] задаются с помощью следующего фрагмента программы:

for i:=1 to 10 do

for k:=1 to 10 do

if i > k then

A[i,k] := 1

else A[i,k] := 0;

Чему равна сумма элементов массива после выполнения этого фрагмента программы?

1) 45 2) 50 3) 90 4) 100

Решение:

1. 
   в программе есть вложенный цикл, в котором переменная i обозначает строку, а k – столбец матрицы
   
2. 
   элементы, для которых i=k – это главная диагональ матрицы, поэтому элементы, для которых i > k (только они будут равны 1), находятся под главной диагональю
   
3. 
   в первой строке единичных элементов нет, во второй есть один такой элемент, в третьей – 2, в последней (10-ой) их 9, поэтому сумма элементов массива равна
   

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

4. 
   таким образом, правильный ответ – 1.
   
5. 
   при большом размере массива (например, 100 на 100) суммирование может оказаться трудоемким, поэтому лучше вспомнить формулу для вычисления суммы элементов арифметической прогрессии (именно такая прогрессия у нас, с шагом 1):
   

,

где - количество элементов, а и – соответственно первый и последний элементы последовательности; в данном случае имеем

.

6. 
   если приведенная выше формула прочно забыта, можно попытаться сгруппировать слагаемые в пары с равной суммой (как сделал, будучи школьником, великий математик К.Ф. Гаусс), например:
   

Еще пример задания:

Значения элементов двухмерного массива A[1..10,1..10] сначала равны 5. Затем выполняется следующий фрагмент программы:

for i:=1 to 5 do

for j:=1 to 4 do begin

A[i,j]:=A[i,j]+5; { 1 }

A[j,i]:=A[j,i]+5; { 2 }

end;

Сколько элементов массива будут равны 10?

1) 8 2) 16 3) 24 4) 0

Решение (вариант 1, анализ алгоритма):

1. 
   

   	1	2	3	4	5	6	7
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7

   обратим внимание, что в двойном цикле переменная i изменяется от 1 до 5, а j – от 1 до 4 (на 1 шаг меньше)
   
2. 
   внутри цикла в операторе, отмеченном цифрой 1 в комментарии, в записи A[i,j] переменная i – это строка, а j – столбец, поэтому по одному разу обрабатываются все элементы массива, выделенные зеленым цветом:
   
3. 
   

   	1	2	3	4	5	6	7
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7

   это значит, что если оставить только один первый оператор внутри цикла, все выделенные элементы увеличиваются на 5 и станут равны 10
   
4. 
   теперь рассмотрим второй оператор внутри цикла: в записи A[j,i] переменная i – это столбец, а j – строка, поэтому по одному разу обрабатываются (увеличиваются на 5 ) все элементы массива, выделенные рамкой красного цвета на рисунке справа
   
5. 
   теперь хорошо видно, что левый верхний угол массива (квадрат 4 на 4, синяя область) попадает в обе области, то есть, эти 16 элементов будут дважды увеличены на 5: они станут равны 15 после выполнения программы
   
6. 
   элементы, попавшие в зеленый и красный «хвостики» обрабатываются (увеличиваются на 5) по одному разу, поэтому они-то и будут равны 10
   
7. 
   всего таких элементов – 8 штук
   
8. 
   таким образом, правильный ответ – 1.
   

Решение (вариант 2, прокрутка небольшого массива):

1. 
   понятно, что в программе захватывается только левый верхний угол массива, остальные элементы не меняются
   
2. 
   сократим размер циклов так, чтобы можно было легко выполнить программу вручную; при этом нужно сохранить важное свойство: внутренний цикл должен содержать на 1 шаг меньше, чем внешний:
   

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do begin

A[i,j]:=A[i,j]+5; { 1 }

A[j,i]:=A[j,i]+5; { 2 }

end;

3. 
   выполняя вручную этот вложенный цикл, получаем
   

   	1	2	3	4	5
   1	15	15	10	5	5
   2	15	15	10	5	5
   3	10	10	5	5	5
   4	5	5	5	5	5
   5	5	5	5	5	5

4. 
   видим, что в самом углу получился квадрат 2 на 2 (по количеству шагов внутреннего цикла), в котором все элементы равны 15; по сторонам этого квадрата стоят 4 элемента, равные 10, их количество равно удвоенной стороне квадрата
   
5. 
   в исходном варианте внутренний цикл выполняется 4 раза, поэтому угловой квадрат будет иметь размер 4 на 4; тогда 8 элементов, граничащих с его сторонами, будут равны 10
   
6. 
   таким образом, правильный ответ – 1.
   

Возможные проблемы: упрощая задачу, нельзя потерять ее существенные свойства: например, здесь было важно, что внутренний цикл содержит на 1 шаг меньше, чем внешний