Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Основные положения
Двумерные L-координаты.
Для треугольного элемента наиболее распространенной является система координат, определяемая тремя относительными координатами L1, L2, L3 (см. рис. 16).
i
j
k
h
b
L1
L2
L3
s
Рис. 16. L-координаты для треугольного элемента
Каждая координата представляет собой отношение расстояния от выбранной точки треугольника до одной из его сторон s к высоте h, опущенной на эту сторону из противолежащей вершины. Ясно, что координаты Li изменяются в пределах от 0 до 1. Координаты L1, L2, L3 называются L-координатами. Их значения дают относительные величины площадей треугольников, на которые разбит элемент (рис. 17).
A2
A3
A1
B
i
k
s
h
b
j
Рис. 17. Геометрическая интерпретация L-координат
L-координаты точки В представляют собой площади треугольников, изображенных на рис. 17. Площадь треугольника (i, j, k) дается формулой
. (3.93)
Площадь заштрихованного треугольника равна
. (3.94)
Поэтому . (3.95)
Аналогично . (3.96)
Так как A1+A2+A3 = At, то
(3.97)
Оказывается, что координатные переменные представляют собой функции формы для треугольного симплекс-элемента:
(3.98)
Как видно из рис. 17,
Подобные соотношения выполняются также для и .
Кроме того, формула (3.97) позволяет утверждать, что в произвольной точке элемента функции формы всегда в сумме равны 1.
Преимуществом L-координат является существование интегральных формул, которые упрощают вычисление интегралов вдоль сторон элемента и по его площади:
, (3.99)
(L – расстояние между двумя узлами рассматриваемой стороны).
. (3.100)
Использование соотношения (3.100) может быть проиллюстрировано при вычислении интеграла вида
,
где Ni и Nj – функции x и y. Этот интеграл по площади элемента преобразуется следующим образом:
.
Объединение элементов в ансамбль.
Интерполяционный полином для каждого элемента имеет вид
, (3.101)
где индекс (е) означает произвольный элемент.Техника включения элемента в область может быть проиллюстрирована на примере простой пятиэлементной конфигурации (рис. 18).
Рис. 18. Пятиэлементная конфигурация
Узлы пронумерованы от единицы до шести. Величины Ф1, Ф2, Ф3, Ф4, Ф5, Ф6 представляют собой глобальные степени свободы. Координаты узлов (X, Y ), =1,...., 6, предполагаются известными. Номера элементов записаны в круглых скобках.Для обозначения номеров узлов элемента могут быть использованы принятые выше индексы i, j, k, как только определен первый узел в каждом элементе. На рис. 18. i-й узел в каждом элементе выделен символом .Фиксирование узла i позволяет записать следующие равенства для различных элементов:
Элемент1: i=2, j=3, k=1; (3.102a)
Элемент2: i=3, j=2, k=4; (3.102б)
Элемент3: i=5, j=3, k=4; (3.102в)
Элемент4: i=6, j=3, k=5; (3.102г)
Элемент5: i=1, j=3, k=6. (3.102д)
С помощью этих соотношений осуществляется включение элемента в область, так как они ставят в соответствие индексы элемента i, j, k глобальным номерам узлов. Этот процесс фиксирует координаты узлов элемента.Значения индексов i, j, k могут быть подставлены в формулу (3.101), что приводит к следующей совокупности уравнений для элементов:
(3.103)
Функции формы − множители при узловых значениях в формулах (3.103) − определяются подстановкой числовых значений i, j, k в уравнения для функций формы.
Так, функция Nk(e) записывается в виде
(3.104)
Для пятого элемента i=1, j=3, k=6, что дает
(3.105)
Функции формы и в (3.103) − разные величины, даже если равны и . В выражение для входят константы
откуда ясно, что .
С помощью равенств (3.103) конечные элементы объединяются в ансамбль, а интерполяционные функции выражаются через глобальные узловые значения и глобальные координаты, которые вводятся вместо произвольных .
Вывод уравнений для элементов с помощью метода Галеркина.
Если исходить из дифференциального уравнения
и приближенное решение искать в виде , то для него будем иметь
, где – ошибка, или невязка, поскольку решение − приближенное.
Необходимо сделать малой величиной.
В методе Галеркина это достигается с помощью соотношений ортогональности
для каждой из базисных функций Ni.
Это равенство означает, что базисные функции должны быть ортогональны ошибке по области R.
Применение метода Галеркина в сочетании с МКЭ приводит к уравнениям
(3.106)
где искомая величина, которая аппроксимируется соотношением
, (3.107)
а L() − левая часть дифференциального уравнения L() = 0, которое необходимо решить.
Пример расчета одномерного температурного поля в однородном стержне.
Пусть имеется стержень длиной L и площадью поперечного сечения S. Один конец стержня закреплен и к нему подводится тепловой поток q заданной интенсивности (рис. 19).
Рис. 19. Иллюстрация к примеру 3.5.10
На свободном конце стержня происходит конвективный теплообмен с внешней средой. Коэффициент теплообмена – , а температура окружающей среды − Т0. Вдоль боковой поверхности стержень теплоизолирован.
Температурное поле в стержне описывается уравнением теплопроводности
. (3.108)
Краевые условия следующие:
при х=0, (3.109а)
при x=L. (3.109б)
Здесь − коэффициент теплопроводности, − коэффициент теплопередачи.
Разобьем стержень на два конечных элемента и обозначим длину каждого из них через L(e), е=1, 2.
Применив метод Галеркина к уравнению (3.108), получим
, (3.110)
где [N]T − вектор-столбец, полученный транспонированием строки [N] из функций формы одномерного симплекс-элемента (3.81).
Подставим в (3.110) формулу дифференцирования произведения:
. (3.111)
Интерполяционная функция Т является кусочно-линейной, поэтому интегралы в (3.111) можно представить суммой соответствующих интегралов для отдельных элементов. Так, второй интеграл в (3.111) можно представить в виде
. (3.112)
Вычислим в (3.112) интегралы, относящиеся к отдельным элементам:
, (3.113)
. (3.114)
Теперь
Первый интеграл в (3.111) на основании теоремы Остроградского-Гаусса преобразуется к виду
(3.116)
где , n − внешняя нормаль к рассматриваемой поверхности.
С учетом краевого условия (3.109а) в точке х=0 для первого элемента интеграл (3.116) примет вид
(3.117)
С учетом краевого условия (3.109б) в точке х=L для второго элемента интеграл (3.111) запишется так:
(3.118)
Здесь − левое и правое сечения стержня.
Учитывая, что под интегралом (3.112), (3.117), (3.118) стоят матрицы, найдем, что при суммировании должны складываться строки этих матриц, отвечающие одинаковым узлам. Просуммировав выражения вида (3.115) для первого и второго элементов и выражения (3.117), (3.118) и приравняв сумму нулю, получим систему уравнений
. (3.119)
Здесь , .
Система (3.119) и определяет узловые значения .
Завершающим этапом МКЭ является решение системы линейных алгебраических уравнений.
страница 1страница 2страница 3
скачать
Другие похожие работы: